Kohomologia

W matematyce , szczególnie w teorii homologii i topologii algebraicznej , kohomologia to ogólny termin określający sekwencję grup abelowych , zwykle związaną z przestrzenią topologiczną , często definiowaną na podstawie kompleksu współłańcuchowego . Kohomologię można postrzegać jako metodę przypisywania przestrzeni bogatszych niezmienników algebraicznych niż homologia. Niektóre wersje kohomologii powstają w wyniku dualizacji konstrukcji homologii. Innymi słowy, współłańcuchy są funkcjami grupy łańcuchów w teorii homologii.

Od samego początku w topologii idea ta stała się metodą dominującą w matematyce drugiej połowy XX wieku. Od początkowej idei homologii jako metody konstruowania algebraicznych niezmienników przestrzeni topologicznych, zakres zastosowań teorii homologii i kohomologii rozszerzył się na geometrię i algebrę . Terminologia ma tendencję do ukrywania faktu, że kohomologia, kontrawariantna , jest w wielu zastosowaniach bardziej naturalna niż homologia. Na poziomie podstawowym ma to związek z funkcjami i wycofaniami w sytuacjach geometrycznych: dane przestrzenie X i Y oraz pewnego rodzaju funkcja F na Y , dla dowolnego odwzorowania f : X → Y , złożenie z f daje początek funkcji F ∘ fa na X . Najważniejsze teorie kohomologii mają iloczyn, produkt kubkowy , który nadaje im strukturę pierścieniową . Z powodu tej cechy kohomologia jest zwykle silniejszym niezmiennikiem niż homologia.

Kohomologia osobliwa

Kohomologia pojedyncza jest potężnym niezmiennikiem w topologii, łączącym pierścień przemienny stopniowany z dowolną przestrzenią topologiczną. Każde odwzorowanie ciągłe f : X → Y określa homomorfizm od pierścienia kohomologii Y do pierścienia X ; nakłada to silne ograniczenia na możliwe mapy od X do Y . W przeciwieństwie do bardziej subtelnych niezmienników, takich jak grupy homotopii , pierścień kohomologii jest w praktyce obliczalny dla interesujących nas przestrzeni.

Dla przestrzeni topologicznej X definicja kohomologii osobliwej zaczyna się od pojedynczego kompleksu łańcuchowego :

$$\ Displaystyle \ cdots \ do C_ {i + 1} {\ stackrel {\ częściowe _ {i + 1}}} {\ do }}C_{i}{\stackrel {\częściowe _{i}}{\do }}\ C_{i-1}\do \cdots}$$

Z definicji homologia pojedyncza X jest homologią tego kompleksu łańcuchowego (jądro jednego homomorfizmu modulo obraz poprzedniego). Bardziej szczegółowo, C _i jest swobodną grupą abelową na zbiorze ciągłych odwzorowań od standardowego i -simplex do X (nazywanych " i -simplices w liczbie pojedynczej w X "), a ∂ _i jest homomorfizmem i -tej granicy. Grupy C _i są równe zeru dla i ujemnego.

Teraz napraw grupę abelową A i zastąp każdą grupę C _ja jej podwójną grupą ${\ Displaystyle C_ {i} ^ {*}: = \ operatorname {Hom} (C_ {i}, A)}$ i ${\ Displaystyle \ częściowy _ {i}}$ jego podwójny homomorfizm

$${\ Displaystyle d_ {i-1}: C_ {i-1} ^ {*} \ do C_ {i} ^ {*}.}$$

Powoduje to „odwrócenie wszystkich strzałek” pierwotnego kompleksu, pozostawiając kompleks cochain

$$C_ {i + 1} ^ {*} {\ stackrel {d_ {i} }{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {d_{i-1}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }$$

Dla liczby całkowitej i , i- ^ta grupa kohomologiczna X ze współczynnikami w A jest zdefiniowana jako ker( di ₎ / im( di _{- 1} ) i oznaczona przez Hi ( ^X , A ). Grupa H ⁱ ( X , A ) jest zerowa dla i ujemnego. Elementy nazywane są pojedynczymi i - $.$ w A (Równoważnie, i -cochain na X może być utożsamiany z funkcją ze zbioru pojedynczych i -simplices w X do A. ) ​​Elementy ker( d ) i im( d ) nazywane są odpowiednio kocyklami i kograniczami , podczas gdy elementy ker( d )/im( d ) = H ⁱ ( X , A ) nazywane są klasami kohomologii (ponieważ są klasami równoważności kocykli).

W poniższym tekście grupa współczynników A czasami nie jest zapisywana. Powszechnie przyjmuje się, A jest pierścieniem przemiennym R ; wtedy grupy kohomologiczne są R - modułami . Standardowym wyborem jest pierścień Z liczb całkowitych .

Niektóre formalne właściwości kohomologii to tylko pomniejsze warianty właściwości homologii:

