Przestrzeń Eilenberga-MacLane'a

W matematyce , a konkretnie w topologii algebraicznej , przestrzeń Eilenberga – MacLane'a jest przestrzenią topologiczną z pojedynczą nietrywialną grupą homotopii .

Niech G będzie grupą, a n dodatnią liczbą całkowitą . Połączona przestrzeń topologiczna X nazywana jest ${n}(X)}$${$ typu , jeśli ma grupę homotopii π $Displaystyle \ pi$ izomorficzne z G i wszystkimi innymi grupami homotopii trywialne . Jeśli ${\ displaystyle n> 1},$ to G musi być abelowe . Taka przestrzeń istnieje, jest złożona CW i jest unikalna aż do słabej równoważności homotopii , dlatego każda taka przestrzeń jest często nazywana po prostu ${\ Displaystyle K (G, n)}$ .

Nazwa pochodzi od Samuela Eilenberga i Saundersa Mac Lane'a , którzy wprowadzili takie przestrzenie pod koniec lat 40.

Jako taka, przestrzeń Eilenberga-MacLane'a jest szczególnym rodzajem przestrzeni topologicznej , którą w teorii homotopii można uznać za budulec kompleksów CW poprzez fibracje w systemie Postnikowa . Przestrzenie te są ważne w wielu kontekstach topologii algebraicznej , w tym w obliczeniach grup homotopii sfer, definiowaniu operacji kohomologii oraz ze względu na silny związek z kohomologią osobliwą .

$.$ ma typ homotopii iloczynu przestrzeni - .

Przykłady

• Okrąg jednostkowy to za ${\ Displaystyle K (\ mathbb {Z},$$1$ }
• Nieskończenie wymiarowa złożona przestrzeń $rzutowa$$}, 2)}$ modelem \ Displaystyle K (\ mathbb {
• Nieskończenie wymiarowa rzeczywista przestrzeń rzutowa ${\ Displaystyle \ mathbb {RP} ^ {\ infty}}$ to ${\ Displaystyle K (\ mathbb {Z} / 2,1)}$ .
• K $_$ k 1 { \ _ $_ (F_ {k}, 1)}$$wolną$ jest grupą na k generatorach .
• Dopełnienie do dowolnego połączonego węzła lub wykresu w trójwymiarowej kuli $Displaystyle$ typu $K (G, 1)$ } nazywa się to „ asferycznością węzłów” i jest twierdzeniem Christosa Papakyriakopoulosa z 1957 roku .
• Każda zwarta $)$ połączona, $}(M)}$ zakrzywiona dodatnio rozmaitość M jest , gdzie $\ Displaystyle \ Gamma = \$ jest podstawową grupą M . Jest to konsekwencja twierdzenia Cartana-Hadamarda .
• L ${\ Displaystyle L (\ infty, q)}$${\ Displaystyle (z \ mapsto e ^ {2 \ pi im / q} z)}$ przez iloraz wolnej akcji $, q ) {\ Displaystyle L (\ infty, q)}$ ) dla ${\ Displaystyle m \ in \ mathbb {Z} / }$ jest ${\ Displaystyle K (\ mathbb {Z} / q, 1)}$ . Można to wykazać za pomocą teorii przestrzeni pokrywającej i faktu, że sfera o nieskończonych wymiarach jest kurczliwa . Zauważ, że obejmuje to $} / 2,1)$$1$ ) .
• Przestrzeń konfiguracyjna punktów na $płaszczyźnie$$_$ gdzie $_$ _ grupa czystych warkoczy na pasmach ${\ displaystyle n}$ .
• Odpowiednio, n- nieuporządkowana przestrzeń konfiguracyjna $}$ 2 ${R} ^$${\ Displaystyle B_ {n}}$ jest gdzie oznacza grupę warkoczy n -nici .
• Nieskończony ${Z}$ symetryczny n -sfery to K. $) {\ Displaystyle$ n $)}$ sol ${$ jest dla wszystkich Moore'a ${\ Displaystyle M (G, n)}$ .

