Lista teorii kohomologii

To jest lista niektórych zwykłych i uogólnionych (lub nadzwyczajnych) teorii homologii i kohomologii w topologii algebraicznej , które są zdefiniowane w kategoriach kompleksów CW lub widm . Aby zapoznać się z innymi rodzajami teorii homologii, zobacz linki na końcu tego artykułu.

Notacja

⁰ S = π = S jest widmem sferycznym.
S ⁿ jest widmem n -wymiarowej kuli
S ⁿ Y = S ⁿ ∧ Y jest n- tym zawieszeniem widma Y .
[ X , Y ] to abelowa grupa morfizmów od widma X do widma Y , podana (z grubsza) jako klasy homotopii odwzorowań.
[ X , Y ] _n = [ S ⁿ X , Y ]
[ X , Y ] _* jest stopniowaną grupą abelową podaną jako suma grup [ X , Y ] _n .
π _n ( X ) = [ S ⁿ , X ] = [ S , X ] _n jest n- tą stabilną grupą homotopii X .
π _* ( X ) jest sumą grup π _n ( X ) i jest nazywany współczynnikiem pierścienia X , gdy X jest widmem pierścienia.
X ∧ Y jest iloczynem zderzenia dwóch widm.

Jeśli X jest widmem, to definiuje uogólnioną homologię i teorie kohomologii kategorii widm w następujący sposób.

X _n ( Y ) = [ S , X ∧ Y ] _n = [ S ⁿ , X ∧ Y ] jest uogólnioną homologią Y ,
X ⁿ ( Y ) = [ Y , X ] _{- n} = [ S ^{- n} Y , X ] jest uogólnioną kohomologią Y

Zwykłe teorie homologii

Są to teorie spełniające „aksjomat wymiaru” aksjomatów Eilenberga-Steenroda , że homologia punktu zanika w wymiarze innym niż 0. Są one określone przez abelową grupę współczynników G , i oznaczone przez H ( X , G ) (gdzie G jest czasami pomijane, zwłaszcza jeśli jest to Z ). Zwykle G jest liczbami całkowitymi, wymiernymi, liczbami rzeczywistymi, liczbami zespolonymi lub liczbami całkowitymi mod a prime p .

Funktory kohomologii zwykłych teorii kohomologii są reprezentowane przez przestrzenie Eilenberga – MacLane'a .

W przypadku kompleksów uproszczonych teorie te pokrywają się z pojedynczą homologią i kohomologią.

Homologia i kohomologia ze współczynnikami całkowitymi.

Widmo: H ( widmo Eilenberga – MacLane'a liczb całkowitych).

Pierścień współczynników: π _n (H) = Z , jeśli n = 0, 0 w przeciwnym razie.

Oryginalna teoria homologii.

Homologia i kohomologia ze współczynnikami wymiernymi (rzeczywistymi lub zespolonymi).

Widmo: HQ (widmo Eilenberga – Mac Lane'a wymiernych).

Pierścień współczynników: π _n (HQ) = Q , jeśli n = 0, 0 w przeciwnym razie.

Są to najłatwiejsze ze wszystkich teorii homologii. Grupy homologii HQn ₍ X ) są często oznaczane przez Hn ₍ X , Q ) . Grupy homologii H( X , Q ), H( X , R ), H( X , C ) ze współczynnikami wymiernymi , rzeczywistymi i zespolonymi są wszystkie podobne i są używane głównie wtedy, gdy skręcanie nie jest przedmiotem zainteresowania (lub jest zbyt skomplikowane do ćwiczyć). Rozkład Hodge'a zapisuje złożoną kohomologię złożonej rozmaitości rzutowej jako sumę grup kohomologii snopów .

Homologia i kohomologia ze współczynnikami mod p .

Widmo: HZ _p (widmo Eilenberga-Maclane'a liczb całkowitych mod p .)

Pierścień współczynników: π _n (HZ _p ) = Z _p (Liczby całkowite mod p ) jeśli n = 0, w przeciwnym razie 0.

K-teorie

Prostsze K-teorie przestrzeni są często związane z wiązkami wektorowymi w przestrzeni, a różne rodzaje K-teorii odpowiadają różnym strukturom, które można umieścić na wiązce wektorowej.

Prawdziwa teoria K

Widmo: KO

Pierścień współczynników: Grupy współczynników π _i (KO) mają okres 8 w i , określony sekwencją Z , Z ₂ , Z ₂ , 0, Z , 0, 0, 0, powtórzony. Jako pierścień jest generowany przez klasę η w stopniu 1, klasę x ₄ w stopniu 4 i klasę odwracalną v ₁⁴ w stopniu 8, z zastrzeżeniem zależności, że 2 η = η ³ = ηx ₄ = 0, I x ₄² = 4 v ₁⁴ .

⁰ KO ( X ) jest pierścieniem stabilnych klas równoważności wiązek wektorów rzeczywistych nad X . Okresowość Botta oznacza, że grupy K mają okres 8.

