Klasyfikacja przestrzeni

W matematyce , szczególnie w teorii homotopii , przestrzeń klasyfikacyjna BG grupy topologicznej G jest ilorazem słabo kurczliwej przestrzeni EG (tj. przestrzeni topologicznej, której wszystkie grupy homotopii są trywialne) przez odpowiednie działanie swobodne G . Ma tę właściwość, że każda wiązka główna G na rozmaitości parazwartej jest izomorficzna z wycofaniem wiązki głównej EG → BG . Jak wyjaśniono później, oznacza to, że przestrzenie klasyfikujące reprezentują funktor o ustalonej wartości w kategorii homotopii przestrzeni topologicznych. Termin przestrzeń klasyfikująca może być również używany do przestrzeni reprezentujących funktor o wartościach ustalonych w kategorii przestrzeni topologicznych , takich jak przestrzeń Sierpińskiego . Pojęcie to jest uogólnione przez pojęcie klasyfikowania toposu . Jednak w dalszej części tego artykułu omówiono częściej używane pojęcie klasyfikowania przestrzeni aż do homotopii.

Dla dyskretnej grupy G , BG jest, z grubsza mówiąc, połączoną ze ścieżkami przestrzenią topologiczną X taką, że podstawowa grupa X jest izomorficzna z G , a wyższe grupy homotopii X są trywialne , to znaczy BG jest przestrzenią Eilenberga – MacLane'a lub K(G,1) .

Motywacja

Przykładem przestrzeni klasyfikującej dla nieskończonej grupy cyklicznej G jest koło jako X . Kiedy G jest grupą dyskretną , innym sposobem określenia warunku na X jest to, że pokrycie uniwersalne Y z X jest kurczliwe . W takim przypadku mapa projekcji

{\ Displaystyle \ pi: Y \ longrightarrow X \}

staje się wiązką włókien o grupie struktury G , w rzeczywistości wiązką główną dla G . Zainteresowanie koncepcją przestrzeni klasyfikacyjnej wynika tak naprawdę z faktu, że w tym przypadku Y ma uniwersalną właściwość w odniesieniu do głównych wiązek G w kategorii homotopii . Jest to w rzeczywistości bardziej podstawowe niż warunek, że wyższe grupy homotopii znikają: podstawową ideą jest, biorąc pod uwagę G , znalezienie takiej kurczliwej przestrzeni Y , na której G działa swobodnie . ( słabej równoważności teorii homotopii odnosi się do tych dwóch wersji.) W przypadku przykładu z okręgiem mówi się, że zauważamy, że nieskończona grupa cykliczna C działa swobodnie na prostej rzeczywistej R , która jest kurczliwa. Przyjmując X jako ilorazowe koło przestrzenne , rzut π od R = Y do X możemy traktować jako helisę w ujęciu geometrycznym, przechodzącą rzut z trzech wymiarów na płaszczyznę. Twierdzi się, że π ma uniwersalną właściwość wśród głównych C ; że każda główna C w określony sposób „pochodzi z” π.

Formalizm

Bardziej formalne stwierdzenie bierze pod uwagę, że G może być grupą topologiczną (nie po prostu grupą dyskretną ) i że działania grupowe G są uważane za ciągłe; w przypadku braku ciągłych działań z koncepcją przestrzeni klasyfikującej można sobie poradzić w kategoriach homotopii za pomocą przestrzeni Eilenberga – MacLane'a . W teorii homotopii podana jest definicja przestrzeni topologicznej BG , przestrzeni klasyfikującej główne G -wiązki, wraz z przestrzenią EG , która jest całkowitą przestrzenią wiązki uniwersalnej nad BG . Oznacza to, że to, co jest dostarczane, jest w rzeczywistości ciągłym mapowaniem

{\ Displaystyle \ pi: EG \ longrightarrow BG. \}

od teraz kategoria homotopii kompleksów CW jest kategorią bazową. Właściwość klasyfikacyjna wymagana od BG w rzeczywistości odnosi się do π. Musimy być w stanie powiedzieć, że biorąc pod uwagę dowolny główny pakiet G

{\ Displaystyle \ gamma: Y \ longrightarrow Z \}

w przestrzeni Z istnieje mapa klasyfikacyjna φ od Z do BG , taka, że γ jest wycofaniem π wzdłuż φ. Mówiąc mniej abstrakcyjnie, konstrukcja γ przez „skręcenie” powinna być redukowalna poprzez φ do skręcenia wyrażonego już przez konstrukcję π.