Można z nich skonstruować kilka dalszych elementarnych przykładów, wykorzystując fakt, że iloczyn ${\ Displaystyle K (G, n) \ razy K (H, n)}$ to ${\ Displaystyle K (G \ razy H, n)}$ . $to$ przykład n -wymiarowy . $_$ _

Uwaga na temat konstruowania przestrzeni Eilenberga-MacLane'a

n $n$${$ Displaystyle = 1 $}$ i dowolnej klasyfikującej _ grupa ${\ Displaystyle G}$ . Zauważmy, że jeśli G ma element torsyjny, to każdy kompleks CW typu K(G,1) musi być nieskończenie wymiarowy.

Istnieje wiele technik konstruowania wyższych przestrzeni Eilenberga-Maclane'a. Jednym z nich jest skonstruowanie przestrzeni Moore'a dla grupy abelowej : Weź klin n - kul , po jednej dla $, n ) {\ Displaystyle M ($ generatora $}$ grupę A i zrealizować relacje między tymi generatorami, dołączając (n + 1) -komórki za pomocą odpowiednich map we wspomnianym ${\ Displaystyle \ pi _ {n} (\ bigvee S ^ {n})}$ suma klina. $_$ grupy _ Teraz iteracyjnie zabij wszystkie wyższe grupy homotopii przez kolejne dołączanie komórek o wymiarze większym niż $\ displaystyle n + 1}$${\ Displaystyle \ pi _ {i> n} (M (A, n))}$$limit$ zdefiniuj jako przy iteracji

Inną przydatną techniką jest zastosowanie geometrycznej realizacji uproszczonych grup abelowych . Daje to wyraźną prezentację uproszczonych grup abelowych, które reprezentują przestrzenie Eilenberga-Maclane'a.

Inna uproszczona konstrukcja, jeśli chodzi o klasyfikowanie przestrzeni i wiązek uniwersalnych , jest podana w książce J. Petera Maya .

$_ G,n+1)}$ kanoniczną , stąd istnieje sekwencja fibracji

${\ Displaystyle K (G, n) \ do * \ do K (G, n + 1)}$ .

$\ Displaystyle K ($ że to nie jest sekwencja kofibracji ― przestrzeń $1) }$ homotopowym kowłóknem .

Ta sekwencja fibracji może być wykorzystana do badania kohomologii z $}$$sol , n + 1)}$ przy użyciu Sekwencja widmowa Leraya . Zostało to wykorzystane przez Jean-Pierre'a Serre'a podczas badania grup homotopii sfer przy użyciu systemu Postnikowa i sekwencji widmowych.

Własności przestrzeni Eilenberga-MacLane'a

Bijekcja między klasami homotopii odwzorowań a kohomologią

Ważną właściwością s jest to, że dla dowolnej $dowolnego$${\ Displaystyle [X, K (G, n)]}$ kompleksu X zbiór K opartych klas homotopii opartych map od X do ${\ Displaystyle K (G, n)}$ jest w naturalnej bijekcji z n -tą liczbą pojedynczą grupa kohomologii ${\ Displaystyle H ^ {n} (X, G)}$ przestrzeni X . Tak więc mówi się $.$ że reprezentują w Od

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {rcl} H ^ {n} (K (G, n), G) & = & \ nazwa operatora {Hom} (H_ {n} (K ( G,n);\mathbb {Z} ),G)\\&=&\nazwa_operatora {Hom} (\pi _{n}(K(G,n)),G)\\&=&\nazwa_operatora { Hom} (G,G),\end{tablica}}}$

u $\ w H ^ {n} (K (G, n), G)}$ odpowiadający tożsamości. Powyższa bijekcja jest dana przez wycofanie tego elementu ${\ Displaystyle f \ mapsto f ^ {*} u}$ . Jest to podobne do lematu Yonedy z teorii kategorii .

