Topologia końcowa

W ogólnej topologii i pokrewnych obszarach matematyki , ostateczna topologia (lub $displaystyle X,}$ koindukowana , silna , colimit lub indukcyjna ) na zbiorze w odniesieniu do rodziny funkcji z przestrzeni topologicznych do $\ displaystyle X,$${$ to najlepsza topologia na ${\ displaystyle X}$ , która sprawia, że ​​wszystkie te funkcje są ciągłe .

Topologia ilorazowa w przestrzeni ilorazowej jest topologią ostateczną w odniesieniu do pojedynczej funkcji suriekcyjnej, a mianowicie mapy ilorazowej. Topologia rozłącznej unii jest ostateczną topologią w odniesieniu do map inkluzji . Topologia ostateczna jest także topologią, w którą wyposażona jest każda granica bezpośrednia w kategorii przestrzeni topologicznych i to właśnie w kontekście granic bezpośrednich często pojawia się topologia ostateczna. Topologia jest spójna z pewnym zbiorem podprzestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy jest ostateczną topologią indukowaną przez inkluzje naturalne.

Pojęcie dualne to $X}$ początkowa , która dla danej rodziny funkcji ze zbioru do przestrzeni topologicznych jest najgrubszą topologią na $displaystyle$ , która sprawia, że ​​​​funkcje te są ciągłe.

Definicja

Biorąc pod uwagę zbiór i indeksowaną rodzinę przestrzeni topologicznych $($$}$$\ Displaystyle \ lewo ($${$ z powiązanymi funkcjami

$${\ Displaystyle f_ {i}: Y_ {i} \ do X,}$$

ostateczna topologia na $indukowanej$ przez rodzinę funkcji ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}: = \ lewo \ {f_ {i}: i$ jest najlepszą topologią taką $F$ że $}}}$

$${\ Displaystyle f_ {i}: \ lewo (Y_ {i}, \ upsilon _ {i} \ prawo) \ do \ lewo (X, \ tau _ {\mathcal {F}}\right)}$$

jest ciągły dla każdego ${\ displaystyle i \ in ja}$ .

Wyraźnie ostateczną topologię można opisać w następujący sposób:

podzbiór jest otwarty w ostatecznej topologii ( $X$$Displaystyle \ lewo (X, \ tau _ {\ mathcal {F}} \$${$ ( to znaczy ${\ Displaystyle U \ in \ tau _ {\ mathcal {F}}}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle f_ {i} ^ {- 1} (U )}$ jest otwarty w ${\ Displaystyle \ lewo (Y_ {i}, \ upsilon _ {i} \ prawej)}$ dla każdego ${\ Displaystyle i \ w ja}$ .

Podzbiory zamknięte mają analogiczną charakterystykę:

podzbiór jest zamknięty w ostatecznej topologii ( $\ Displaystyle \ lewo (X, \ tau _ {\ mathcal {F}} \ prawej)}$$)$$\ Displaystyle$ { fa ${i} ^ {- 1} (C)}$${\ Displaystyle \ lewo (Y_ {i}, \ upsilon _ {i}\right)}$ jest zamknięty w dla każdego ${\ displaystyle i \ in ja}$ .

Rodzina funkcji $,$ która indukuje ostateczną topologię na $jest$ zwykle funkcji . Ale tę samą konstrukcję można wykonać, jeśli jest odpowiednią klasą funkcji, a wynik jest nadal dobrze zdefiniowany w $teorii$ Zermelo – Fraenkla . W takim przypadku zawsze istnieje podrodzina z zestawu, takiego jak $}}}$$z$ zestawem sol $\ displaystyle {\ mathcal {G}}$$że$ ostateczne $topologie$ indukowane $się$ przez pokrywają Więcej informacji na ten temat można znaleźć na przykład w dyskusji tutaj. Na przykład powszechnie stosowany wariant pojęcia przestrzeni generowanej zwarto definiuje się jako ostateczną topologię ze względu na odpowiednią klasę funkcji.