• Ciągła mapa ${\ Displaystyle f: X \ do Y}$ określa homomorfizm pushforward ${\ Displaystyle f_ {*}: H_ {i} (X ) \ do H_ {i} (Y)}$ o homologii i homomorfizmie wycofania ${\ Displaystyle f ^ {*}: H ^ {i} (Y) \ do H^{i}(X)}$ o kohomologii. To sprawia, że ​​kohomologia staje się funktorem kontrawariantnym od przestrzeni topologicznych do grup abelowych (lub modułów R ).
• Dwie mapy homotopowe od X do Y indukują ten sam homomorfizm w kohomologii (podobnie jak w przypadku homologii).
• Mayera – Vietorisa jest ważnym narzędziem obliczeniowym w kohomologii, podobnie jak w homologii. Należy zauważyć, że homomorfizm brzegowy zwiększa (a nie zmniejsza) stopień kohomologii. Oznacza to, że jeśli przestrzeń X jest sumą otwartych podzbiorów U i V , to istnieje długa sekwencja dokładna :
  $${\ Displaystyle \ cdots \ do H ^ {i} ( X)\do H^{i}(U)\oplus H^{i}(V)\do H^{i}(U\cap V)\do H^{i+1}(X)\do \ kropki }$$
• Istnieją względne grupy $_$ _ _ _ _ _ _ Są one powiązane ze zwykłymi grupami kohomologii długą dokładną sekwencją:
  $${\ Displaystyle \ cdots \ do H ^ {i} (X, Y) \do H^{i}(X)\do H^{i}(Y)\do H^{i+1}(X,Y)\do \cdots }$$
• Twierdzenie o uniwersalnym współczynniku opisuje kohomologię w kategoriach homologii, używając grup Ext . Mianowicie, istnieje krótki dokładny ciąg
  $${\ Displaystyle 0 \ do \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\operatorname {H} _{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\do H^{i}( X,A)\do \nazwa_operatora {Hom} _{\mathbb {Z}}(H_{i}(X,\mathbb {Z}),A)\do 0.}$$
  Powiązanym stwierdzeniem $,$ pole dokładnie przestrzenią wektorowej _ _ $_ H_{i}(X,F)}$ .
• Jeśli X jest rozmaitością topologiczną lub zespołem CW , to grupy $_$ niż wymiar _ Jeśli X jest zwartą rozmaitością (być może z granicą) lub CW zespolonym ze skończenie wieloma komórkami w każdym wymiarze, a R jest przemiennym pierścieniem Noetherowskim , to R -moduł H ⁱ ( X , R ) jest skończenie generowany dla każdego i .

Z drugiej strony, kohomologia ma kluczową strukturę, której nie ma homologia: dla dowolnej przestrzeni topologicznej X i pierścienia przemiennego R istnieje dwuliniowa mapa , zwana iloczynem kubka :

$${\ Displaystyle H ^ {i} (X, R) \ razy H ^ {j} (X, R )\do H^{i+j}(X,R),}$$

zdefiniowane przez jawną formułę na pojedynczych kołańcuchach. Iloczyn klas kohomologii u i v zapisujemy jako u ∪ v lub po prostu jako uv . Ten produkt stanowi bezpośrednią sumę

$${\ Displaystyle H ^ {*} (X, R) = \ bigoplus _ {i} H ^ {i} (X, R)}$$

w stopniowany pierścień , zwany pierścieniem kohomologicznym X. Jest stopniowany-przemienny w tym sensie, że:

$${\ Displaystyle uv = (-1) ^ {ij} vu, \ qquad u \ w H ^ {i} (X, R), v \ w H ^ {j} (X, R).}$$

fa $do Y}$$\ Displaystyle f ^ {*} :H^{*}(Y,R)\to H^{*}(X,R)}$ wycofanie fa jest homomorfizmem stopniowanych R - algebr . Wynika z tego, że jeśli dwie przestrzenie są homotopijnie równoważne , to ich pierścienie kohomologiczne są izomorficzne.

Oto kilka geometrycznych interpretacji kubka. W dalszej części rozumie się, że rozmaitości nie mają granic, chyba że zaznaczono inaczej. Rozmaitość zamknięta oznacza rozmaitość zwartą (bez granicy), podczas gdy podrozmaitość zamknięta N rozmaitości M oznacza podrozmaitość będącą domkniętym podzbiorem M , niekoniecznie zwartym (chociaż N jest automatycznie zwarty, jeśli M jest).

• Niech X będzie zamkniętą rozmaitością zorientowaną o wymiarze n . Wówczas dualność Poincarégo daje izomorfizm H ⁱ X ≅ H _{n − i} X . W rezultacie zamknięta zorientowana podrozmaitość S o kowymiarze i w X wyznacza klasę kohomologii w H ⁱ X , zwaną [ S ]. W tych warunkach iloczyn kubkowy opisuje przecięcie podrozmaitości. Mianowicie, jeśli S i T są podrozmaitościami o kowymiarach i oraz j , które przecinają się poprzecznie , to
  $${\ Displaystyle [S] [T] = [S \ nasadka T] \ w H ^ {i + j} (X), }$$
  gdzie przecięcie S ∩ T jest podrozmaitością współwymiaru i + j , z orientacją określoną przez orientacje S , T i X . W przypadku rozmaitości gładkich , jeśli S i T nie przecinają się poprzecznie, ten wzór nadal może być użyty do obliczenia iloczynu kubka [ S ][ T ], poprzez zakłócenie S lub T , aby przecięcie było poprzeczne. Mówiąc bardziej ogólnie, bez zakładania, że ​​X ma orientację, zamknięta podrozmaitość X z orientacją na swojej wiązce normalnej określa klasę kohomologii na X . Jeśli X jest rozmaitością niezwartą, to podrozmaitość domknięta (niekoniecznie zwarta) określa klasę kohomologii na X . W obu przypadkach produkt kubkowy można ponownie opisać za pomocą przecięć podrozmaitości. Zauważ, że Thom skonstruował integralną klasę kohomologii stopnia 7 na gładkiej 14-rozmaitości, która nie jest klasą żadnej gładkiej podrozmaitości. Z drugiej strony pokazał, że każda klasa kohomologii integralnej o dodatnim stopniu na rozmaitości gładkiej ma dodatnią wielokrotność, która jest klasą podrozmaitości gładkiej. Ponadto każda integralna klasa kohomologii na rozmaitości może być reprezentowana przez „pseudomanifold”, to znaczy kompleks uproszczony, który jest rozmaitością poza zamkniętym podzbiorem kowymiaru co najmniej 2.
• Dla gładkiej rozmaitości X twierdzenie de Rhama mówi , że pojedyncza kohomologia X z rzeczywistymi współczynnikami jest izomorficzna z kohomologią de Rham X , zdefiniowaną za pomocą form różniczkowych . Produkt kubkowy odpowiada iloczynowi form różniczkowych. Ta interpretacja ma tę zaletę, że iloczyn na formach różniczkowych jest stopniowany-przemienny, podczas gdy iloczyn na pojedynczych współłańcuchach jest stopniowany-przemienny tylko do homotopii łańcucha . W rzeczywistości nie można zmodyfikować definicji pojedynczych współłańcuchów ze współczynnikami w liczbach całkowitych lub w ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p}$$/ p {\ displaystyle \ mathbb {Z} / p}$ dla liczby pierwszej p do spraw, aby produkt był stopniowany-przemienny na nosie. Niepowodzenie stopniowanej przemienności na poziomie łańcucha łańcuchowego prowadzi do operacji Steenroda na kohomologii mod p .