Konstruktywny dowód tego twierdzenia można znaleźć tutaj, inny wykorzystujący relację między widmami omega a uogólnionymi teoriami kohomologii zredukowanej można znaleźć tutaj, a główna idea jest również naszkicowana później.

Przestrzenie pętli / Widma Omega

Przestrzeń pętli przestrzeni Eilenberga-MacLane'a jest ponownie przestrzenią Eilenberga-MacLane'a: ${\ Displaystyle \ Omega K (G, n) \ cong K (G, n-1)}$ . Ponadto istnieje sprzężona relacja między przestrzenią pętli a zredukowanym zawieszeniem: ${\ Displaystyle [\ Sigma X, Y] = [X, \ Omega Y]}$ , co daje ${\ Displaystyle [X, K (G, n)] \ cong [X, \ Omega ^ {2} K(G,n+2)]}$ struktura grupy abelowej, gdzie operacją jest konkatenacja pętli. To sprawia, że ​​wspomniana powyżej bijekcja ${\ Displaystyle [X, K (G, n)] \ do H ^ {n} (X, G)}$ izomorfizm grupowy.

Również ta właściwość implikuje, że przestrzenie Eilenberga – MacLane'a z różnymi n tworzą widmo omega , zwane „widmem Eilenberga – MacLane'a”. Widmo to definiuje poprzez ${\ Displaystyle X \ mapsto h ^ {n} (X): = [X, K (G, n)]}$ zredukowana teoria kohomologii na podstawie kompleksów CW i dla dowolnej zredukowanej teorii kohomologii $)$ kompleksach CW z $^ {0} }) = 0}$ dla ${\ Displaystyle n \ neq 0}$ istnieje naturalny izomorfizm ${\ Displaystyle h ^ {n} (X) \ cong {\ tylda {H}} ^ {n} (X, h ^ {0} (S ^ {0})}$ , gdzie ${\ Displaystyle {\ tylda {H ^ {*}}}}$ oznacza zredukowaną liczbę pojedynczą kohomologia.Dlatego te dwie teorie kohomologii są zbieżne.

W bardziej ogólnym kontekście reprezentowalność Browna mówi, że każda zredukowana teoria kohomologii oparta na kompleksach CW pochodzi z widma omega .

Związek z homologią

Dla ustalonej grupy abelowej $homotopii$ mapy na stabilnych grupach

${\ Displaystyle \ pi _ {q + n} ^ {s} (X \ klin K (G, n)} \ kong \ pi _ {q + n + 1} ^ {s} (X \ klin \Sigma K(G,n))\to \pi _{q+n+1}^{s}(X\klin K(G,n+1))}$

Σ $Displaystyle \ Sigma K (G, n) \ do K (G, n + 1)}$ . Biorąc bezpośrednią granicę na tych mapach, można zweryfikować, że definiuje to teorię zredukowanej homologii

${\ Displaystyle h_ {q} (X) = \ varinjlim _ {n} \ pi _ {q + n} ^{s}(X\klin K(G,n))}$

na kompleksach CW. ponieważ ${\ Displaystyle h_ {q} (S ^ {0}) = \ varinjlim \ pi _ {q + n} ^ { s} (K (G, n))}$ znika dla ${\ Displaystyle q \ neq 0}$ , ${\ Displaystyle h_ {*}}$ zgadza się ze zmniejszoną pojedynczą homologią ${\ Displaystyle {\tilde {H}}_{*}(\cdot ,G)}$ ze współczynnikami w G na zespołach CW.