Przykłady

Ważny szczególny przypadek, w którym rodzina map składa się z pojedynczej mapy $suriekcyjnej, można całkowicie scharakteryzować za$ pojęcia map ilorazowych . Funkcja $_$ _ jeśli topologia pokrywa się z ostateczną topologią ${$ fa $\ Displaystyle \ tau _ {\ mathcal {F$$}}$ indukowaną przez rodzinę $displaystyle {\mathcal {F}}=\{f\}}$ . W szczególności: topologia ilorazowa jest ostateczną topologią w przestrzeni ilorazowej indukowanej przez mapę ilorazową .

Ostateczną topologię zbioru indukowaną przez rodzinę map o wartościach można postrzegać jako daleko idące uogólnienie topologii ilorazu, w której można użyć wielu map zamiast tylko jednej i X { $}$$displaystyle$ gdzie te mapy nie muszą być suriekcjami.

Biorąc pod uwagę przestrzenie topologiczne , topologia rozłącznego związku w związku rozłącznym jest ostateczną topologią związku rozłącznego wywołaną przez X $}}$$displaystyle$ naturalne zastrzyki.

Biorąc pod uwagę rodzinę topologii ${\ Displaystyle \ lewo (\ tau _ {i} \ prawej) _ {i \ w ja}}$ na ustalonym zbiorze ${\ Displaystyle X}$ ostateczna topologia na ${\ Displaystyle X}$ w odniesieniu do map tożsamości ${\ Displaystyle \ operatorname {id} _ {\ tau _ {i}}: \ lewo (X, \ tau _ {i} \ prawej) \ do X}$ jak ${\ displaystyle i}$ waha się ponad ${\ displaystyle I,}$ nazwij to ${\ displaystyle \ tau}$ jest infimum (lub spotkaniem) tych topologii ${\ Displaystyle \ lewo (\ tau _ {i} \ prawej) _ {i \ w ja}}$ w siatce topologii na $}$${\ Displaystyle \ tau = \ bigcap _ {i \ w I} \ tau _ {i}.}$$X.$ Oznacza to, że ostateczna topologia jest równa przecięciu

Bezpośrednią granicą dowolnego bezpośredniego systemu przestrzeni i ciągłych map jest granica bezpośrednia teorii mnogości wraz z ostateczną topologią określoną przez morfizmy kanoniczne. Wyraźnie oznacza to, że jeśli ${\ Displaystyle \ operatorname {Sys} _ {Y} = \ lewo (Y_ {i}, f_ {ji}, ja \ prawej)}$ jest układem bezpośrednim w kategorii Wierzchołek przestrzeni topologicznych i if ${\ Displaystyle \ lewo (X, \ lewo (f_ {i} \ prawej) _ {i \ w I} \ po prawej)}$ jest bezpośrednią granicą Sys $operatorname {Sys} _ {Y}}$$\ tau _ {\ mathcal {F}}}$ w kategorii Zbiór wszystkich zestawów , a następnie przez nadanie ostatecznej topologii $displaystyle$ indukowane przez ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}: = \ lewo \ {f_ {i}: i \ w ja \ prawo \},}$${\ Displaystyle \ lewo (\ lewo (X, \ tau _ {\ mathcal {F}} \ prawo), \ lewo (f_ {i}\right)_{i\in I}\right)}$ staje się bezpośrednim ograniczeniem ${\displaystyle\operatorname {Sys} _{Y}}$ w kategorii Top .

Przestrzeń étalé snopka jest topologizowana przez ostateczną topologię.

Pierwsza przeliczalna przestrzeń Hausdorffa jest $X}$$ostatecznej$ ścieżkami wtedy i tylko wtedy, gdy topologii na $displaystyle$$_ 0,1]\to (X,\tau )}$ zbiór wszystkich $]$ gdzie każda taka mapa nazywana jest ścieżką w ${\ Displaystyle (X, \ tau).}$

lokalnie wypukła topologiczna przestrzeń wektorowa Hausdorffa jest $X}$$Frécheta$ - jest równa ostatecznej topologii na $displaystyle$ wywołane przez zestaw ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Łuk} \ lewo ([0,1]; X \ prawo)}$ wszystkich łuków w ${\ Displaystyle ( ( X \ tau )},$ które z definicji są ciągłymi ścieżkami ${\ Displaystyle [0,1] \ do (X, \ tau)},$ które są również osadzeniami topologicznymi .

Nieruchomości

Charakterystyka za pomocą ciągłych map

Dane funkcje ${\ Displaystyle f_ {i}: Y_ {i} \ do X,}$ z przestrzeni topologicznych ${\ Displaystyle Y_ {i}}$ do zbioru ${\ Displaystyle X}$ , ostateczna topologia w odniesieniu do tych funkcji $spełnia$ następującą właściwość: $i}}$

funkcja $Displaystyle g}$$\$ od do pewnej przestrzeni ${\ Displaystyle Z}$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy ciągła dla każdego ${\ Displaystyle i \ w ja.}$${\ Displaystyle g \ circ f_ {i}}$

Ta właściwość charakteryzuje ostateczną topologię w tym sensie, że jeśli topologia na spełnia powyższą właściwość dla wszystkich przestrzeni $i$ wszystkich funkcji $sol$$displaystyle g: X \ do$$,$ to topologia na jest ostateczną topologią w odniesieniu ${\ displaystyle f_ {i}.}$

Zachowanie pod składem

Załóżmy, że $\}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}: = \ lewo \ {f_ {i}: Y_ {i} \ do X \ mid i \ in I \$$i}}$ to rodzina map i dla każdej na $\ w ja}$$\ upsilon _ {i}}$ { \ $displaystyle$$i}}$ ostateczną topologią wywołaną przez pewną rodzinę map o wartości w ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _$ . Wtedy ostateczna topologia na indukowanej przez ${\ displaystyle X$$}$ jest równa ostatecznej topologii na $X}$${\ Displaystyle \ lewo \ {f_ {i} \ circ g ~: ~ i \ w ja {\ tekst {i}} g \ w {\ cal {G_ {i}}} \ w prawo \}.}$ indukowanej przez mapy

W konsekwencji: jeśli $jest$$\$ topologią na $indukowanej$ przez rodzinę i jeśli ${\ Displaystyle \ pi: X \ do (S, \ sigma )}$ jest dowolną mapą surjektywną wycenioną w jakiejś przestrzeni topologicznej ${\ Displaystyle (S, \ sigma)},$ a następnie ${\ Displaystyle \ pi :\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)\to (S,\sigma)} jest$ mapą ilorazową wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle (S, \ sigma) }$ ma ostateczną topologię indukowaną przez odwzorowania ${\ Displaystyle \ lewo \ {\ pi \ circ f_ {i} ~: ~ i \ w ja \ prawo \}.}$

Dzięki uniwersalnej właściwości rozłącznej topologii unii wiemy, że dla dowolnej rodziny ciągłych map istnieje unikalna ciągła mapa $\ Displaystyle f_ {i}: Y_ {i} \ do X}$

$${\ Displaystyle f: \ coprod _ {i} Y_ {i} \ do X}$$

który jest kompatybilny z naturalnymi zastrzykami. Jeśli rodzina map ${$$}$ tj. każda leży na obrazie niektórych ${$$\ displaystyle f_ {i}$ ja $displaystyle f_ {i}$$,$ wtedy mapa będzie mapą ilorazową $ma$ i tylko wtedy, gdy ostateczną topologię indukowaną przez mapy ${\ displaystyle f_ {i}.}$