Bardzo nieformalnie, dla dowolnej przestrzeni topologicznej X , elementy $z$ traktować jako reprezentowane przez codimension- podprzestrzenie , które mogą swobodnie poruszać po X jednym ze sposobów zdefiniowania elementu jest $do$ ciągłej mapy f od X rozmaitości M zamkniętego codimension- podrozmaitości M z orientacją na normalnej wiązce. $_$ wynikowa _ ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (N)$ } X ; ${\ Displaystyle Xf ^ {-1} (N).}$$,$ klasa ogranicza w kohomologii otwartego Klasa kohomologii ${\ Displaystyle f ^ {*} ([N])}$ może swobodnie poruszać się po X w tym sensie, że N może być zastąpione przez dowolne ciągłe odkształcenie N wewnątrz M .

Przykłady

Poniżej, kohomologię przyjmuje się ze współczynnikami w liczbach całkowitych Z , o ile nie zaznaczono inaczej.

• ^{Pierścieniem} kohomologicznym punktu jest pierścień Z w stopniu 0. Dzięki niezmienniczości homotopii jest to również pierścień kohomologiczny dowolnej przestrzeni kurczliwej , takiej jak przestrzeń euklidesowa Rn .
• 

  Pierwsza grupa kohomologii dwuwymiarowego torusa ma podstawę określoną przez klasy dwóch pokazanych okręgów.
  Dla dodatniej liczby całkowitej n , pierścień kohomologii sfery $to$ Z [ x ] / ( 2 ⁾ pierścień ilorazowy pierścienia wielomianu przez dany ideał ), z x w stopień ż . Pod względem dualizmu Poincarégo, jak wyżej, x jest klasą punktu na kuli.
• Pierścień kohomologii torusa jest zewnętrzną algebrą nad Z na n generatorach w stopniu 1. Na przykład niech P oznacza punkt na okręgu ${\ Displaystyle (S ^ {1}) ^ {n}}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$ i Q punkt ( P , P ) w dwuwymiarowym torusie ${\ Displaystyle (S ^ {1}) ^ {2}}$ . Wtedy kohomologia ( S ¹ ) ² ma podstawę jako wolny moduł Z postaci: element 1 w stopniu 0, x := [ P × S ¹ ] i y := [ S ¹ × P ] w stopniu 1 i xy = [ Q ] w stopniu 2. (Domyślnie orientacje torusa i dwóch okręgów zostały tutaj ustalone.) Zauważ, że yx = − xy = − [ Q ], przez stopniowaną przemienność.
• Mówiąc bardziej ogólnie, niech R będzie pierścieniem przemiennym i niech X i Y będą dowolnymi przestrzeniami topologicznymi takimi, że H ^* ( X , R ) jest skończenie generowanym wolnym modułem R w każdym stopniu. (Żadne założenie nie jest potrzebne dla Y .) Wtedy wzór Künnetha daje, że pierścień kohomologii przestrzeni iloczynu X × Y jest iloczynem tensorowym R -algebr:
  $${\ Displaystyle H ^ {*} (X \ razy Y, R) \ cong H ^ {*} (X, R) \ czasami _ {R} H ^ {*} (Y, R).}$$
• Pierścień kohomologii rzeczywistej przestrzeni rzutowej RP ⁿ o współczynnikach Z /2 to Z /2[ x ]/( x ^{n +1} ), gdzie x jest w stopniu 1. Tutaj x jest klasą hiperpłaszczyzny RP ^{n −1} w RP ⁿ ; ma to sens, mimo że RP ^j nie jest orientowalne dla j parzystego i dodatniego, ponieważ dualność Poincarégo ze współczynnikami Z /2 działa dla dowolnych rozmaitości. W przypadku współczynników całkowitych odpowiedź jest nieco bardziej skomplikowana. Kohomologia Z RP ^{2 a} ma element y stopnia 2 taki, że cała kohomologia jest bezpośrednią sumą kopii Z rozpiętej przez element 1 w stopniu 0 wraz z kopiami Z /2 rozpiętymi przez elementy y ⁱ dla i =1,..., a . Kohomologia Z RP ^{2 a +1 jest taka sama wraz} z dodatkową kopią Z w stopniu 2 a +1.
• Pierścień kohomologii zespolonej przestrzeni rzutowej CP ⁿ to Z [ x ]/( x ^{n +1} ), gdzie x jest stopniem 2. Tutaj x jest klasą hiperpłaszczyzny CP ^{n −1} w CP ⁿ . Bardziej ogólnie, x ^j jest klasą liniowej podprzestrzeni CP ^{n − j} w CP ⁿ .
• Pierścień kohomologiczny zamkniętej zorientowanej powierzchni X rodzaju g ≥ 0 ma bazę jako swobodny moduł Z postaci: element 1 w stopniu 0, A 1 _, ..., A _g i B ₁ ,... , B _g w stopniu 1, a klasa P punktu w stopniu 2. Iloczyn jest dany wzorem: A _i A _j = B _i B _j = 0 dla wszystkich i oraz j , A _i B _j = 0 jeśli i ≠ j , i ZA _ja B _ja = P dla wszystkich ja . Ze stopniowanej przemienności wynika, że ​​B _i ZA _i = − P .
• W dowolnej przestrzeni topologicznej stopniowa przemienność pierścienia kohomologii implikuje, że 2 x ² = 0 dla wszystkich klas kohomologii nieparzystego stopnia x . Wynika z tego, że dla pierścienia R zawierającego 1/2 wszystkie elementy nieparzystego stopnia H ^* ( X , R ) mają kwadrat zero. Z drugiej strony elementy nieparzystego stopnia nie muszą mieć kwadratu zera, jeśli R jest Z /2 lub Z , jak widać na przykładzie RP ² (ze współczynnikami Z / 2) lub RP ⁴ × RP ² (ze współczynnikami Z ) .

