Kohomologia Deligne'a

W matematyce kohomologia Deligne'a jest hiperkohomologią kompleksu Deligne'a złożonej rozmaitości . Został wprowadzony przez Pierre'a Deligne'a w niepublikowanej pracy około 1972 roku jako teoria kohomologii dla rozmaitości algebraicznych , która obejmuje zarówno zwykłą kohomologię, jak i pośrednie Jakobiany .

Wstępne opisy kohomologii Deligne'a można znaleźć w artykule Brylinski (2008 , sekcja 1.5), Esnault i Viehweg (1988) oraz Gomi (2009 , sekcja 2).

Definicja

Analityczny kompleks Deligne'a Z ( p ) _D, na zespolonej rozmaitości analitycznej X jest

${\ Displaystyle 0 \ rightarrow \ mathbf {Z} (p) \ rightarrow \ Omega _ {X} ^ {0} \ rightarrow \Omega _{X}^{1}\rightarrow \cdots \rightarrow \Omega _{X}^{p-1}\rightarrow 0\rightarrow \dots }$

gdzie Z ( p ) = (2π ja) ^p Z . W zależności od kontekstu, jest $różniczkowych$ odpowiednio zespół gładkich (tj. C ^∞ ) lub form holomorficznych Kohomologia Deligne'a H
q D,an ( X , Z ( p )) jest q -tą hiperkohomologią kompleksu Deligne'a. Alternatywną definicję tego kompleksu podano jako granicę homotopii diagramu

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} && \ mathbb {Z} \\&&\ strzałka w dół \\\ Omega _ {X} ^ {\ punktor \ geq p} & \ do &\Omega _{X}^{\punkt }\end{macierz}}}$

Nieruchomości

Grupy kohomologii Deligne'a . HqD stopniach
( ( X , Z p )) można opisać geometrycznie, zwłaszcza w małych Dla p = 0 zgadza się z definicji z q -tą pojedynczą grupą kohomologiczną (ze współczynnikami Z ). Dla q = 2 i p = 1 jest izomorficzny z grupą klas izomorfizmu gładkich (lub holomorficznych, w zależności od kontekstu) głównych wiązek C ^× nad X . Dla p = q = 2 jest to grupa klas izomorfizmu wiązek C ^× o związku . Dla q = 3 i p = 2 lub 3 dostępne są opisy w kategoriach gerbes ( Brylinski (2008) ). Zostało to uogólnione do opisu w wyższych stopniach w kategoriach iterowanych przestrzeni klasyfikujących i połączeń na nich ( Gajer (1997) ).

Relacje z klasami Hodge'a

Przypomnijmy, że istnieje podgrupa ${\ Displaystyle {\ tekst {Hdg}} ^ {p} (X) \ podzbiór H ^ {p, p} (X)$ } klasy kohomologii w zwanej grupą klas Hodge. ${\ Displaystyle H ^ {2p} (X)}$ Istnieje dokładna sekwencja odnosząca się do kohomologii Deline'a, ich pośrednich jakobianów i tej grupy klas Hodge'a jako krótka ciąg dokładny

${\ Displaystyle 0 \ do J ^ {2p-1} (X) \ do H_ { \mathcal {D}}^{2p}(X,\mathbb {Z} (p))\do {\text{Hdg}}^{2p}(X)\do 0}$

Aplikacje

Kohomologia Deligne'a służy do formułowania hipotez Beilinsona na temat specjalnych wartości L-funkcji .

Rozszerzenia

Istnieje rozszerzenie kohomologii Deline'a zdefiniowane dla dowolnego widma symetrycznego , gdzie ${\ Displaystyle \ pi _ {i} (E) \ otimes \ mathbb {C} =$ $)$ for $i$ odd which can be compared with ordinary Deligne cohomology on complex analytic varieties.

Zobacz też

Kohomologia Deligne'a-Beilinsona
Geometria kohomologii Deligne'a
Uwagi dotyczące kohomologii różniczkowej i gerbes
Skręcona gładka kohomologia Deligne'a
Hipoteza Blocha, kohomologia Deligne'a i wyższe grupy Chow
Brylinski, Jean-Luc (2008) [1993], Przestrzenie pętli, klasy charakterystyczne i kwantyzacja geometryczna , Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007/978-0-8176-4731-5 , ISBN 978-0 -8176-4730-8 , MR 2362847
Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1988), „Kohomologia Deligne-Beĭlinsona” (PDF) , przypuszczenia Beĭlinsona dotyczące specjalnych wartości funkcji L , Perspect. Matematyka, tom. 4, Boston, MA: Academic Press , s. 43–91, ISBN 978-0-12-581120-0 , MR 0944991
Gajer, Paweł (1997), „Geometria kohomologii Deligne”, Inventiones Mathematicae , 127 (1): 155–207, arXiv : alg-geom/9601025 , Bibcode : 1996InMat.127..155G , doi : 10.1007/s002220050118 , ISSN 0020-9910
Gomi, Kiyonori (2009), „Rzutowe reprezentacje jednostkowe gładkich grup kohomologicznych Deligne'a”, Journal of Geometry and Physics , 59 (9): 1339–1356, arXiv : math / 0510187 , Bibcode : 2009JGP ....59.1339G , doi : 10.1016/j.geomphys.2009.06.012 , ISSN 0393-0440 , MR 2541824