Sekwencja widmowa Leraya

W matematyce sekwencja widmowa Leraya była pionierskim przykładem w algebrze homologicznej , wprowadzonym w 1946 roku przez Jeana Leraya . Obecnie jest to zwykle postrzegane jako szczególny przypadek sekwencji widmowej Grothendiecka .

Definicja

Niech ${\ Displaystyle f: X \ do Y}$ będzie ciągłą mapą przestrzeni topologicznych, która w szczególności daje funktor ze snopów grup abelowych na $X}$$f_ {*}}$$displaystyle$ do snopów grup abelowych na ${\ displaystyle Y}$ . Komponując to z funktorem robienia przekrojów na ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle {\ text {Sh}} _ {\ text {Ab}} (Y)}$ jest tym samym, co robienie sekcji na ${\ Displaystyle {\ text {Sh}} _ {\ text {Ab }} (X)}$ , zgodnie z definicją bezpośredniego funktora obrazu ${\ displaystyle f_ {*}}$ :

${\ Displaystyle \ operatorname {Sh_ {Ab}} (X) \ xrightarrow {f_ {*}} \ operatorname {Sh_ {Ab}} (Y) \ xrightarrow {\ Gamma} \ operatorname {Ab}.}$

Zatem pochodne funktory obliczają kohomologię snopka dla: $}$$\ Displaystyle \ Gamma \ circ f_ {*$ }

${\ Displaystyle R ^ {i} (\ Gamma \ cdot f_ {*}) ({\ mathcal {F}}) = H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}}).}$

Ale ponieważ i wysyłają obiekty iniekcyjne w $}$$) {$$\$$Displaystyle {\ tekst {Sh}} _ {\ tekst {Ab}} (X) fa ∗ {\ Displaystyle f_$ do ${\ Displaystyle \ Gamma}$ - obiekty acykliczne w ${\ Displaystyle {\ tekst {Sh}} _ {\ tekst {Ab}} (Y)}$ , istnieje sekwencja widmowa ^{pg 33,19} której jest druga strona

${\ Displaystyle E_ {2} ^ {pq} = (R ^ {p }\Gamma \cdot R^{q}f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p}(Y,R^{q}f_{*}({\mathcal {F}} )),}$

i który zbiega się do

${\ Displaystyle E ^ {p + q} = R ^ {p + q} (\ Gamma \ circ f_ {*}) ({\ mathcal {F}}) = H ^ {p + q} (X, {\ matematyczny {F}}).}$

Nazywa się to sekwencją widmową Leraya .

Uogólnienie na inne krążki i zespoły krążków

Zauważ, że wynik ten można uogólnić, zamiast tego rozważając snopy modułów nad lokalnie stałym snopem pierścieni dla ustalonego pierścienia przemiennego $}}$${\ podkreślenie {A$ . $fa$$-modułów$ będą snopami gdzie dla snopek ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ in {\ tekst {Sh}} _ {\ podkreślenie {A}} (X)} jest ZA _ ( U ) {\ Displaystyle {\$ podkreślenie $U )} -$ moduł dla ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} (U)}$ . Ponadto zamiast snopów moglibyśmy rozważyć kompleksy snopów ograniczonych poniżej ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {\ punktor} \ w D _ {\ podkreślenie {A}} ^{+}(X)}$ dla kategorii pochodnej z ${\ Displaystyle {\ tekst {Sh}} _ {\ podkreślenie {A}} (X)}$ . Następnie zastępuje się kohomologię snopów hiperkohomologią snopów .

Budowa

Istnienie sekwencji widmowej Leraya jest bezpośrednim zastosowaniem sekwencji widmowej Grothendiecka ^pg19 . Stwierdza to, że dane funktory addytywne

$do {\ Displaystyle {\ mathcal {A}} \ xrightarrow {G} {\ mathcal {B}} \ xrightarrow {F} {\ mathcal {C}}$

między kategoriami abelowymi mającymi wystarczającą liczbę iniekcji $,$ lewostronnym $i$ wysyłaniem obiektów iniekcyjnych do $obiektów$ to istnieje izomorfizm funktorów pochodnych .