Przekątna

Produkt kubkowy na kohomologii można postrzegać jako pochodzący z mapy diagonalnej Δ: X → X × X , x ↦ ( x , x ). Mianowicie dla dowolnych przestrzeni X i Y o klasach kohomologii u ∈ H ⁱ ( X , R ) i v ∈ H ^j ( Y , R ) istnieje iloczyn zewnętrzny (lub iloczyn krzyżowy ) klasa kohomologii u × v ∈ H ^{i + j} ( X × Y , R ). Iloczyn kubkowy klas u ∈ H ⁱ ( X , R ) i v ∈ H ^j ( X , R ) można zdefiniować jako wycofanie iloczynu zewnętrznego po przekątnej:

$${\ Displaystyle uv = \ Delta ^ {*} (u \ razy v) \ w H ^ {i + j} (X, R).}$$

Alternatywnie produkt zewnętrzny można zdefiniować w kategoriach produktu kubkowego. Dla przestrzeni X i Y napisz f : X × Y → X i g : X × Y → Y dla dwóch rzutów. Wtedy iloczyn zewnętrzny klas u ∈ H ⁱ ( X , R ) i v ∈ H ^j ( Y , R ) wynosi:

$${\ Displaystyle u \ razy v = (f ^ {*} (u)} (g ^ {*} (v)) \ w H ^ {i + j} (X \ razy Y, R).}$$

dualność Poincarégo

Główny artykuł: dualizm Poincarégo

Inna interpretacja dualności Poincarégo jest taka, że ​​​​pierścień kohomologiczny zamkniętej rozmaitości zorientowanej jest samodualny w silnym sensie. Mianowicie, niech X będzie zamkniętą , spójną rozmaitością zorientowaną o wymiarze n i niech F będzie polem. Wtedy H ⁿ ( X , F ) jest izomorficzne z F i iloczynem

${\ Displaystyle H ^ {i} (X, F) \ razy H ^ {ni} (X, F)\do H^{n}(X,F)\cong F}$

jest idealnym parowaniem dla każdej liczby całkowitej i . W szczególności przestrzenie wektorowe Hi ( ^X , F ) i H ^{n − i} ( X , F ) mają ten sam (skończony) wymiar . Podobnie iloczyn na całkowej kohomologii modulo skręcenie o wartościach w H ⁿ ( X , Z ) ≅ Z jest idealnym parowaniem nad Z .

Klasy charakterystyczne

Główny artykuł: Klasa charakterystyczna

Zorientowana wiązka wektorów rzeczywistych E rangi r w przestrzeni topologicznej X określa klasę kohomologii na X , klasę Eulera χ( E ) ∈ H ^r ( X , Z ). Nieformalnie klasa Eulera jest klasą zbioru zerowego ogólnej sekcji E . Ta interpretacja może być bardziej wyraźna, gdy E jest wiązką wektorów gładkich na gładkiej rozmaitości X , ponieważ wtedy ogólny gładki przekrój X znika na podrozmaitości kowymiarowej r X .

Istnieje kilka innych typów klas charakterystycznych dla wiązek wektorowych, które przyjmują wartości w kohomologii, w tym klasy Cherna , klasy Stiefela – Whitneya i klasy Pontryagina .

Przestrzenie Eilenberga-MacLane'a

Główny artykuł: przestrzeń Eilenberga – MacLane'a

Dla każdej grupy abelowej A i liczby naturalnej j istnieje przestrzeń, której $j$ - ta grupa homotopii jest izomorficzna z grupy homotopii są Taka przestrzeń nazywana jest przestrzenią Eilenberga-MacLane'a . Przestrzeń ta ma tę niezwykłą właściwość, że jest przestrzenią klasyfikującą kohomologię: istnieje element naturalny u $A, j), A)}$ ( , a każda klasa kohomologii stopnia j na każdej przestrzeni X jest cofnięciem u przez jakąś ciągłą mapę ${\ Displaystyle X \ do K (A, j)}$ . Dokładniej, cofanie klasy u daje bijekcję

${\ Displaystyle [X, K (A, j)] {\ stackrel {\ cong} {\ do}} H ^ {j} ( X,A)}$

dla każdej przestrzeni X z typem homotopii kompleksu CW. Tutaj $X, Y]}$ [ oznacza zbiór klas homotopii ciągłych map od X do Y.

Na przykład przestrzeń ( $Displaystyle S ^ {1}$$homotopii) może być$ jako okrąg . Tak więc powyższy opis mówi, że każdy element $S ^ {1}}$ wyciągany z klasy $u$ punktu na ${\ Displaystyle H ^ {1} (X, \ mathbb {Z})$ przez jakąś mapę ${\ Displaystyle X \ do S ^ {1}}$ .

Istnieje pokrewny opis pierwszej kohomologii ze współczynnikami w dowolnej grupie abelowej A , powiedzmy dla kompleksu CW X. Mianowicie, jest w A - wiązki $relacji$ zbiorem klas izomorfizmu Galois przestrzenie grupą A , także ponad X . Dla X połączonego wynika z tego, że $(\ pi _ {1} (X), A)}$$1 ($ ( ${$ , gdzie ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X)}$ jest podstawową grupą X . ${\ Displaystyle 0 \ in H ^ {1} (X, \ mathbb {Z} / 2)}$ przykład $klasyfikuje$ podwójne , _ odpowiadające trywialnemu podwójnemu pokryciu, rozłącznemu połączeniu dwóch kopii X .