Skutki zmiany rodziny map

Przez cały czas niech ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}: = \ lewo \ {f_ {i}: i \ in ja \ prawo \}}$ będzie rodziną ${ \ Displaystyle X}$ mapy o wartościach, z których każda ma postać fa $}$$\ Displaystyle f_ {i}: \ lewo (Y_ {i}, \ upsilon _ {i} \ prawo )$$indukowanej$$na$ i niech ostateczną topologię przez ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}.$ Definicja ostatecznej topologii gwarantuje, że ${\ Displaystyle f_ {i}: \ lewo (Y_ {i}, \ upsilon _ {i} \ prawej) \ do \ lewo (X, \ tau _ {\ mathcal {F}} \$$)$ mapa prawej ) }

Dla dowolnego podzbioru ostateczna topologia $tau _$${\ mathcal {S}}}$ na $\ displaystyle X}$${ \ displaystyle {\ mathcal$ będzie drobniejszy niż (i prawdopodobnie równy) topologii ${\ displaystyle \ tau _ {\ mathcal {F}}}$ ; to znaczy ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} \ subseteq {\ mathcal {F}}}$ implikuje $\ mathcal {S}},}$${\ Displaystyle \ tau _ {\ mathcal {F}} \ subseteq \ tau _$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ gdzie zestaw równości może obowiązywać, nawet jeśli $jest$ właściwym podzbiorem

Jeśli $jest$${\ Displaystyle f_ {i}: \ lewo (Y_ {i}, \ upsilon _ {i} \ prawo) \ do (X, \ tau)} jest ciągłe$ na $}$$Displaystyle$ taką, i dla każdego indeksu ${\ Displaystyle i \ w ja,}$ wtedy musi być ściśle grubszy niż $\ Displaystyle \ tau$$_ {\ mathcal {F}}}$ (co oznacza, że $\ tau \ subseteq \ tau _ {\ mathcal {F}}}$${\$ i ${\ Displaystyle \ tau \ neq \ tau _ {\ mathcal {F}};}$ to zostanie zapisane ${\ displaystyle \ tau \ subsetneq \ tau _ {\ mathcal {F}}} )$$\ displaystyle \ tau}$$}}$ ponadto dla dowolnego podzbioru $topologia$ τ będzie również $ściślej$ grubsza niż ostateczna topologia którą wywołuje na $}$$}$$X$ (ponieważ ${\ Displaystyle \ tau _ {\ mathcal {F}} \ subseteq \ tau _ {\ mathcal {S}}})$ ; to znaczy ${\ Displaystyle \ tau \ subsetneq \ tau _ {\ mathcal {S}}.}$

Załóżmy, że dodatkowo ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}: = \ lewo \ {g_ {a}: a \ w A \ prawo \}}$ jest ${ \ Displaystyle A}$ -indeksowana rodzina map o wartościach $\ Displaystyle g_ {a}: Z_ {a} \ do X}, których domenami$${$ przestrzenie topologiczne ${\ Displaystyle \ lewo (Z_ {a}, \ zeta _ {a} \ prawo).}$ Jeśli każdy ${\ Displaystyle g_ {a}: \ left(Z_{a},\zeta _{a}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)} jest ciągłe, a następnie dodanie tych map$ do rodziny ${\mathcal {F}}$ nie zmieni ostatecznej topologii na ${\ Displaystyle X;}$ to znaczy ${\ Displaystyle \ tau _ {{\ mathcal {F}} \ puchar {\ mathcal {G}}} = \ tau _ {\ mathcal {F}}.} Wyraźnie oznacza to, że ostateczna topologia na$ X $\ displaystyle X}$ indukowane przez „rozszerzoną rodzinę” jest równe ostatecznej topologii $F}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ puchar {\ mathcal {G$$}$ indukowane przez pierwotną rodzinę ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = \ lewo \ {f_ {i}: i \ w I \ prawej \}.} Jednak gdyby zamiast tego istniała choćby jedna mapa sol za {\ displaystyle g_$ { $0 }}}$ takie, że ${\ Displaystyle g_ {a_ {0}}: \ lewo (Z_ {a_ {0}}, \ zeta _ {a_ { 0}}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$ nie był ciągły, to ostateczna topologia ${\ Displaystyle \ tau _ {{\ mathcal { fa}} \ kubek {\ mathcal {G}}}}$ na ${\ Displaystyle X}$ wywołany przez „rozszerzoną rodzinę” ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ puchar {\ mathcal {G}} }$$z$ konieczności byłaby ściślejsza niż ostateczna indukowana ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}};}$ to znaczy ${\ Displaystyle \ tau _ {{\ mathcal {F}} \ kubek {\ mathcal {G}}} \ subsetneq \ tau _{\mathcal {F}}}$ (zobacz przypis w celu wyjaśnienia).