${\ Displaystyle R ^ {+} (F \ circ G) = R ^ {+} F \ circ F ^ {+} G}$

dla kategorii pochodnych ${\ Displaystyle D ^ {+} ({\ mathcal {A}}), D ^ {+} ({\ mathcal {B }}),D^{+}({\mathcal {C}})}$ . W powyższym przykładzie mamy skład funktorów pochodnych

${\ Displaystyle D ^ {+} ({\ tekst {Sh}} _ {\ tekst {Ab}} (X)} \ xrightarrow {Rf_ {*}} D ^ {+} ({\ tekst {Sh}} _ {\text{Ab}}(Y)}\xrightarrow {\Gamma} D^{+}({\text{Ab}}).}$

Klasyczna definicja

Niech $_$ rozmaitości _ _ ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {U_ {i} \} _ {i \ in I}} jest$ ∈ okładką Y $\ displaystyle Y$ } kompleks Čech snopka fa $\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ in {\ tekst {Sh}} (X)}$ w odniesieniu do okładki z ${\ Displaystyle X}$ : ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (U)}$

${\ Displaystyle {\ tekst {C}} ^ {p} (f ^ {-1} {\ mathcal {U}}, {\ mathcal {F}})}$

Mapy granic ${\ Displaystyle d ^ {p} \ dwukropek C ^ {p} \ do C ^ {p + 1}} i$ mapy ${\ Displaystyle \ delta ^ {q} \ okrężnica \ Omega _ {X} ^ {q} \ do \ Omega _ {X} ^ {q + 1}} snopów na X {\ Displaystyle$ X $razem$ dają mapa granic na podwójnym zespole ${\ Displaystyle {\ tekst {C}} ^ {p} (f ^ {-1} {\ mathcal {U}}, \ Omega _ {X} ^ {q})}$

${\ Displaystyle D = d + \ delta \ dwukropek C ^ {\ punktor} (f ^ {-1} {\ mathcal {U}}, \ Omega _ {X} ^ {\ punktor}} \ longrightarrow C ^ {\ punktor }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet}).}$

$również$ pojedynczym kompleksem stopniowanym przez $,$ odniesieniu którego graniczną Jeśli każde skończone przecięcie jest dyfeomorficzne z $\$$displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ , można że kohomologia

${\ Displaystyle H_ {D} ^ {n} (C ^ {\ punktor} (f ^ {- 1 }{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet}})=H_{\text{dR}}^{n}(X,\mathbb {R})}$

tego kompleksu jest kohomologia de Rham z ${\ displaystyle X}$ . Co więcej, każdy podwójny kompleks ma sekwencję widmową E z

${\ Displaystyle E _ {\ infty} ^ {np, p} = {\ tekst {the }}p{\text{th stopniowana część }}H_{dR}^{n}(C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X }^{\punkt }))}$

(tak, że ich suma wynosi ${\ Displaystyle H_ {dR} ^ {n}}$ ) i

${\ Displaystyle E_ {2} ^ {p, q} = H ^ {p} (f ^ {- 1} {\ mathcal {U} },{\mathcal {H}}^{q}),}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {q}}$ jest snopkiem na X wysyłającym ${\ Displaystyle U \ mapsto H ^ {q} ( f^{-1}(U),F)}$ . W tym kontekście nazywa się to sekwencją widmową Leraya.

Nowoczesna definicja obejmuje to, ${\ Displaystyle U \ mapsto H ^ {q} (f ^ {- 1} (U), F)}$ . $obrazu$ snoopowaniem

Przykłady

• Niech $będzie$ gładkimi rozmaitościami $_ {1} (X)$ 1 X ) = $\$ pi = $f\colon X\times F\to X$. If the cover ${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {U_ {i} \} _ {i \ in I}} jest dobre$ (skończone przecięcia są ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} }$ ) następnie

${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {p} (f ^ {-1} U_ {i}) \ simeq H ^ {q } (F)}$

$spójny$ jest po prostu , każdy lokalnie stały snop wstępny jest stały, więc jest to stały snop wstępny ${\ Displaystyle H ^ {q} (F) = {\ podkreślenie {\ mathbb {R}}} ^ {n_ {q}}}$ . Tak więc druga strona widmowej sekwencji Leraya to