Produkt z czapką

Główny artykuł: produkt Cap

Dla dowolnej przestrzeni topologicznej X iloczyn cap jest mapą dwuliniową

${\ Displaystyle \ czapka: H ^ {i} (X, R) \ razy H_ {j} ( X,R)\do H_{ji}(X,R)}$

dla dowolnych liczb całkowitych i i j oraz dowolnego pierścienia przemiennego R . Wynikowa mapa

${\ Displaystyle H ^ {*} (X, R) \ razy H_ {*} (X, R) \ do H_ {*}(X,R)}$

sprawia, że ​​pojedyncza homologia X staje się modułem nad pojedynczą kohomologią pierścienia X .

Dla i = j iloczyn cap daje naturalny homomorfizm

${\ Displaystyle H ^ {i} (X, R) \ do \ operatorname {Hom} _ {R} (H_ { i}(X,R),R),}$

co jest izomorfizmem dla pola R.

Na przykład niech X będzie zorientowaną rozmaitością, niekoniecznie zwartą. Wtedy podrozmaitość kowymiarowa o domkniętej kowymiarowości Y od X (niekoniecznie zwarta) określa element H ⁱ ( X , R ), a podrozmaitość zwarta zorientowana j wymiarowo Z od X wyznacza element z H _j ( X , R ) . Iloczyn czapki [ Y ] ∩ [ Z ] ∈ H _{j - i} ( X , R ) można obliczyć zaburzając Y i Z , aby przecięły się poprzecznie, a następnie biorąc klasę ich przecięcia, która jest zwartą zorientowaną podrozmaitością wymiaru j - ja .

Zamknięta zorientowana rozmaitość X o wymiarze n ma podstawową klasę [ X ] w H _n ( X , R ). Izomorfizm dualizmu Poincarégo

$${\ Displaystyle H ^ {i} (X, R) {\ overset {\ cong} {\ do}} H_ {ni} (X, R)}$$

jest zdefiniowany przez iloczyn cap z podstawową klasą X .

Krótka historia kohomologii pojedynczej

Chociaż kohomologia ma fundamentalne znaczenie dla współczesnej topologii algebraicznej, jej znaczenia nie widziano przez około 40 lat po opracowaniu homologii. Koncepcja podwójnej struktury komórkowej , której użył Henri Poincaré w swoim dowodzie swojego twierdzenia o dualności Poincarégo, zawierała początek idei kohomologii, ale zostało to zauważone dopiero później.

Było wiele prekursorów kohomologii. W połowie lat dwudziestych JW Alexander i Solomon Lefschetz stworzyli teorię przecięć cykli na rozmaitościach. Na zamkniętej zorientowanej n -wymiarowej rozmaitości M i - cykl i j -cykl z niepustym przecięciem, jeśli znajdują się w położeniu ogólnym , będą miały jako swoje przecięcie a ( i + j − n )-cykl. Prowadzi to do mnożenia klas homologii

${\ Displaystyle H_ {i} (M) \ razy H_ {j} (M) \ do H_ {i + jn} ( M),}$

który (z perspektywy czasu) można utożsamiać z produktem kubkowym na kohomologii M .

^{+1 roku} zdefiniował pierwsze pojęcie współłańcucha, myśląc o i -współłańcuchu w przestrzeni X jako funkcji na małych sąsiedztwach przekątnej w Xi .

W 1931 roku Georges de Rham powiązał homologię i formy różniczkowe, udowadniając twierdzenie de Rhama . Wynik ten można przedstawić prościej w kategoriach kohomologii.

W 1934 Lew Pontryagin udowodnił twierdzenie Pontriagina o dualności ; wynik na grupach topologicznych . To (w raczej szczególnych przypadkach) dostarczyło interpretacji dualizmu Poincarégo i dualizmu Aleksandra w kategoriach znaków grupowych .

Na konferencji w Moskwie w 1935 r . Andriej Kołmogorow i Aleksander wprowadzili kohomologię i próbowali skonstruować strukturę iloczynu kohomologii.

W 1936 roku Norman Steenrod skonstruował kohomologię Čecha poprzez dualizację homologii Čecha.

W latach 1936-1938 Hassler Whitney i Eduard Čech opracowali produkt kubka (przekształcając kohomologię w stopniowany pierścień) i produkt kapelusza i zdali sobie sprawę, że dualność Poincarégo można określić w kategoriach produktu kapelusza. Ich teoria wciąż ograniczała się do skończonych kompleksów komórkowych.

W 1944 roku Samuel Eilenberg przezwyciężył ograniczenia techniczne i podał współczesną definicję homologii i kohomologii w liczbie pojedynczej.

W 1945 roku Eilenberg i Steenrod sformułowali aksjomaty definiujące teorię homologii lub kohomologii, omówione poniżej. W swojej książce z 1952 roku, Foundations of Algebraic Topology , udowodnili, że istniejące teorie homologii i kohomologii rzeczywiście spełniają ich aksjomaty.

W 1946 roku Jean Leray zdefiniował kohomologię snopów.

W 1948 roku Edwin Spanier , opierając się na pracach Aleksandra i Kołmogorowa, opracował kohomologię Aleksandra-Spaniera .

Kohomologia snopów

Główny artykuł: kohomologia snopów

Kohomologia snopów jest bogatym uogólnieniem kohomologii pojedynczej, pozwalającym na bardziej ogólne „współczynniki” niż po prostu grupa abelowa. Dla każdego snopka grup abelowych E w przestrzeni topologicznej X mamy grupy kohomologiczne H ⁱ ( X , E ) dla liczb całkowitych i . W szczególności, w przypadku stałego snopka na X związanego z grupą abelową A , powstałe grupy Hi ⁽ X , A ) pokrywają się z osobliwą kohomologią dla X rozmaitości lub kompleksu CW (choć nie dla dowolnych przestrzeni X ). Począwszy od lat pięćdziesiątych XX wieku kohomologia snopów stała się centralną częścią geometrii algebraicznej i analizy zespolonej , częściowo ze względu na znaczenie snopów funkcji regularnych lub snopów funkcji holomorficznych .