Spójność z podprzestrzeniami

Niech $)}$ tau będzie przestrzenią topologiczną i niech będzie rodziną $podprzestrzeni$$tau )}$${\ Displaystyle (X,$$ważne$ , słowo „podprzestrzeń ” jest używane do wskazania, że ​​każdy podzbiór wyposażony w topologię podprzestrzeni ${\ Displaystyle \ tau \ vert _ {S}}$ odziedziczony po ${\ Displaystyle (X, \ tau).}$ Mówi się, że przestrzeń $} jest$$)$ spójna z rodziną , jeśli ${\ Displaystyle \ tau = \ tau _ {\ mathcal {S}},}$ gdzie ${\ Displaystyle \ tau _ {\ mathcal {S}}}$ oznacza ostateczną topologię wywołaną przez mapy inkluzji ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}: = \ lewo \ {\ nazwa operatora {w} _ {S} ^ {X} ~: ~ S \ w \ mathbb {S } \right\}}$ gdzie dla każdego mapa inkluzji przyjmuje postać ${\ Displaystyle S \ in \ mathbb {S}}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {W} _ {S} ^ {X}: \ lewo (S, \ tau \ vert _ {S} \ prawo) \ do X.}$

Rozwikłanie definicji jest spójne z $\ Displaystyle$ i tylko wtedy, gdy następujące stwierdzenie jest prawdziwe: $(X, \ tau)}$

dla każdego podzbioru $X$ otwarty w $X, \ tau)}$${\ Displaystyle S \ in \ mathbb {S},}$$\$ , gdy dla każdego ${\ Displaystyle U \ cap S}$ jest otwarty w podprzestrzeni ${\ Displaystyle \ lewo (S, \ tau \ vert _ {S} \ prawo).}$

Zamiast tego można sprawdzić zbiory zamknięte: ${\ Displaystyle (X, \ tau)}$ jest spójny z ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego podzbioru $,}$${\ Displaystyle C \ subseteq$$jest$ zamknięty w ${\ Displaystyle (X, \ tau)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ${\ Displaystyle S \ w \ mathbb {S} do$${\ Displaystyle C \ cap S}$ jest zamknięty ${\ Displaystyle \ lewo (S, \ tau \ vert _ {S} \ prawo).}$

Na przykład, jeśli jest pokryciem przestrzeni topologicznej $\ tau)}$$) {\ Displaystyle ($$X$ przez otwarte podprzestrzenie (tj. otwarte podzbiory $\ tau)}$$jest$ obdarzony topologią podprzestrzeni), to spójny z ${O}.}$$mathbb$ W przeciwieństwie do tego, jeśli zbiorem wszystkich podzbiorów singleton z ${\ Displaystyle (X, \ tau)}$ (każdy zestaw obdarzony swoją unikalną topologią) , $to$$z$$wtedy$ i tylko gdy topologia na ${\ Displaystyle X.}$ Unia rozłączna jest ostateczną topologią w odniesieniu do rodziny iniekcji kanonicznych . Przestrzeń $X, \ tau)}$$mathbb {K}}$ nazywana jest generowaną kompaktowo , a k -przestrzeń, jeśli jest spójna ze zbiorem $Displaystyle$ \ wszystkie zwarte podprzestrzenie ${\ displaystyle (X, \ tau).}$ Wszystkie pierwsze przeliczalne przestrzenie i wszystkie lokalnie zwarte przestrzenie Hausdorffa są k - przestrzeniami, tak że w szczególności każda rozmaitość i każda przestrzeń metryzowalna jest spójna z rodziną wszystkich jej zwartych podprzestrzeni.