${\ Displaystyle E_ {2} ^ {p, q} = H ^ {p} (f ^ {- 1} {\ mathcal {U}}, H ^ {q} (F)) = H ^ {p }(f^{-1}{\mathcal {U}},\mathbb {R} )\czasami H^{q}(F)} Jako okładka$

{ $\ displaystyle \ {f ^ {- 1} (U_ {i}) \} _ {i \ in I}}$ z ${\ Displaystyle X \ razy F}$ jest również dobre, ${\ Displaystyle H ^ {p} (f ^ {- 1} (U_ {i}); \ mathbb {R}) \ cong H ^ {p} (f; \ mathbb {R} )}$ . więc

${\ Displaystyle E_ {2} ^ {p, q} = H ^ {p} ( X)\otimes H^{q}(F)\ \Longrightarrow \ H^{p+q}(X\times F,\mathbb {R} )}$

Oto pierwsze miejsce, w którym używamy tego, że $jest$$,$ a nie tylko wiązką włókien: każdy element jest rzeczywistą różniczkową na wszystkich $displaystyle X\times F}$${$$\$ , więc zastosowanie do nich obu zero . Zatem ${\ Displaystyle E _ {\ infty} = E_ {2}}$ . To dowodzi twierdzenia Künnetha dla ${\ Displaystyle X}$ po prostu połączony:

${\ Displaystyle H ^ {\ punktor} (X \ razy Y, \ mathbb {R} )\ simeq H ^ {\ punktor} (X) \ czasami H ^ {\ punktor} (Y)}$

• Jeśli ${\ Displaystyle f \ okrężnica X \ do Y}$ jest ogólną wiązką włókien z włóknem ${ \displaystyle F}$ , powyższe ma zastosowanie, z wyjątkiem tego, że ${\ Displaystyle V ^ {p} \ do H ^ {p} (f ^ {- 1} V, H ^ {q} )}$ jest tylko lokalnie stałą presnopem, a nie stałą.

• Wszystkie przykładowe obliczenia z sekwencją widmową Serre'a są sekwencją Leraya dla stałego snopka.

Twierdzenie o degeneracji

W kategorii odmian quasi-rzutowych nad istnieje twierdzenie o degeneracji udowodnione przez Pierre'a Deligne'a i Blancharda dla sekwencji widmowej Leraya, które stwierdza $,$ że ​​​​gładki morfizm rzutowy ${\ Displaystyle f \ okrężnica X \ do Y}$ daje nam, że -strona sekwencji widmowej dla $}} _{X}}$$Displaystyle {\ podkreślenie {\ mathbb$ degeneruje się, stąd

${\ Displaystyle H ^ {k} (X; \ mathbb {Q}) \ cong \ bigoplus _ {p + q = k} H ^ {p} (Y; \ mathbf {R} ^ {q} f_ {*} ({\podkreślenie {\mathbb {Q}}}_ {X})).}$

Proste przykłady można obliczyć, jeśli Y jest po prostu połączone; na przykład pełne przecięcie wymiaru (jest to spowodowane homomorfizmem Hurewicza $i$ twierdzeniem o hiperpłaszczyźnie ) W tym przypadku systemy lokalne $R} ^ {q} f_ {*} ({\ podkreślenie {\ mathbb {Q}}} _ {X})}$ { mają trywialną monodromię, stąd ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {q} f_ {*} ({\ podkreślenie {\ mathbb {Q}}} _ {X}) \ cong {\ podkreślenie { \mathbb {Q}}}_{Y}^{\oplus l_{q}}}$ . $rodzaju$ na przykład gładką rodzinę 3 na K3 W takim razie mamy to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {R} ^ {0} f_ {*} ({\ podkreślenie {\ mathbb {Q}}} _ {X}) & \ cong {\ podkreślenie {\ mathbb {Q} } }}_ {Y}\\\mathbf {R} ^{1}f_{*}({\podkreślenie {\mathbb {Q}}}_{X})&\cong {\podkreślenie {\mathbb {Q} } }}_ {Y}^{\oplus 6}\\\mathbf {R} ^{2}f_{*}({\podkreślenie {\mathbb {Q}}}_{X})&\cong {\ podkreśl {\mathbb {Q}}}_{Y}\end{wyrównane}}}$