Aby koncepcja ta była użyteczna, najwyraźniej musi istnieć jakiś powód, by sądzić, że takie przestrzenie BG istnieją. Wczesne prace nad klasyfikacją przestrzeni wprowadziły konstrukcje (na przykład konstrukcję słupkową ), które dały konkretny opis BG jako uproszczonego kompleksu dla dowolnej dyskretnej grupy. Takie konstrukcje uwidaczniają związek z kohomologią grupową .

W szczególności EG będzie słabym kompleksem uproszczonym , którego n- uproszczeniami są uporządkowane ( n + 1) -krotki ${\ Displaystyle [g_ {0}, \ ldots, g_ {n}]}$ elementów z G. _ Taki n - simpleks dołącza się do (n-1) uproszczeń $, g_ {n}]}$ ${\ Displaystyle [g_ {0}, \ ldots, {\ hat {g}} _ {i }, \$ $oznacza,$ w taki sam sposób, jak standardowy simpleks jest przyczepiony do jego ścian, gdzie że ten wierzchołek jest Kompleks EG jest kurczliwy. Grupa G działa na EG przez lewe mnożenie: ${\ Displaystyle g \ cdot [g_ {0}, \ ldots, g_ {n} ]=[gg_{0},\ldots,gg_{n}]}$ i tylko tożsamość e przyjmuje dla siebie dowolny simpleks. Zatem działanie G na EG jest działaniem w przestrzeni pokrywającej, a mapa ilorazowa EG → EG / G jest uniwersalnym pokryciem przestrzeni orbity BG = EG / G , a BG jest K( G ,1).

W kategoriach abstrakcyjnych (które nie są używane pierwotnie około 1950 r., kiedy po raz pierwszy wprowadzono tę ideę) jest to pytanie, czy określony funktor jest reprezentowalny : funktor kontrawariantny z kategorii homotopii do kategorii zbiorów , zdefiniowany przez

h ( Z ) = zbiór klas izomorfizmu głównych wiązek G na Z.

Znane w tym celu abstrakcyjne warunki ( twierdzenie Browna o reprezentowalności ) zapewniają, że wynik, jako twierdzenie o istnieniu , jest twierdzący i niezbyt trudny.

Przykłady

Okrąg $S nieskończonej$ 1 jest przestrzenią klasyfikującą dla grupy cyklicznej $\ Displaystyle \ mathbb {Z}.}$ ${\ Displaystyle E \ mathbb {Z} = \ mathbb {R}.}$ przestrzeń to
n -torus abelowej $jest$ przestrzenią klasyfikującą dla $_$ n _ _ Całkowita przestrzeń to ${\ Displaystyle E \ mathbb {Z} ^ {n} = \ mathbb {R} ^ {n}.}$
Klin n okręgów jest przestrzenią klasyfikującą dla swobodnej grupy rangi n .
Zamknięta (tj. zwarta i bez granic) spójna powierzchnia S rodzaju co najmniej ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (S).}$ jest przestrzenią klasyfikującą dla swojej grupy podstawowej .
Zamknięta (czyli zwarta i bez granic) połączona rozmaitość hiperboliczna M jest przestrzenią klasyfikującą dla swojej podstawowej grupy ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (M)}$ .
Skończony lokalnie spójny sześcienny kompleks CAT(0) jest przestrzenią klasyfikującą jego grupy podstawowej .
Nieskończenie wymiarowa przestrzeń $jest$ przestrzenią klasyfikującą dla ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} = \ mathbb {Z} /2 \ mathbb {Z}.}$ Całkowita przestrzeń to ${\ Displaystyle E \ mathbb {Z} _ {2} = S ^ {\ infty}}$ (jest to bezpośrednia granica sfer $, przestrzeń Hilberta z usuniętym$ ; jest kurczliwa)
Przestrzeń klasyfikująca dla grupy cyklicznej ${\ Displaystyle B \ mathbb {Z} _ {n} = S ^ {\ infty} / \ mathbb {Z} _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}.}$ Tutaj ${\ Displaystyle S ^ {\ infty}}$ jest rozumiany jako pewien podzbiór nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta ${\ Displaystyle \ mathbb {C } ^{\infty }}$ z usuniętym początkiem; uważa się, że grupa cykliczna działa na nią przez pomnożenie przez pierwiastki jedności.
Nieuporządkowana przestrzeń konfiguracyjna ${\ Displaystyle \ operatorname {UConf} _ {n} (\ mathbb {R} ^ {2})}$ jest przestrzenią klasyfikującą grupy warkoczy Artina ${\ displaystyle B_ {n}}$ , a uporządkowana przestrzeń konfiguracyjna ${\ Displaystyle \ operatorname {Conf} _ {n} (\ mathbb {R} ^ {2})}$ jest przestrzenią klasyfikującą dla czystego warkocza Artina grupa ${\ displaystyle P_ {n}.}$
$symetrycznej$ ) konfiguracyjna jest przestrzenią ${\ displaystyle S_ {n}.}$
Nieskończenie wymiarowa złożona $przestrzeń$ rzutowa jest przestrzenią klasyfikującą $BS 1$ koła $S 1$ za zwartą grupę topologiczną
Grassmannian G $Displaystyle Gr (n, \ mathbb {R} ^ {\ infty})}$ \ n -płaszczyzn w $Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty}}$ jest przestrzenią klasyfikującą grupy ortogonalnej $O(n)$ . Całkowita przestrzeń to ${\ Displaystyle EO (n) = V (n, \ mathbb {R} ^ {\ infty})}$ Rozmaitość Stiefela n - wymiarowej ortonormalnej klatki w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty}.}$