Złożona teoria K

Widmo: KU (parzyste wyrazy BU lub Z × BU, nieparzyste wyrazy U ).

Pierścień współczynników: Pierścień współczynników K ^* (punkt) to pierścień wielomianów Laurenta w generatorze stopnia 2.

⁰ K ( X ) jest pierścieniem stabilnych klas równoważności wiązek wektorów zespolonych nad X . Okresowość Botta oznacza, że grupy K mają okres 2.

K-teoria kwaternionu

Widmo: KSp

Pierścień współczynników: Grupy współczynników π _i (KSp) mają okres 8 w i , określony sekwencją Z , 0, 0, 0, Z , Z ₂ , Z ₂ , 0, powtórzony.

⁰ KSp ( X ) jest pierścieniem stabilnych klas równoważności kwartionowych wiązek wektorowych nad X. Okresowość Botta oznacza, że grupy K mają okres 8.

Teoria K ze współczynnikami

Widmo: KG

G to jakaś grupa abelowa; na przykład lokalizacja Z _{( p )} na pierwszym p . Innym K-teoriom można również nadać współczynniki.

Samosprzężona teoria K

Widmo: KSC

Pierścień współczynnika: do zapisania...

Grupy współczynników $)$ mają okres 4 w ja , określony sekwencję Z , Z ₂ , 0, Z , powtórzony. Wprowadzony przez Donalda W. Andersona w jego nieopublikowanym 1964 University of California, Berkeley Ph.D. rozprawa doktorska „Nowa teoria kohomologii”.

Łączne K-teorie

Widmo: ku dla konektywnej K-teorii, ko dla konektywnej rzeczywistej K-teorii.

Pierścień współczynników: dla ku, pierścień współczynników jest pierścieniem wielomianów nad Z w jednej klasie v ₁ w wymiarze 2. Dla ko, pierścień współczynników jest ilorazem pierścienia wielomianu na trzech generatorach, η w wymiarze 1, x ₄ w wymiarze 4 i v ₁⁴ w wymiarze 8, generator okresowości, modulo zależności, że 2 η = 0, x ₄² = 4 v ₁⁴ , η ³ = 0, oraz ηx = 0.

Z grubsza mówiąc, jest to teoria K z uśmierconymi częściami o ujemnych wymiarach.

Teoria KR

Jest to teoria kohomologii zdefiniowana dla przestrzeni z inwolucją, z której można wyprowadzić wiele innych K-teorii.

Teorie bordyzmu i kobordyzmu

Kobordyzm bada rozmaitości , gdzie rozmaitość jest uważana za „trywialną”, jeśli jest granicą innej zwartej rozmaitości. Klasy kobordyzmu rozmaitości tworzą pierścień, który jest zwykle pierścieniem współczynników jakiejś uogólnionej teorii kohomologii. Istnieje wiele takich teorii, odpowiadających z grubsza różnym strukturom, które można umieścić na rozmaitości.

Funktory teorii kobordyzmu są często reprezentowane przez przestrzenie Thoma pewnych grup.

Stabilna homotopia i kohomotopia

Widmo: S ( widmo sferyczne ).

Pierścień współczynników: grupy współczynników π _n ( S ) to stabilne grupy homotopii sfer , które są niezwykle trudne do obliczenia lub zrozumienia dla n > 0. (Dla n < 0 znikają, a dla n = 0 grupa to Z . )

Stabilna homotopia jest ściśle związana z kobordyzmem ramowanych rozmaitości (rozmaitości z trywializacją wiązki normalnej).

Niezorientowany kobordyzm

Widmo: MO ( widmo Thoma grupy ortogonalnej )

Pierścień współczynnikowy: π _* (MO) jest pierścieniem klas kobordyzmu rozmaitości niezorientowanych i jest pierścieniem wielomianowym nad ciałem z 2 elementami na generatorach stopnia i dla każdego i nie postaci 2 ⁿ −1. Z $[x_ {2}, x_ {4}, x_ {5}, x_{6},x_{8}\cdots ]}$ gdzie $}}$ $}},$ być reprezentowane przez klasy ^ { gdy dla indeksów nieparzystych można użyć odpowiednich rozmaitości Dolda .

Niezorientowany bordyzm jest 2-skrętny, ponieważ 2M jest granicą ${\ displaystyle M \ razy I}$ .

MO jest raczej słabą teorią kobordyzmu, ponieważ widmo MO jest izomorficzne z H (π _* (MO)) („homologia ze współczynnikami w π _* (MO)”) - MO jest iloczynem widm Eilenberga – MacLane'a . Innymi słowy, odpowiadające im teorie homologii i kohomologii nie są silniejsze niż homologia i kohomologia ze współczynnikami w Z / 2 Z . Była to pierwsza całkowicie opisana teoria kobordyzmu.