Grothendieck elegancko zdefiniował i scharakteryzował kohomologię snopów w języku algebry homologicznej . Najważniejsze jest ustalenie przestrzeni X i myślenie o kohomologii snopów jako o funktorze z abelowej kategorii snopów na X do grup abelowych. Zacznij od funktora, który przenosi snop E na X do jego abelowej grupy globalnych przekrojów na X , E ( X ). Ten funktor jest lewostronnie dokładny , ale niekoniecznie prawostronny. Grothendieck zdefiniował grupy kohomologii snopów jako prawe funktory pochodne lewego funktora dokładnego E ↦ E ( X ).

Definicja ta sugeruje różne uogólnienia. Na przykład można zdefiniować kohomologię przestrzeni topologicznej X ze współczynnikami w dowolnym zespole snopów, wcześniej nazywaną hiperkohomologią (ale obecnie po prostu „kohomologią”). Z tego punktu widzenia kohomologia snopów staje się ciągiem funktorów od pochodnej kategorii snopów na X do grup abelowych.

W szerokim znaczeniu tego słowa „kohomologia” jest często używana dla funktorów pochodnych z prawej strony lewego funktora dokładnego w kategorii abelowej, podczas gdy „homologia” jest używana dla funktorów pochodnych z lewej strony prawego funktora dokładnego. Na przykład dla pierścienia R grupy Tor Tor _i ^R ( M , N ) tworzą „teorię homologii” dla każdej zmiennej, funktory pochodzące z lewej strony iloczynu tensorowego M ⊗ _R N z R -modułów. Podobnie, grupy Ext Ext ⁱ _R ( M , N ) można postrzegać jako „teorię kohomologii” w każdej zmiennej, funktorach wyprowadzonych w prawo funktora Hom Hom _R ( M , N ).

Kohomologię snopka można utożsamić z typem grupy Ext. Mianowicie, dla snopka E w przestrzeni topologicznej X , H ⁱ ( X , E ) jest izomorficzna z Ext ⁱ ( Z _X , E ), gdzie Z _X oznacza snop stały związany z liczbami całkowitymi Z , a Ext przyjmuje się w abelowa kategoria snopów na X .

Kohomologia odmian

Istnieje wiele maszyn zbudowanych do obliczania kohomologii rozmaitości algebraicznych. Najprostszym przypadkiem jest określenie kohomologii dla gładkich odmian rzutowych na polu charakterystycznym ${\ displaystyle 0}$ . Narzędzia z teorii Hodge'a, zwane strukturami Hodge'a , pomagają w obliczeniach kohomologii tego typu rozmaitości (z dodatkiem bardziej wyrafinowanych informacji). W najprostszym przypadku kohomologię $można$ hiperpowierzchni w określić na podstawie stopnia samego wielomianu

Rozważając rozmaitości na polu skończonym lub polu charakterystycznym $.$ potrzebne są potężniejsze narzędzia, ponieważ klasyczne definicje homologii / kohomologii zawodzą Dzieje się tak, ponieważ rozmaitości na polach skończonych będą tylko skończonym zbiorem punktów. Grothendieck wpadł na pomysł topologii Grothendiecka i użył kohomologii snopów nad topologią étale , aby zdefiniować teorię kohomologii dla rozmaitości w polu skończonym. $\ ell \ neq p}$ topologii etale dla różnorodności w polu charakterystycznym, $skonstruować$ -adic kohomologię dla $Displaystyle$ . Jest to określone jako

${\ Displaystyle H ^ {k} (X; \ mathbb {Q} _ { \ell }):=\varprojlim H_{et}^{k}(X;\mathbb {Z} /(\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\ mathbb {Q} _{\ell}}$

Jeśli mamy schemat typu skończonego

${\ Displaystyle X = {\ tekst {Proj}} \ lewo ({\ Frac {\ mathbb {Z} \ lewo [ x_{0},\ldots,x_{n}\right]}{\left(f_{1},\ldots,f_{k}\right)}}\right)}$

$X (\mathbb {F} _{q})}$ istnieje równość wymiarów dla $X$ i $q$ -adic ilekroć rozmaitość jest gładka na obu polach. Oprócz tych teorii kohomologii istnieją inne teorie kohomologii zwane teoriami kohomologii Weila , które zachowują się podobnie do kohomologii pojedynczej. Istnieje przypuszczalna teoria motywów, która leży u podstaw wszystkich teorii kohomologii Weila.

Innym użytecznym narzędziem obliczeniowym jest sekwencja powiększania. Biorąc pod uwagę współwymiar ${\ Displaystyle \ geq 2}$ podschemat ${\ Displaystyle Z \ podzbiór X}$ istnieje kwadrat kartezjański

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} E & \ longrightarrow & Bl_ {Z} (X) \\\ strzałka w dół &&\ strzałka w dół \\ Z & \ longrightarrow & X \ koniec {macierz} }}$

Z tego jest związana długa dokładna sekwencja

${\ Displaystyle \ cdots \ do H ^ { n}(X)\do H^{n}(Z)\oplus H^{n}(Bl_{Z}(X))\do H^{n}(E)\do H^{n+1} (X)\do \cdots }$

Jeśli podrozmaitość jest gładka, to wszystkie morfizmy łączące są trywialne, stąd Z $\ displaystyle Z}$

${\ Displaystyle H ^ {n} (Bl_ {Z} (X)) \ oplus H ^ { n}(Z)\cong H^{n}(X)\oplus H^{n}(E)}$