Jak pokazano w poniższych przykładach, w pewnych okolicznościach możliwe może być scharakteryzowanie bardziej ogólnej topologii końcowej pod względem spójności z podprzestrzeniami. Niech ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}: = \ lewo \ {f_ {i}: i \ in ja \ prawo \}} będzie$ rodziną ${\ Displaystyle X}$ mapy o wartościach, z których każda ma postać fa $\ Displaystyle f_ {i}: \ lewo (Y_ {i}, \ upsilon _ {i} \ prawo) \ do X}$$F$ niech ostateczną $indukowanej$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}.}$ przez Załóżmy, że jest topologią na $X}$$Displaystyle$ i dla każdego indeksu ${\ displaystyle i \ in I$ , obraz ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Im} f_ {i}: = f_ {i} (X)}$ jest wyposażony w topologię podprzestrzeni ${\ Displaystyle \ tau \ vert _ {f_ {i} (X)}}$ odziedziczony po ${\ Displaystyle (X, \ tau).}$ Jeśli dla każdego ${\ Displaystyle i \ w ja,}$ mapa ${\ Displaystyle f_ {i}: \ lewo (Y_ {i}, \ upsilon _ {i} \ prawej) \ do \ lewo (\ nazwa operatora {im} f_ {i}, \ tau \ vert _ {\ operatorname {Im} f_ {i}} \ right)}$ jest mapą ilorazową , a następnie ${\ Displaystyle \ tau = \ tau _ {\ mathcal {F}}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ styl wyświetlania (X,\tau )}$ jest spójny ze zbiorem wszystkich obrazów ${\ Displaystyle \ lewo \ {\ lewo (\ nazwa operatora {im} f_ {i}, \ tau \ vert _ {\ nazwa operatora {im} f_ {i}} \ prawej) ~: ~ i \ w ja \ prawo \} .}$

Ostateczna topologia na bezpośredniej granicy skończenie wymiarowych przestrzeni euklidesowych

Pozwalać

$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty} ~: = ~ \ lewo \ { \left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{wszystko oprócz skończenie wielu }}x_{i} {\text{ są równe }}0\right\},}$$

oznacza przestrzeń skończonych sekwencji $gdzie$ oznacza przestrzeń wszystkich rzeczywistych . Dla każdej liczby naturalnej $oznacza$ niech ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ zwykłą przestrzeń euklidesową wyposażoną w topologię euklidesową i ${\ Displaystyle \ operatorname {w} _ {\ mathbb {R} ^ {n}}: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R} ^ {\ infty} }$ oznaczają mapę inkluzji zdefiniowaną przez ${\ Displaystyle \ operatorname {In} _ {\ mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right):=\left(x_{1},\ldots,x_{n},0,0,\ldots \right) }$ tak, że jego obraz jest

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora { Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots,x_{n},0,0, \ldots \right)~:~x_{1},\ldots,x_{n}\in \mathbb {R} \right\}=\mathbb {R} ^{n}\times \left\{(0, 0,\ldkropki )\prawo\}}$$

i konsekwentnie,

$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty} = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} \ nazwa operatora {im} \ lewo (\ nazwa operatora {w} _ {\ mathbb {R} ^ {n }}\Prawidłowy).}$$

