Kohomologia Browna-Petersona

W matematyce kohomologia Browna-Petersona jest uogólnioną teorią kohomologii wprowadzoną przez Edgara H. Browna i Franklina P. Petersona ( 1966 ), w zależności od wyboru liczby pierwszej p . Zostało to szczegółowo opisane przez Douglasa Ravenela ( 2003 , rozdział 4). Jego reprezentujące widmo jest oznaczone przez BP.

Złożony kobordyzm i idempotent Quillena

Kohomologia Browna-Petersona BP jest sumą MU _{( p )} , która jest złożonym kobordyzmem MU zlokalizowanym na pierwszej p . W rzeczywistości MU _(p) jest iloczynem klinowym zawiesin BP .

Dla każdej liczby pierwszej p , Daniel Quillen wykazał, że istnieje unikalna idempotentna mapa widm pierścieniowych ε od ​​MUQ _{( p )} do siebie, z właściwością, że ε([CP ⁿ ]) to [CP ⁿ ], jeśli n +1 jest potęgą p i 0 w przeciwnym razie. Widmo BP jest obrazem tego idempotentu ε.

Struktura BP

$)$ współczynnika jest algebrą wielomianową nad $Z} _ {(p)$ na generatorach ${\ Displaystyle v_ {n}}$ w stopniach ${\ Displaystyle 2 (p ^ {n} -1)}$ dla ${\ Displaystyle n \ geq 1}$ .

${\ Displaystyle {\ tekst {BP}} _ {*} ({\ tekst {BP}})} jest$ izomorficzny z pierścieniem wielomianowym ${ \ Displaystyle \ pi _ {*} ({\ tekst {BP}}) [t_ {1}, t_ {2}, \ ldots]} nad π ∗ ($ BP $)}$$pi _ {*} ({\ tekst$${\ Displaystyle {\ tekst {BP}} _ {2 (p ^ {i} -1)} ({\ tekst {BP}})}$ z generatorami $)$ stopni ${\ Displaystyle 2 (p ^ {i} -1)}$ .

Kohomologia algebroidu Hopfa ${\ Displaystyle (\ pi _ {*} ({\ tekst {BP}}), {\ tekst {BP}} _ {*} ({\text{BP}}))}$ jest początkowym wyrazem sekwencji widmowej Adamsa-Novikova do obliczania p-lokalnych grup homotopii sfer .

BP jest uniwersalnym przykładem złożonej zorientowanej teorii kohomologii, której formalne prawo grupowe jest p-typowe.

Zobacz też

• Lista teorii kohomologii # Kohomologia Browna – Petersona

•   Adams, J. Frank (1974), Stabilna homotopia i uogólniona homologia , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00524-9
•   Brown, Edgar H., Jr .; Peterson, Franklin P. (1966), „Widmo, którego kohomologia Z _p jest algebrą zredukowanych ^potęg p ”, Topologia , 5 (2): 149–154, doi : 10,1016 / 0040-9383 (66) 90015-2 , MR 0192494 .
•   Quillen, Daniel (1969), „O formalnych prawach grupowych niezorientowanej i złożonej teorii kobordyzmu” (PDF) , Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 75 (6): 1293–1298, doi : 10.1090 / S0002-9904-1969- 12401-8 , MR 0253350 .
•   Ravenel, Douglas C. (2003), Złożona kobordyzm i stabilne grupy homotopii kul (wyd. 2), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7
•    Wilson, W. Stephen (1982), homologia Browna-Petersona: wprowadzenie i próbnik , CBMS Regional Conference Series in Mathematics, tom. 48, Washington, DC: Conference Board of the Mathematical Sciences, ISBN 978-0-8219-1699-5 , MR 0655040