Aplikacje

To wciąż pozostawia kwestię wykonywania efektywnych obliczeń z BG ; na przykład teoria klas charakterystycznych jest zasadniczo taka sama, jak obliczanie grup kohomologii BG , przynajmniej w restrykcyjnych terminach teorii homotopii, dla interesujących grup G , takich jak grupy Liego ( twierdzenie H. Cartana). ^{[ wymagane wyjaśnienie ]} Jak wykazało twierdzenie Botta o okresowości , grupy homotopii BG również mają fundamentalne znaczenie.

Przykładem przestrzeni klasyfikującej jest to, że gdy G jest cykliczny rzędu drugiego; wtedy BG jest rzeczywistą przestrzenią rzutową o nieskończonym wymiarze, odpowiadającą obserwacji, że EG można przyjąć jako przestrzeń kurczliwą wynikającą z usunięcia początku w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta , gdzie G działa poprzez v idące do - v , i dopuszczające homotopię równoważność w wyborze BG . Ten przykład pokazuje, że klasyfikowanie przestrzeni może być skomplikowane.

W odniesieniu do geometrii różniczkowej ( teoria Cherna-Weila ) i teorii Grassmannianów możliwe jest znacznie bardziej praktyczne podejście do teorii w przypadkach takich jak najbardziej interesujące grupy unitarne . Konstrukcja kompleksu Thoma MG wykazała, że przestrzenie BG były również uwikłane w teorię kobordyzmu , przez co zajmowały centralne miejsce w rozważaniach geometrycznych wywodzących się z topologii algebraicznej . Ponieważ kohomologię grupową można (w wielu przypadkach) zdefiniować za pomocą przestrzeni klasyfikujących, można je również postrzegać jako fundamentalne w większości algebry homologicznej .

Uogólnienia obejmują uogólnienia do klasyfikowania foliacji oraz toposy klasyfikacyjne dla teorii logicznych rachunku predykatów w logice intuicjonistycznej , które zastępują „przestrzeń modeli”.

Zobacz też

Przestrzeń klasyfikująca dla O(n) , B O( n )
Przestrzeń klasyfikująca dla U(n) , B U( n )
Klasyfikacja stosu
Twierdzenie Borela
Kohomologia ekwiwariantna

Notatki

Referencje _ _ _ _ _ _ _ , American Mathematical Society , s . 247–272 Twierdzenie 2, doi : 10.1090 /pspum/ 022 / 0321079
^ Hatcher, Allen (2002). Topologia algebraiczna . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. P. 89. ISBN 0-521-79160-X . OCLC 45420394 .
^ Arnold, Władimir I. (1969). „Pierścień kohomologii grupy kolorowych warkoczy”. Władimir I. Arnold — Dzieła zebrane . Skoczek. s. 183–6. doi : 10.1007/978-3-642-31031-7_18 . ISBN 978-3-642-31030-0 .
^ „klasyfikacja przestrzeni w nLab” . ncatlab.org . Źródło 2017-08-22 .

Maj, JP (1999). Zwięzły kurs topologii algebraicznej . Wydawnictwo Uniwersytetu Chicagowskiego. ISBN 978-0-226-51183-2 .
Klasyfikowanie przestrzeni w laboratorium n
„Klasyfikacja przestrzeni” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Referencje _ _ _ _ _ _ _ , American Mathematical Society , s . 247–272 Twierdzenie 2, doi : 10.1090 /pspum/ 022 / 0321079

[2] Hatcher, Allen (2002). Topologia algebraiczna . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. P. 89. ISBN 0-521-79160-X . OCLC 45420394 .

[3] Arnold, Władimir I. (1969). „Pierścień kohomologii grupy kolorowych warkoczy”. Władimir I. Arnold — Dzieła zebrane . Skoczek. s. 183–6. doi : 10.1007/978-3-642-31031-7_18 . ISBN 978-3-642-31030-0 .

[4] „klasyfikacja przestrzeni w nLab” . ncatlab.org . Źródło 2017-08-22 .