Aksjomaty i uogólnione teorie kohomologii

Zobacz także: Lista teorii kohomologii

Istnieją różne sposoby definiowania kohomologii dla przestrzeni topologicznych (takie jak kohomologia pojedyncza, kohomologia Čecha , kohomologia Aleksandra-Spaniera lub kohomologia snopów ). (Tutaj kohomologia snopów jest rozważana tylko ze współczynnikami w snopie stałym). Teorie te dają różne odpowiedzi dla niektórych przestrzeni, ale istnieje duża klasa przestrzeni, co do których wszystkie są zgodne. Najłatwiej jest to zrozumieć aksjomatycznie: istnieje lista właściwości znanych jako aksjomaty Eilenberga-Steenroda i dowolne dwie konstrukcje, które mają te właściwości, będą zgodne przynajmniej we wszystkich kompleksach CW. Istnieją wersje aksjomatów dla teorii homologii, jak również dla teorii kohomologii. Niektóre teorie można postrzegać jako narzędzia do obliczania kohomologii osobliwej dla specjalnych przestrzeni topologicznych, na przykład kohomologia uproszczona dla kompleksów uproszczonych , kohomologia komórkowa dla kompleksów CW i kohomologia de Rham dla gładkich rozmaitości.

Jednym z aksjomatów Eilenberga-Steenroda dla teorii kohomologii jest aksjomat wymiaru : jeśli P jest pojedynczym punktem, to H ⁱ ( P ) = 0 dla wszystkich i ≠ 0. Około 1960 roku George W. Whitehead zauważył, że owocne jest całkowicie pomiń aksjomat wymiaru: daje to pojęcie uogólnionej teorii homologii lub uogólnionej teorii kohomologii, zdefiniowanej poniżej. Istnieją uogólnione teorie kohomologii, takie jak teoria K lub kobordyzm złożony, które dostarczają bogatych informacji o przestrzeni topologicznej, niedostępnych bezpośrednio z kohomologii pojedynczej. (W tym kontekście pojedyncza kohomologia jest często nazywana „zwykłą kohomologią”).

Z definicji uogólniona teoria homologii jest ciągiem funktorów h _i (dla liczb całkowitych i ) z kategorii par CW ( X , A ) (więc X to kompleks CW, a A to podkompleks) do kategorii grup abelowych , wraz z naturalną transformacją ∂ _i : h _i ( X , A ) → h _{i −1} ( A ) zwaną homomorfizmem brzegowym (tutaj h _{i −1} ( A ) jest skrótem dla h _{i −1} ( A ,∅) ). Aksjomaty to:

1. Homotopia : Jeśli ${\ Displaystyle f: (X, A) \ do (Y, B)}$ jest homotopijny z ${\ Displaystyle g: (X, A) \ do (Y, B)}$ , to indukowane homomorfizmy na homologii są takie same.
2. Dokładność : Każda para ( X , A ) indukuje długą dokładną sekwencję w homologii poprzez inkluzje f : A → X i g : ( X ,∅) → ( X , A ) :
   $${\ Displaystyle \ cdots \ do h_ {i} (A) {\ overset {f_ {*}}} {\ do}} h_ {i} (X) {\ overset {g_ {*}}} {\ do}} h_ {i}(X,A){\overset {\częściowy}}{\do}}h_{i-1}(A)\do \cdots.}$$
3. Wycięcie : Jeśli X jest sumą podkompleksów A i B , to inkluzja f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) indukuje izomorfizm
   $${\ Displaystyle h_ {i} (A, A \ czapka B) {\ overset {f_ {*}}} {\ do}} h_ { i}(X,B)}$$
   dla każdego I.
4. Addytywność : Jeśli ( X , A ) jest sumą rozłączną zbioru par ( X _α , A _α ), to inkluzje ( X _α , A _α ) → ( X , A ) indukują izomorfizm z sumy bezpośredniej :
   $${\ Displaystyle \ bigoplus _ {\ alfa} h_ {i} (X_ {\ alfa}, A_ {\ alfa}) \ do h_ { i}(X,A)}$$
   dla każdego I.

Aksjomaty uogólnionej teorii kohomologii uzyskuje się przez odwrócenie strzałek, mówiąc z grubsza. Bardziej szczegółowo, uogólniona teoria kohomologii jest ciągiem funktorów kontrawariantnych h ⁱ (dla liczb całkowitych i ) z kategorii par CW do kategorii grup abelowych wraz z naturalną transformacją d : h ⁱ ( A ) → h ^{i +1} ( X , A ) zwany homomorfizmem brzegowym (zapisując h ⁱ ( A ) dla h ⁱ ( A ,∅)). Aksjomaty to:

1. Homotopia : mapy homotopowe wywołują ten sam homomorfizm w kohomologii.
2. Dokładność : każda para ( X , A ) indukuje długi dokładny ciąg w kohomologii poprzez inkluzje f : A → X i g : ( X ,∅) → ( X , A ):
   $${\ Displaystyle \ cdots \ do h ^ {i} (X, A) {\ overset {g_ {*}}} {\ do}} h ^ {i} (X) {\ overset {f_ {*}}} {\ to }}h^{i}(A){\overset {d}{\to }}h^{i+1}(X,A)\to \cdots .}$$
3. Wycięcie : Jeśli X jest sumą podkompleksów A i B , to włączenie f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) indukuje izomorfizm
   $${\ Displaystyle h ^ {i} (X, B) {\ overset {f_ {*}} {\ do}} h ^ {i }(A,A\cap B)}$$
   dla każdego I.
4. Addytywność : Jeśli ( X , A ) jest sumą rozłączną zbioru par ( X _α , A _α ), to inkluzje ( X _α , A _α ) → ( X , A ) indukują izomorfizm grupy produktów :
   $${\ Displaystyle h ^ {i} (X, A) \ do \ prod _ {\ alfa} h ^ {i} (X_ {\ alfa },A_{\alfa})}$$
   dla każdego I.