dając nam $_$

${\ Displaystyle E_ {2} = E _ {\ infty} = {\ rozpocząć {bmatrix} H ^ {0} (Y; {\ podkreślenie {\ mathbb {Q}}} _ {Y}) i 0 i H ^ {2} ( Y;{\podkreślenie {\mathbb {Q}}}_{Y})&0&H^{4}(Y;{\podkreślenie {\mathbb {Q}}}_{Y})\\H^{0}( Y;{\podkreślenie {\mathbb {Q}}}_{Y}^{\oplus 6})&0&H^{2}(Y;{\podkreślenie {\mathbb {Q}}}_{Y}^{\ oplus 6})&0&H^{4}(Y;{\podkreślenie {\mathbb {Q}}}_{Y}^{\oplus 6})\\H^{0}(Y;{\podkreślenie {\mathbb {Q}}}_{Y})&0&H^{2}(Y;{\podkreślenie {\mathbb {Q}}}_{Y})&0&H^{4}(Y;{\podkreślenie {\mathbb {Q} } }}_{Y})\end{bmacierz}}}$

Przykład z monodromią

Innym ważnym przykładem gładkiej rodziny rzutowej jest rodzina związana z krzywymi eliptycznymi

${\ Displaystyle y ^ {2} = x (x-1) (xt)}$

0 P. ${0,1, \ infty \}}$ . Tutaj monodromię wokół i 1 można obliczyć za pomocą $teorii$ Picarda-Lefschetza , dając monodromię wokół komponowanie lokalnych monodromów.

Historia i połączenie z innymi sekwencjami widmowymi

W czasie pracy Leraya żadna z dwóch zaangażowanych koncepcji (sekwencja widmowa, kohomologia snopów) nie osiągnęła stanu ostatecznego. Dlatego rzadko zdarza się, aby wynik Leraya był cytowany w oryginalnej formie. Po wielu pracach, w szczególności na seminarium Henri Cartana , uzyskano współczesne stwierdzenie, choć nie ogólną sekwencję widmową Grothendiecka.

Wcześniej (1948/9) implikacje dla wiązek włókien zostały wyodrębnione w formie formalnie identycznej z sekwencją widmową Serre'a , która nie wykorzystuje snopów. Zabieg ten zastosowano jednak do kohomologii Alexandra-Spaniera ze zwartymi podporami , zastosowanej do odpowiednich map lokalnie zwartych przestrzeni Hausdorffa, ponieważ wyprowadzenie ciągu widmowego wymagało drobnego snopka rzeczywistych algebr różniczkowych stopniowanych na całej przestrzeni, która została uzyskana odciągając kompleks de Rham wzdłuż zagłębienia w kulę. Jean-Pierre Serre , który potrzebował sekwencji widmowej w homologii , która odnosiłaby się do fibracji w przestrzeni ścieżki , której całkowite przestrzenie prawie nigdy nie są lokalnie zwarte, nie był zatem w stanie użyć oryginalnej sekwencji widmowej Leraya i wyprowadził pokrewną sekwencję widmową, której wariant kohomologiczny jest zgodny, dla zwartej wiązki włókien w dobrze zachowanej przestrzeni z powyższą sekwencją.

W sformułowaniu uzyskanym przez Alexandra Grothendiecka około 1957 r. Sekwencja widmowa Leraya jest sekwencją widmową Grothendiecka dla składu dwóch pochodnych funktorów .

Zobacz też

• Sekwencja widmowa Serre'a - więcej przykładów
• Sekwencja widmowa Grothendiecka - dla teorii abstrakcyjnej podporządkowującej konstrukcję sekwencji widmowej Leraya
• Mieszany moduł Hodge'a

Linki zewnętrzne

• Sekwencja widmowa Leraya Artykuł w Encyklopedii Matematyki
• Sekwencja widmowa Leraya dla przestrzeni pierścieniowych Artykuł w projekcie The Stacks