Złożony kobordyzm

Widmo: MU (widmo Thoma grupy unitarnej )

Pierścień współczynnika: π _* ( MU ) jest pierścieniem wielomianowym na generatorach stopnia 2, 4, 6, 8, ... i jest naturalnie izomorficzny z uniwersalnym pierścieniem Lazarda i jest pierścieniem kobordyzmu stabilnie prawie złożonych rozmaitości .

Kobordyzm zorientowany

Widmo: MSO (widmo Thoma specjalnej grupy ortogonalnej )

Pierścień współczynników : zorientowana klasa kobordyzmu rozmaitości jest całkowicie określona przez jej charakterystyczne liczby: jej ${\ displaystyle \Omega _{*}=\Omega (*)=MSO(*)}$ Stiefela – Whitneya i liczby Pontryagina , ale ogólny pierścień współczynników, oznaczony jest dość skomplikowane. Racjonalnie i przy 2 (odpowiadające odpowiednio klasom Pontryagin i Stiefel – Whitney), MSO jest iloczynem Widma Eilenberga-MacLane'a - ${\ Displaystyle MSO _ {\ mathbf {Q}} = H (\ pi _ {*} (MSO _ {\ mathbf {Q}}} })}$ i ${\ Displaystyle MSO [2] = H (\ pi _ {*} (MSO [2]))}$ – ale przy nieparzystych liczbach pierwszych tak nie jest, a opis struktury jest skomplikowany. Pierścień został całkowicie i integralnie opisany dzięki pracy Johna Milnora , Borisa Averbucha, Vladimira Rokhlina i CTC Wall .

Specjalny jednolity koordyzm

Widmo: MSU (widmo Thoma specjalnej grupy unitarnej )

Pierścień współczynnika:

Kobordyzm wirowania (i warianty)

Widmo: MSpin (widmo Thoma grupy spinowej )

Pierścień współczynników: patrz (DW Anderson, EH Brown i FP Peterson 1967 ).

Kobordyzm symplektyczny

Widmo: MSp (widmo Thoma grupy symplektycznej )

Pierścień współczynnika:

Kobordyzm algebry Clifforda

Kobordyzm PL i kobordyzm topologiczny

Widmo: MPL, MSPL, MTop, MSTop

Pierścień współczynnika:

Definicja jest podobna do kobordyzmu, z wyjątkiem tego, że używa się fragmentarycznie liniowych lub topologicznych zamiast gładkich rozmaitości , zorientowanych lub niezorientowanych. Pierścienie współczynników są skomplikowane.

Kohomologia Browna-Petersona

Widmo: BP

Pierścień współczynników: π _* (BP) jest algebrą wielomianową nad Z _{( p )} na generatorach v _n o wymiarze 2 ( p ⁿ − 1) dla n ≥ 1.

Kohomologia Browna-Petersona BP jest sumą MU _p , która jest złożonym kobordyzmem MU zlokalizowanym na pierwszej p . W rzeczywistości MU _{( p )} jest sumą zawieszeń BP.

Teoria K Morawy

Widmo: K( n ) (Zależą również od liczby pierwszej p .)

Pierścień współczynników: F _p [ v _n , v _n⁻¹ ], gdzie v _n ma stopień 2 ( p ⁿ -1).

Teorie te mają okres 2( p ⁿ − 1). Noszą one imię Jacka Morawy .

Teoria Johnsona-Wilsona

Widmo E ( n )

Pierścień współczynników Z ₍₂₎ [ v ₁ , ..., v _n , 1/ v _n ] gdzie v _i ma stopień 2(2 ⁱ −1)

Kobordyzm smyczkowy

Widmo:

Pierścień współczynnika:

Teorie związane z krzywymi eliptycznymi

Kohomologia eliptyczna

Widmo: El

Topologiczne formy modularne

Widma: tmf, TMF (wcześniej nazywane eo ₂ .)

Pierścień współczynników π _* (tmf) nazywany jest pierścieniem topologicznych form modularnych . TMF to tmf z 24. potęgą formy modułowej Δ odwróconej i ma okres 24 ² = 576. Przy p = 2 uzupełnieniem tmf jest widmo eo ₂ , a lokalizacja K(2) tmf to widmo EO _{2 z teorii Hopkinsa-Millera Wyższej Rzeczywistej K} .

Zobacz też

Stabilna homotopia i uogólniona homologia (wykłady z matematyki w Chicago) autorstwa J. Franka Adamsa , University of Chicago Press ; Wydanie wznowione (27 lutego 1995) ISBN 0-226-00524-0
Anderson, Donald W.; Brązowy, Edgar H. Jr .; Peterson, Franklin P. (1967), „Struktura pierścienia spinowego kobordyzmu” , Annals of Mathematics , druga seria, 86 (2): 271–298, doi : 10,2307/1970690 , JSTOR 1970690
Uwagi na temat teorii kobordyzmu , Robert E. Stong , Princeton University Press (1968) ASIN B0006C2BN6
Elliptic Cohomology (seria uniwersytecka z matematyki) autorstwa Charlesa B. Thomasa, Springera; Wydanie 1 (październik 1999) ISBN 0-306-46097-1