Nadaj zestawowi ostateczną topologię ${\ Displaystyle \ mathbb {$ przez rodzinę ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}: = \ lewo \ {\; \ operatorname {w} _ {\ mathbb {R} ^ {n}} ~: ~ n \ w \ mathbb {N} \ ;\right\}}$$R } ^ {\ infty}$ wszystkich map inkluzji. Dzięki tej topologii staje się kompletną , lokalnie wypukłą sekwencyjną topologiczną przestrzenią wektorową $która$ , nie jest przestrzenią – Urysohna . Topologia jest ściśle lepsza niż topologia podprzestrzeni indukowana przez R $^ {\ infty}}$$\ Displaystyle \ mathbb {R$$R} ^ {\ mathbb {N}},}$${\ Displaystyle \ mathbb$ gdzie ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$ jest wyposażony w swoją zwykłą topologię produktu . $_$ obrazowi _ bijekcja ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {w} _ {\ mathbb {R} ^ {n}}: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ nazwa operatora {im} \ lewo (\ nazwa operatora {w} _ {\ mathbb { R} ^{n}}\right);}$ _ to znaczy, że jest wyposażony w topologię euklidesową przeniesioną do niego z ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ przez ${\ Displaystyle \ operatorname {In} _ {\ mathbb {R} ^ {n}}.}$ Ta topologia na ${\ Displaystyle \ operatorname {Im} \ lewo (\ operatorname {In} _ { \mathbb {R} ^{n}}\right)}$ jest równe topologii podprzestrzeni indukowanej przez ${\ Displaystyle \ lewo (\ mathbb {R} ^ {\ infty}, \ tau ^ {\ infty} \ prawej).}$ Podzbiór $($${\ Displaystyle S \ subseteq \ mathbb {R} ^ {\ infty$$}} jest otwarty$ w wtedy i tylko co ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ zestaw ${\ Displaystyle S \ cap \ operatorname {Im} \ lewo (\ operatorname {In} _ { \mathbb {R} ^{n}}\right)}$ jest otwartym (odpowiednio, domkniętym) podzbiorem ${\ Displaystyle \ operatorname {im} \ lewo (\ operatorname {w} _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ prawej).} Topologia jest spójna τ ∞ {\ Displaystyle \ tau ^$ { \ $}$ z rodziną podprzestrzeni ${\ Displaystyle \ mathbb {S}: = \ lewo \ {\; \ operatorname {im} \ lewo (\ operatorname {w} _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ prawej) ~: ~ n \ w \ mathbb {N} \; \ prawo \}.}$ To sprawia, że ${\ Displaystyle \ lewo (\ mathbb {R} ^ {\ infty}, \ tau ^ {\ infty} \ prawej)}$ w przestrzeń LB. W konsekwencji, jeśli i $\ Displaystyle v _$${\ punktor}}$ sekwencją w $R} ^ {\ infty}}$ wtedy ${\ Displaystyle v _ {\ punktor} \ do v}$ w ${\ Displaystyle \ lewo (\ mathbb {R} ^ {\ infty} \ tau ^ {\ infty} \ right)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje jakiś $jak$ , że zarówno ${\ displaystyle v},$ i $}}$${\ displaystyle v _ {$ są zawarte w ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Im} \ lewo (\ nazwa operatora {w} _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ prawej)}$ i ${ \ Displaystyle v _ {\ punktor} \ do v}$ w ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {im} \ lewo (\ nazwa operatora {w} _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ po prawej).}$