Widmo określa zarówno uogólnioną teorię homologii, jak i uogólnioną teorię kohomologii . Podstawowy wynik Browna, Whiteheada i Adamsa mówi, że każda uogólniona teoria homologii pochodzi z widma, podobnie jak każda uogólniona teoria kohomologii pochodzi z widma. To uogólnia reprezentowalność zwykłej kohomologii przez przestrzenie Eilenberga – MacLane'a.

Subtelną kwestią jest to, że funktor ze stabilnej kategorii homotopii (kategoria homotopii widm) do uogólnionych teorii homologii na parach CW nie jest równoważnością, chociaż daje bijekcję klasom izomorfizmu; istnieją niezerowe mapy w stabilnej kategorii homotopii (zwane mapami fantomowymi ), które indukują mapę zerową między teoriami homologii na parach CW. Podobnie funktor ze stabilnej kategorii homotopii do uogólnionych teorii kohomologii na parach CW nie jest równoważnością. To stabilna kategoria homotopii, a nie te inne kategorie, ma dobre właściwości, takie jak triangulacja .

Jeśli ktoś woli, aby teorie homologii lub kohomologii były definiowane na wszystkich przestrzeniach topologicznych, a nie na kompleksach CW, jednym ze standardowych podejść jest włączenie aksjomatu, że każda słaba równoważność homotopii indukuje izomorfizm homologii lub kohomologii. (Dotyczy to na przykład homologii osobliwej lub kohomologii osobliwej, ale na przykład nie kohomologii snopów). Ponieważ każda przestrzeń dopuszcza słabą równoważność homotopii z kompleksu CW, ten aksjomat redukuje teorie homologii lub kohomologii we wszystkich przestrzeniach do odpowiedniej teorii na CW kompleksy.

Niektóre przykłady uogólnionych teorii kohomologii to:

• Stabilne grupy kohomotopii ${\ Displaystyle \ pi _ {S} ^ {*} (X).}$ Odpowiednia teoria homologii jest używana częściej: stabilne grupy homotopii ${\ Displaystyle \ pi _ {*} ^ {S} (X).}$
• Różne różne smaki grup kobordyzmu , oparte na badaniu przestrzeni poprzez uwzględnienie wszystkich map od niej do rozmaitości: kobordyzm niezorientowany ${\ Displaystyle MO ^ {*} (X)}$ zorientowany kobordyzm $\ Displaystyle MSO ^ {*}$$X)$ tak . Złożony kobordyzm okazał się szczególnie potężny w teorii homotopii. Jest ściśle powiązany z grupami formalnymi poprzez twierdzenie Daniela Quillena .
• Różne różne odmiany topologicznej teorii K , opartej $,$ przestrzeni poprzez rozważenie wszystkich nad nią wiązek wektorowych: teoria K ${\ Displaystyle ko ^ {*} (X)}$ (prawdziwa spójna teoria K), ${\ Displaystyle K ^ {*} (X)}$ (złożona okresowa teoria K), ${\ Displaystyle ku ^ {*} (X)}$ (złożona łączna teoria K) i tak dalej.
• Kohomologia Browna-Petersona , Morava K-teoria , Morava E-teoria i inne teorie zbudowane na podstawie złożonego kobordyzmu.
• Różne smaki kohomologii eliptycznej .

Wiele z tych teorii zawiera bogatsze informacje niż zwykła kohomologia, ale są one trudniejsze do obliczenia.

$że$ teoria kohomologii E jest multiplikatywna , jeśli strukturę stopniowanego pierścienia dla przestrzeni X W języku widm istnieje kilka bardziej precyzyjnych pojęć widma pierścieniowego , takich jak widmo pierścieniowe E _∞ , gdzie iloczyn jest przemienny i asocjacyjny w silnym sensie.

Inne teorie kohomologii

Teorie kohomologii w szerszym znaczeniu (niezmienniki innych struktur algebraicznych lub geometrycznych, a nie przestrzeni topologicznych) obejmują:

• Algebraiczna teoria K
• Kohomologia André – Quillena
• Ograniczona kohomologia
• kohomologia BRST
• Kohomologia Czeska
• Spójna kohomologia snopów
• Kohomologia krystaliczna
• Kohomologia cykliczna
• Kohomologia Deligne'a
• Kohomologia ekwiwariantna
• Kohomologia Étale
• Grupy zewnętrzne
• Kohomologia płaska
• Homologia Floera
• Kohomologia Galois
• Kohomologia grupowa
• Kohomologia Hochschilda
• Kohomologia przecięć
• homologia Khovanova
• Kohomologia algebry kłamstw
• Kohomologia lokalna
• Kohomologia motywów
• Kohomologia nieabelowa
• Kohomologia kwantowa

Zobacz też

• teoria kohomologii zorientowanej na kompleksy

Cytaty

•    Dieudonné, Jean (1989), Historia topologii algebraicznej i różniczkowej , Birkäuser , ISBN 0-8176-3388-X , MR 0995842
•    Dold, Albrecht (1972), Wykłady z topologii algebraicznej , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58660-9 , MR 0415602
•    Eilenberg, Samuel ; Steenrod, Norman (1952), Podstawy topologii algebraicznej , Princeton University Press , ISBN 9780691627236 , MR 0050886
•    Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 52, Nowy Jork, Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90244-9 , MR 0463157
•    Hatcher, Allen (2001), Topologia algebraiczna , Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0 , MR 1867354
• „Kohomologia” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994] .
•    Maj, J. Peter (1999), Zwięzły kurs topologii algebraicznej (PDF) , University of Chicago Press , ISBN 0-226-51182-0 , MR 1702278
•    Switzer, Robert (1975), Topologia algebraiczna - homologia i homotopia , Springer-Verlag , ISBN 3-540-42750-3 , MR 0385836
•   Thom, René (1954), „Quelques propriétés globales des variétés différentiables” , Commentarii Mathematici Helvetici , 28 : 17–86, doi : 10.1007/BF02566923 , MR 0061823