Funkcjonalność

twierdzenia o uniwersalnym współczynniku dla kohomologii wynika , że ​​przestrzeń Eilenberga MacLane'a jest quasi-funktorem grupy; to znaczy dla każdej dodatniej liczby całkowitej, $jest$ jakimkolwiek ${\ displaystyle a \ dwukropek G \ do G '}$ grup abelowych, to istnieje zbiór niepusty za

${\ Displaystyle K (a, n) = \ { [f]:f\dwukropek K(G,n)\to K(G',n),H_{n}(f)=a\},}$

$a \ circ b, n) \ supset K (a n) \ circ K (b, n) {\ tekst {i}} 1 \ w K (1, n)}$ za gdzie ${\ Displaystyle [f]}$ oznacza klasę homotopii ciągłej mapy ${ \ Displaystyle f}$ i ${\ Displaystyle S \ circ T: = \ {s \ circ t: s \ w S, t \ w T \}.}$

Relacja z wieżą Postnikov/Whitehead

Każdy połączony kompleks CW posiada wieżę Postnikowa , czyli odwrotny układ przestrzeni: X $\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ cdots \ do X_ {3} \ xrightarrow {p_ {3}} X_ {2} \ xrightarrow {p_{2}} X_{1}\simeq K(\pi _{1}(X),1)}$

takie, że dla każdego ${\ displaystyle n}$ :

1. istnieją mapy dojazdów do pracy $dla$ które wywołują izomorfizm na ${\ Displaystyle \ pi _ {i}}$ n $n$ }
2. ${\ Displaystyle \ pi _ {i} (X_ {n}) = 0}$ dla ${\ Displaystyle i> n}$ ,
3. mapy ${$ fibracjami z włóknem $-1$ .

Podwójnie istnieje wieża Whiteheada , która jest sekwencją kompleksów CW:

${\ Displaystyle \ cdots \ do X_ {3} \ do X_ {2} \ do X_ {1} \ do X}$

takie, że dla każdego ${\ displaystyle n}$ :

1. mapy wywołują izomorfizm na ${\ Displaystyle$$\ pi _ {i}}$ dla $→ X {\ Displaystyle X_ {n} \ do X$ , X
2. ${\ Displaystyle X_ {n}}$ jest n-podłączony ,
3. mapy ${$ fibracjami z włóknem $(\$

Za pomocą ciągów widmowych Serre'a można wykonać obliczenia wyższych grup homotopii sfer. Na przykład przy użyciu ${\ Displaystyle \ pi _ {4} (S ^ {3})}$ i ${\ Displaystyle \ pi _ {5} (S ^ {3})}$ można tu znaleźć wieżę Whitehead z $, bardziej ogólnie wieżę z$$pi _ {n + i} (S ^ { n})\ i\leq 3}$ przy użyciu systemów Postnikowa można znaleźć tutaj.

Operacje kohomologiczne

Dla ustalonych liczb naturalnych m, n i grup abelowych G, H istnieje bijekcja między zbiorem wszystkich operacji kohomologicznych ${\ Displaystyle \ Theta: H ^ {m } (\ cdot, G) \ do H ^ {n} (\ cdot, H)}$ i ${\ Displaystyle H ^ {n} (K (G, m), H)}$ zdefiniowane przez ${\ Displaystyle \ Theta \ mapsto \ Theta (\ alfa)}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ alfa \ w H ^ {m}(K(G,m),G)}$ jest klasą podstawową .

W rezultacie operacje kohomologii nie mogą zmniejszyć stopnia grup kohomologii, a operacje kohomologii zachowujące stopień odpowiadają homomorfizmowi współczynników ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (G, H)}$ . Wynika to z twierdzenia o uniwersalnym współczynniku dla kohomologii i (m-1) -powiązania z ${\ Displaystyle K (G, m)}$ .

Ciekawymi przykładami operacji kohomologicznych są $cyklicznymi$ Steenroda , gdy są skończonymi grupami . Studiując $Z}$ znaczenie kohomologii ze współczynnikami w $p {$ szybko staje się widoczny; niektóre obszerne tabele tych grup można znaleźć tutaj.

