Sekwencja widmowa Grothendiecka

W matematyce , w dziedzinie $.$ homologicznej , sekwencja widmowa Grothendiecka , wprowadzona przez Alexandra Grothendiecka w jego Tôhoku , jest sekwencją widmową , która oblicza funktory kompozycji dwóch funktorów , ze znajomości funktorów pochodnych i ${\ displaystyle F}$ i ${\ displaystyle G}$ . Wiele sekwencji widmowych w geometrii algebraicznej to przykłady sekwencji widmowej Grothendiecka, na przykład sekwencja widmowa Leraya .

Oświadczenie

fa ${\ Displaystyle F \ okrężnica {\ mathcal {A}} \ do {\ mathcal {B}}} i sol : b → do {\$ G ${B}} \ do {\ mathcal {C}}}$ to dwa addytywne i lewostronnie dokładne funktory między kategoriami abelowymi , tak że zarówno ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}},$ jak i ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ mają wystarczającą liczbę iniekcji i ${\ displaystyle F}$ przenosi obiekty iniekcyjne $\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ obiektów acyklicznych ${ \ displaystyle$ a następnie dla każdego obiektu istnieje sekwencja widmowa ZA $}$ ZA {

${\ Displaystyle E_ {2} ^ {pq} = ({\ rm {R} }^{p}G\circ {\rm {R}}^{q}F)(A)\Longrightarrow {\rm {R}}^{p+q}(G\circ F)(A),}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ rm {R}} ^ {p} G}$ oznacza p -ty funktor wyprowadzony w prawo z ${\ displaystyle G}$ itd., a gdzie strzałka ' ${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo }$ ' oznacza zbieżność sekwencji widmowych .

Dokładna sekwencja pięciu wyrazów

Dokładna sekwencja odczytów niskich stopni

${\ Displaystyle 0 \ do {\ rm {R}} ^ {1} G (FA) \ do {\ rm {R}} ^ {1} (GF) (A) \ do G ({\ rm {R} }^{1}F(A))\do {\rm {R}}^{2}G(FA)\do {\rm {R}}^{2}(GF)(A).}$

Przykłady

Sekwencja widmowa Leraya

Główny artykuł: sekwencja widmowa Leraya

Jeśli ${\textstyle X}$ i ${\textstyle Y}$ są przestrzeniami topologicznymi , niech ${\textstyle {\mathcal {A}}=\mathbf {Ab} (X)}$ i ${\ textstyle {\ mathcal {B}} = \ mathbf {Ab} (Y)}$ będzie kategorią snopów grup abelowych odpowiednio na ${\ textstyle X}$ i ${\ textstyle Y}$ .

Dla $fa$ mapy jest funktor $\ Displaystyle f_$ bezpośredniego (dokładnie . Mamy również funktory sekcji

${\ Displaystyle \ Gamma _ {X} \ dwukropek \ mathbf {Ab} (X) \ do \ mathbf {Ab}}$ i ${\ Displaystyle \ Gamma _ {Y} \ dwukropek \ mathbf {Ab} (Y) \ do \ mathbf {Ab}.}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {Y} \ circ f_ {*} = \ Gamma _ {X}}$ fa funktory ${\ Displaystyle f_ {*}}$ i ${ \ displaystyle \ Gamma _ {Y}}$ spełniają hipotezy (ponieważ bezpośredni funktor obrazu ma dokładne lewe sprzężenie , wypychanie iniekcji jest iniekcyjne, aw szczególności $^ {-1}}$ \ displaystyle funktor), ciąg w tym przypadku staje się:

${\ Displaystyle H ^ {p} (Y, {\ rm {R}} ^ {q} f_ {*} {\ mathcal {F}})\implikuje H^{p+q}(X,{\mathcal {F}})}$

dla snopka $grup$ na ${\ displaystyle X}$ .

Lokalna-globalna sekwencja widmowa Ext

Istnieje sekwencja widmowa odnosząca się do globalnego Ext i snopka Ext: niech F , G będą snopami modułów w przestrzeni pierścieniowej ${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {O}})}$ ; np schemat. Następnie

${\ Displaystyle E_ {2} ^ {p, q} = \ nazwa operatora {H} ^ {p} (X; {\ mathcal {E}} xt _ {\ mathcal {O}} ^ {q} (F, G) )\Strzałka w prawo \operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{p+q}(F,G).}$

To jest przykład sekwencji widmowej Grothendiecka: rzeczywiście,

${\ Displaystyle R ^ {p} \ Gamma (X, -) = \ nazwa operatora {H} ^ {p} (X, -)}$ , ${\ Displaystyle R ^ {q} {\ mathcal {H}} om _ {\ mathcal {O}} (F, -) = {\ mathcal {E}} xt_ {\ mathcal {O}} ^ {q} (F ,-)}$ i ${\ Displaystyle R ^ {n} \ Gamma (X, {\ mathcal {H} }om_{\mathcal {O}}(F,-))=\operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{n}(F,-)}$ .

Co więcej, ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} om _ {\ mathcal {O}} (F, -)}$ wysyła iniekcję ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}}}$ - $do$ ​​krążków , Hipoteza jest więc spełniona.