Często dla każdego ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}},$ używana jest mapa inkluzji ${\ displaystyle \ operatorname {In} _ {\ mathbb {R} ^ {n}}}$ identyfikować ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ z jego obrazem ${\ Displaystyle \ operatorname {Im} \ lewo (\ operatorname {In} _ {\ mathbb {R} ^{n}}\right)}$ w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty};}$ wyraźnie elementy ${\ Displaystyle \ lewo (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ po prawej) \ w \ mathbb {R} ^ {n}}$ i ${\ Displaystyle \ lewo (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, 0, 0,0,\ldoks \right)}$ są identyfikowane razem. Pod tą identyfikacją ${\ Displaystyle \ lewo (\ lewo (\ mathbb {R} ^ {\ infty}, \ tau ^ {\ infty} \ right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)} staje się bezpośrednim$ ograniczeniem systemu bezpośredniego ${N} \ prawej)}$${\ Displaystyle \ lewo (\ lewo (\ mathbb {R} ^ {n} \ prawej) _ {n \ w \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{m\leq n{\$${\ Displaystyle \ operatorname {w} _ {\ mathbb {R} ^ {m}} ^ {\ mathbb {R} ^ {n}}: \ mathbb {R} ^ {m} \ do \ mathbb {R} ^ {n}}$$m$ gdzie dla mapy jest mapą inkluzji zdefiniowaną przez ${\ Displaystyle \ operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots,x_{m}\right):=\left(x_{1 }, \ ldots, x_ {m}, 0, \ ldots, 0 \ prawej),}$ gdzie są końcowe zera ${\ displaystyle nm} .$

Opis kategoryczny

W języku teorii kategorii ostateczną konstrukcję topologii można opisać następująco. Niech $będzie$ funktorem z $,$ dyskretnej do kategorii ${\ Displaystyle i \ in J.}$ topologicznych $Top$ wybiera dla . $Niech$$X}$ funktorem diagonalnym od góry do kategorii funktorów Top ^J (ten funktor wysyła każdą przestrzeń do stałego funktora do $X}$$\ displaystyle$ ). Kategoria przecinka ( $\ Displaystyle (Y \, \ downarrow \, \ Delta)}$ jest wtedy kategorią współ-stożków z ${\ Displaystyle Y},$ tj. obiektów w ${\ displaystyle (Y \, \ strzałka w dół \, \ Delta)}$ to pary ${\ Displaystyle (X, f)}$ gdzie ${\ Displaystyle f_ {i}: Y_ {i} \ do X}$ to rodzina ciągłych map do ${\ Displaystyle X.}$ Jeśli ${\ Displaystyle Y}$ jest funktorem zapominania od góry do zestawu , a Δ ′ jest funktorem ukośnym od zestawu do zbioru ^J , to kategoria przecinka ${\ Displaystyle \ lewo ( UY\,\downarrow \,\Delta ^{\prime }\right)}$ to kategoria wszystkich współstożków z ${\ Displaystyle UY.}$ Ostateczną konstrukcję topologii można następnie opisać jako funktor od $)}$ prawo ${\ Displaystyle (Y \, \ downarrow \, \ Delta).}$ Ten funktor pozostaje w sąsiedztwie odpowiedniego funktora zapominającego.

Zobacz też

• Granica bezpośrednia - Szczególny przypadek kolimitu w teorii kategorii
• Topologia indukowana
• Topologia początkowa - Najgrubsza topologia zapewniająca ciągłość pewnych funkcji
• LB-przestrzeń
• Przestrzeń LF – topologiczna przestrzeń wektorowa będąca lokalnie wypukłą indukcyjną granicą policzalnego systemu indukcyjnego przestrzeni Frécheta Strony wyświetlające opisy wikidanych jako rozwiązanie awaryjne

Cytaty

•   Brown, Ronald (czerwiec 2006). Topologia i grupoidy . North Charleston: CreateSpace. ISBN 1-4196-2722-8 .
•    Willard, Stephen (1970). Topologia ogólna . Seria Addisona-Wesleya w matematyce. Czytanie, MA: Addison-Wesley. ISBN 9780201087079 . Zbl 0205.26601 . . (Zawiera krótkie, ogólne wprowadzenie w sekcji 9 i ćwiczeniu 9H)
•    Willard, Stephen (2004) [1970]. Topologia ogólna . Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7 . OCLC 115240 .