(Ko)homologia grupowa

Grupową (ko) homologię G ze współczynnikami w grupie A można zdefiniować jako pojedynczą (ko) homologię przestrzeni Eilenberga-MacLane'a ze współczynnikami w A. ${\ Displaystyle K (G, 1)}$ .

Dalsze zastosowania

Opisana powyżej konstrukcja przestrzeni pętli jest używana w teorii strun do uzyskania na przykład grupy strun , grupy pięciu bran itd., jak wieża Whiteheada wynikająca z krótkiego ciągu dokładnego

${\ Displaystyle 0 \ rightarrow K (\ mathbb {Z}, 2) \ rightarrow \ nazwa operatora {String} (n) \ rightarrow \ nazwa operatora {Zakręć} (n)\strzałka w prawo 0}$

z ${\ Displaystyle {\ tekst {String}} (n)}$ grupą smyczkową i Spin $\ Displaystyle {\ text {Spin}} (n)}$ grupą spinową . Znaczenie ${\ Displaystyle K (\ mathbb {Z}, 2)}$ polega na tym, że istnieją równoważności homotopii

${\ Displaystyle K (\ mathbb {Z}, 1) \ simeq U (1) \ simeq B \ mathbb {Z}}$

dla przestrzeni klasyfikującej i fakt $(\ mathbb {Z}, 2) \ simeq BU$$)$ . Zauważ, że ponieważ złożona grupa spinów jest rozszerzeniem grupy

${\ Displaystyle 0 \ do K (\ mathbb {Z}, 1) \ do {\ tekst {Wirowanie}} ^ {\ mathbb {C } }(n)\do {\text{Spin}}(n)\do 0}$ ,

$” złożone rozszerzenie$ spinowej w sensie grup wyższych , ponieważ przestrzeń z wyższej grupy. Można pomyśleć o topologicznej realizacji groupoidy, $( 1)}$ przedmiotem pojedynczy punkt i której morfizmy to grupa. $U ($ . Ze względu na te homotopiczne właściwości $może$ się: dowolna dana przestrzeń ${\ Displaystyle \ pi _ {n + 1}}$ która zabija grupę homotopii w grupie topologicznej .

Zobacz też

• Klasyfikacja przestrzeni dla przypadku ${\ displaystyle n = 1}$
• Twierdzenie Browna o reprezentowalności , dotyczące przestrzeni reprezentacji
• Przestrzeń Moore'a , analog homologii.

Notatki

Artykuły założycielskie

•    Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1945), „Relacje między grupami homologii i homotopii przestrzeni”, Annals of Mathematics , (druga seria), 46 (3): 480–509, doi : 10,2307/1969165 , JSTOR 1969165 , MR 0013312
•    Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1950). „Relacje między grupami homologii i homotopii przestrzeni. II”. Roczniki matematyki . (druga seria). 51 (3): 514–533. doi : 10.2307/1969365 . JSTOR 1969365 . MR 0035435 .
•    Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1954). „O grupach ${\ Displaystyle H (\ Pi, n)}$ . III. Operacje i przeszkody” . Roczniki matematyki . 60 (3): 513–557. doi : 10.2307/1969849 . JSTOR 1969849 . MR 0065163 .

Seminarium Cartan i aplikacje

Seminarium Cartana zawiera wiele fundamentalnych wyników dotyczących przestrzeni Eilenberga-Maclane'a, w tym ich homologię i kohomologię oraz zastosowania do obliczania grup homotopii sfer.

• http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/

Obliczanie całkowych pierścieni kohomologicznych

• Funktory pochodne podzielonych funktorów potęgowych
• Integralna kohomologia skończonych wież Postnikowa
• (Ko)homologia przestrzeni Eilenberga-MacLane'a K(G,n)

Inne odniesienia encyklopedyczne

• Encyklopedia matematyki
• Przestrzeń Eilenberga-Mac Lane'a w laboratorium n