Pochodzenie

Użyjemy następującego lematu:

Lemat — Jeśli K jest kompleksem iniekcyjnym w abelowej kategorii C takim, że jądra różniczek są obiektami iniekcyjnymi, to dla każdego n ,

${\ Displaystyle H ^ {n} (K ^ {\ punktor})}$

jest obiektem iniekcyjnym i dla dowolnego lewostronnego funktora addytywnego G na C ,

${\ Displaystyle H ^ {n} (G (K ^ {\ punktor})) = G (H ^ {n} (K ^ {\ punktor})).}$

Dowód: Niech ${\ Displaystyle Z ^ {n}, B ^ {n + 1}}$ będzie jądrem i obrazem re $\ Displaystyle d: K ^ {n}\do K^{n+1}}$ . Mamy

${\ Displaystyle 0 \ do Z ^ {n} \ do K ^ {n} {\ overset {d} {\ do}} B ^ {n + 1} \do 0,}$

który dzieli. Oznacza to $że$ iniekcyjny Dalej patrzymy

${\ Displaystyle 0 \ do B ^ {n} \ do Z ^ {n} \ do H ^ {n} (K ^ {\ punktor}) \ do 0.}$

Dzieli się, co implikuje pierwszą część lematu, jak również dokładność

${\ Displaystyle 0 \ do G (B ^ {n}) \ do G (Z ^ {n}) \ do G(H^{n}(K^{\punktor}))\do 0.}$

Podobnie mamy (używając wcześniejszego podziału):

${\ Displaystyle 0 \ do G (Z ^ {n}) \ do G (K ^ {n} ){\przesunięcie {G(d)}{\do}}G(B^{n+1})\do 0.}$

Teraz następuje druga część. ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Konstruujemy teraz sekwencję widmową. Niech ${\ Displaystyle A ^ {0} \ do A ^ {1} \ do \ cdots}$ będzie rozdzielczością iniekcyjną A . ϕ ${\ Displaystyle \ phi ^ {p}}$ dla $p}) \ do fa (A ^ {p + 1}) }$ , mamy:

${\ Displaystyle 0 \ do \ nazwa operatora {ker} \ fi ^ {p} \ do fa (A ^ {p}) {\ overset {\fi ^{p}}{\do}}\nazwa_operatora {im} \phi ^{p}\do 0.}$

Weź rezolucje iniekcyjne ${1 }\to \cdots }$${0}$ ^ pierwszego i trzeciego niezerowego wyrazu. Zgodnie $_$ podkowy suma jest ${\ Displaystyle F (A ^ {p})}$ . Stąd znaleźliśmy rozdzielczość iniekcyjną kompleksu:

${\ Displaystyle 0 \ do F (A ^ {\ punktor}) \ do I ^ {\ punktor, 0} \ do I ^ {\ punktor, 1} \ do \ cdots.}$

tak $_$ Cartan- _ rezolucja Eilenberga ).

Teraz podwójny kompleks ${\ Displaystyle E_ {0} ^ {p, q} = G (I ^ {p, q})}$ daje początek dwóm sekwencjom widmowym, poziomym i pionowe, które teraz zbadamy. Z jednej strony z definicji

${\ Displaystyle {} ^ {\ pierwsza \ pierwsza} E_ {1} ^ {p, q}=H^{q}(G(I^{p,\punktor}))=R^{q}G(F(A^{p}))}$ ,

$wynosi$ zero, chyba q = 0 hipoteza G -acykliczna Stąd ${\ Displaystyle {} ^ {\ pierwsza \ pierwsza} E_ {2} ^ {n} = R ^ {n} (G \ circ F) (A)}$ i ${\ Displaystyle {} ^ {\ pierwsza \ pierwsza} E_ {2} = {} ^ {\ pierwsza \ pierwsza} E_ {\ infty}}$ . Z drugiej strony, z definicji i lematu,

${\ Displaystyle {} ^ {\ pierwsza} E_ {1} ^ {p, q} = H ^ {q} (G (I ^ {\ punktor, p})) = G (H ^ {q} (I ^ {\punktor, p}}).}$

Ponieważ $ZA ∙$${\ Displaystyle H ^ {q} (I ^ {\ punktor, 0}) \ do H ^ {q} (I ^ {\ punktor$$Displaystyle H ^ {q} (F (A ^ {\ punktor}}$ R (jest to rozdzielczość, ponieważ jej kohomologia jest trywialna),

${\ Displaystyle {} ^ {\ pierwsza} E_ {2} ^ {p, q} = R ^ {p} G (R ^ {q} F (A)).}$

Ponieważ ${\ displaystyle {} ^ {\ pierwsza} E_ {r}}$ i ${\ displaystyle {} ^ {\ pierwsza \ pierwsza} E_ {r}}$ mają ten sam termin ograniczający, dowód jest następujący kompletny. ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Notatki

•   Godement, Roger (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux , Paryż: Hermann, MR 0345092
•     Weibel, Charles A. (1994). Wprowadzenie do algebry homologicznej . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Tom. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4 . MR 1269324 . OCLC 36131259 .

Przykłady obliczeniowe

• Sharpe, Eric (2003). Wykłady na temat D-bran i krążków (strony 18–19) , arXiv : hep-th/0307245

Ten artykuł zawiera materiał z sekwencji widmowej Grothendiecka na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .