Funktor zewnętrzny

W matematyce funktory Ext są funktorami pochodnymi funktora Hom . Wraz z funktorem Tor , Ext jest jednym z podstawowych pojęć algebry homologicznej , w której idee z topologii algebraicznej są używane do definiowania niezmienników struktur algebraicznych. Kohomologię grup , algebry Liego i algebry asocjacyjne można zdefiniować za pomocą Ext. Nazwa wzięła się stąd, że pierwsza grupa Ext Ext ¹ klasyfikuje rozszerzenia jednego modułu przez inny.

W szczególnym przypadku grup abelowych Ext został wprowadzony przez Reinholda Baera (1934). Został nazwany przez Samuela Eilenberga i Saundersa MacLane'a (1942) i zastosowany do topologii ( twierdzenie o uniwersalnym współczynniku dla kohomologii ). Dla modułów na dowolnym pierścieniu , Ext zostało zdefiniowane przez Henri Cartana i Eilenberga w ich książce Homological Algebra z 1956 roku .

Definicja

Niech R będzie pierścieniem i niech R -Mod będzie kategorią modułów nad R . (Można przyjąć, że oznacza to albo lewe R , albo prawe moduły R. ) Dla ustalonego modułu R A niech T ( B ) = Hom _R ( A , B ) dla B w R -Mod. (Tutaj Hom _R ( A , B ) jest abelową grupą R -liniowych odwzorowań od A do B ; jest to R -moduł, jeśli R jest przemienny .) Jest to lewy funktor dokładny z R -Mod do kategorii abelowych grup Ab, a więc ma funktory wyprowadzone w prawo R ⁱ T . Grupy Ext to grupy abelowe zdefiniowane przez

{\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) = (R ^ {i} T) ( B),}

dla liczby całkowitej i . Z definicji oznacza to: weź dowolną rozdzielczość iniekcyjną

{\ Displaystyle 0 \ do B \ do ja ^ {0} \ do ja ^ {1} \ do \ cdots,}

usuń termin B i utwórz kompleks kołańcuchowy :

{\ Displaystyle 0 \ do \ operatorname {Hom} _ {R} (A, I ^ {0}) \ do \ operatorname {Hom} _ {R} (A, I ^ {1}) \ do \ cdots.}

⁰ Dla każdej liczby całkowitej i , Ext
ⁱ_R ( A , B ) jest kohomologią tego kompleksu w pozycji i . Jest zero dla i ujemne. Na przykład Ext ⁰
_R ( A , B ) jest jądrem mapy Hom _R ( A , I ) → Hom _R ( A , I ¹ ), która jest izomorficzna z Hom _R ( A , B ).

Alternatywna definicja używa funktora G ( A )=Hom _R ( A , B ) dla stałego R - modułu B. Jest to funktor kontrawariantny , który można postrzegać jako lewy funktor dokładny z przeciwnej kategorii ( R -Mod) ^op do Ab. Grupy Ext są zdefiniowane jako prawe funktory pochodne R ⁱ G :

{\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) = (R ^ {i} G) (A).}

Oznacza to, że wybierz dowolną rozdzielczość projekcyjną

{\ Displaystyle \ cdots \ do P_ {1} \ do P_ {0} \ do A \ do 0,}

usuń termin A i utwórz kompleks kołańcuchowy:

{\ Displaystyle 0 \ do \ nazwa operatora {Hom} _ {R} (P_ {0}, B) \ do \ nazwa operatora {Hom} _ {R} (P_ {1}, B) \ do \ cdots.}

Wtedy Ext
ⁱ_R ( A , B ) jest kohomologią tego kompleksu w pozycji i .

Cartan i Eilenberg wykazali, że konstrukcje te są niezależne od wyboru rozdzielczości rzutowej lub iniekcyjnej i że obie konstrukcje dają te same grupy Ext. Ponadto dla ustalonego pierścienia R Ext jest funktorem w każdej zmiennej (kontrawariantny w A , kowariantny w B ).

Dla pierścienia przemiennego R i R -moduły A i B , Ext
ⁱ_R ( A , B ) jest R -modułem (używając tego, że Hom _R ( A , B ) jest w tym przypadku R -modułem). Dla nieprzemiennego pierścienia R , Ext
ⁱ_R ( A , B ) jest ogólnie tylko grupą abelową. Jeśli R jest algebrą na pierścieniu S (co oznacza w szczególności, że S jest przemienny), to Ext
ⁱ_R ( A , B ) jest co najmniej S -modułem.

Właściwości zewn

Oto niektóre z podstawowych właściwości i obliczeń grup Ext.

Ext ⁰
_R ( A , B ) ≅ Hom _R ( A , B ) dla dowolnych modułów R A i B .

Ext
ⁱ_R ( A , B ) = 0 dla wszystkich i > 0 jeśli moduł R A jest rzutowy (na przykład wolny ) lub jeśli B jest iniekcyjny .

Conversy posiadają również:
- Jeśli Ext
  ¹_R ( A , B ) = 0 dla wszystkich B , to A jest rzutowe (a zatem Ext
  ⁱ_R ( A , B ) = 0 dla wszystkich i > 0).
- Jeśli Ext
  ¹_R ( A , B ) = 0 dla wszystkich A , to B jest iniekcyjne (a zatem Ext
  ⁱ_R ( A , B ) = 0 dla wszystkich i > 0).

${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z}} ^ {i} (A, B) = 0}$ dla wszystkich ja ≥ 2 i wszystkich grup abelowych A i B .

Jeśli R jest pierścieniem przemiennym, a u w R nie jest dzielnikiem zera , to

{\ Displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0&{\text {inaczej}}\end{cases}}}

dla dowolnego modułu R B . Tutaj B [ u ] oznacza podgrupę u -torsji B , { x ∈ B : ux = 0}. Biorąc R za pierścień

liczb

całkowitych, to obliczenie można wykorzystać do obliczenia

{Ext} _ {\ mathbb {Z} }^{1}(A,B)}

dla dowolnej skończenie wygenerowanej grupy abelowej A .

Uogólniając poprzedni przykład, można obliczyć grupy Ext, gdy pierwszym modułem jest iloraz pierścienia przemiennego przez dowolny ciąg regularny , używając kompleksu Koszula . Na przykład, jeśli R jest pierścieniem wielomianowym k [ x ₁ ,..., x _n ] nad ciałem k , to Ext
^*_R ( k , k ) jest zewnętrzną algebrą S nad k na n generatorach w Ext ¹ . Ponadto Ext
^*_S ( k , k ) jest pierścieniem wielomianowym R ; jest to przykład dwoistości koszulskiej .

Z ogólnych właściwości funktorów pochodnych wynika, że istnieją dwa podstawowe ciągi dokładne dla Ext. Po pierwsze, krótki ciąg dokładny 0 → K → L → M → 0 R -modułów indukuje długi ciąg dokładny postaci

{\ Displaystyle 0 \ do \ operatorname {Hom} _ {R} (A, K)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,L)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,M)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}( A,K)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,L)\to \cdots ,}

dla dowolnego modułu R A . Również krótki ciąg dokładny 0 → K → L → M → 0 indukuje długi ciąg dokładny postaci

{\ Displaystyle 0 \ do \ operatorname {Hom} _ {R} (M, B) \ do \mathrm {Hom} _{R}(L,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(K,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,B) \to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(L,B)\to \cdots ,}

dla dowolnego modułu R B .

Ext bierze bezpośrednie sumy (prawdopodobnie nieskończone) w pierwszej zmiennej i iloczyny w drugiej zmiennej do produktów. To jest:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {Ext} _ {R} ^ {i} \ lewo (\ bigoplus _ {\ alfa} M _ {\ alfa}, N \ prawo) & \ cong \ prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M_{\alpha},N)\\\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(M,\prod _ {\alpha}N_{\alpha}\right)&\cong \prod _{\alpha}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha})\end{wyrównane}} }

Niech A będzie skończenie generowanym modułem na przemiennym pierścieniu noetherowskim R . Wtedy Ext komutuje z lokalizacją w tym sensie, że dla każdego multiplikatywnie domkniętego zbioru S w R , każdego R -modułu B i każdej liczby całkowitej i ,

{\ Displaystyle S ^ {-1} \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) \ cong \ operatorname {Ext} _ {S ^ {-1} R} ^ {i} \ lewo (S^{-1}A,S^{-1}B\prawo).}

Rozszerzenia i rozszerzenia

Równoważność rozszerzeń

Grupy Ext wywodzą swoją nazwę od ich stosunku do rozszerzeń modułów. Biorąc pod uwagę R -moduły A i B , rozszerzenie A przez B jest krótką dokładną sekwencją R -modułów

{\ Displaystyle 0 \ do B \ do E \ do A \ do 0.}

Dwa rozszerzenia

{\ Displaystyle 0 \ do B \ do E \ do A \ do 0}

{\ Displaystyle 0 \ do B \ do E '\ do A \ do 0}

mówi się, że są równoważne (jako rozszerzenia A przez B ), jeśli istnieje diagram przemienny :

Zauważ, że lemat o pięciu implikuje, że środkowa strzałka jest izomorfizmem. Przedłużenie A przez B nazywa się podziałem , jeśli jest równoważne trywialnemu rozszerzeniu

{\ Displaystyle 0 \ do B \ do A \ oplus B \ do A \ do 0.}

Istnieje zgodność jeden do jednego między klasami równoważności rozszerzeń A przez B i elementami Ext
¹_R ( A , B ). Trywialne rozszerzenie odpowiada elementowi zerowemu Ext
¹_R ( A , B ).

Suma Baera rozszerzeń

Suma Baera jest wyraźnym opisem struktury grup abelowych na Ext
¹_R ( A , B ), postrzeganej jako zbiór klas równoważności rozszerzeń A przez B . Mianowicie, biorąc pod uwagę dwa rozszerzenia

\ Displaystyle 0 \ do B {\ xrightarrow [{f}] {}} E {\ xrightarrow [{g}] {}} A \ do 0}

I

{\ Displaystyle 0 \ do B {\ xrightarrow [{f '}] {}} E '{\ xrightarrow [{g'}] {}} A \ do 0 ,}

najpierw utwórz wycofanie ponad ${\ displaystyle A$ }

{\ Displaystyle \ Gamma = \ lewo \ {(e, e') \ w E \ oplus E '\;|\; g (e) = g' (e') \ prawo \}.}

Następnie utwórz moduł ilorazu

{\ Displaystyle Y = \ Gamma / \ {(f (b), -f '(b)} \; | \; b \ w B \}.}

Suma Baera E i E ′ jest rozszerzeniem

{\ Displaystyle 0 \ do B \ do Y \ do A \ do 0,}

gdzie pierwsza mapa to ${\ Displaystyle b \ mapsto [(f (b), 0)] = [(0, f ' (b))]}$ a drugi to ${\ Displaystyle (e, e ') \ mapsto g (e) = g' (e') }$ .

Aż do równoważności rozszerzeń suma Baera jest przemienna i ma trywialne rozszerzenie jako element tożsamości. Ujemne rozszerzenie 0 → B → E → A → 0 jest rozszerzeniem obejmującym ten sam moduł E , ale z homomorfizmem B → E zastąpionym jego ujemnym.

Konstrukcja Ext w kategoriach abelowych

Nobuo Yoneda zdefiniował grupy abelowe Ext
ⁿ_C ( A , B ) dla obiektów A i B w dowolnej kategorii abelowej C ; zgadza się to z definicją pod względem rozdzielczości, jeśli C ma wystarczającą liczbę rzutów lub wystarczającą liczbę iniekcji . Po pierwsze, Ext ⁰
_C ( A , B ) = Hom _C ( A , B ). Następnie Ext
¹_C ( A , B ) jest zbiorem klas równoważności rozszerzeń A przez B , tworzących grupę abelową pod sumą Baera. Wreszcie wyższe grupy Ext Ext
ⁿ_C ( A , B ) są zdefiniowane jako klasy równoważności n-rozszerzeń , które są dokładnymi sekwencjami

{\ Displaystyle 0 \ do B \ do X_ {n} \ do \ cdots \ do X_ {1} \ do A \ do 0,}

w ramach relacji równoważności generowanej przez relację identyfikującą dwa rozszerzenia

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ xi: 0 i \ do B \ do X_{n}\do \cdots \do X_{1}\do A\do 0\\\xi ':0&\do B\do X'_{n}\do \cdots \do X'_{1 }\do A\do 0\koniec {wyrównany}}}

jeśli istnieją mapy dla wszystkich m w {1, 2, ..., $tak$ , że każdy wynikowy do pracy to , jeśli istnieje mapa łańcucha ξ → ξ', która jest tożsamością na A i B .

Suma Baera dwóch $n$ - rozszerzeń jak powyżej $X$ tworzona przez pozwolenie na wycofanie $„_ {1}}$ X 1 $_ {1} }$ $i$ i być wypchnięciem X n $Displaystyle X_ {n}}$ X $}}$ $\ Displaystyle X'_ {$ } pod B . Wtedy suma Baera rozszerzeń wynosi

{\ Displaystyle 0 \ do B \ do X''_ {n }\do X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\do \cdots \do X_{2}\oplus X'_{2}\do X''_{1}\do A\ do 0.}

Kategoria pochodna i produkt Yoneda

Ważną kwestią jest to, że grupy Ext w kategorii abelowej C można postrzegać jako zbiory morfizmów w kategorii powiązanej z C , kategorii pochodnej D ( C ). Obiektami kategorii pochodnej są kompleksy obiektów w C. Konkretnie, jeden ma

{\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}} ^ {i} (A, B) =\operatorname {Hom} _{D({\mathbf {C}})}(A,B[i]),}

gdzie obiekt C jest postrzegany jako kompleks skoncentrowany w stopniu zero, a [ i ] oznacza przesunięcie kompleksu i krokami w lewo. Z tej interpretacji wynika mapa dwuliniowa , czasami nazywana iloczynem Yoneda :

\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbf {C}} ^ { i}(A,B)\times \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{j}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i+ j}(A,C),}

który jest po prostu złożeniem morfizmów w kategorii pochodnej.

Produkt Yoneda można też opisać bardziej elementarnie. Dla i = j = 0 produktem jest złożenie map w kategorii C . Ogólnie rzecz biorąc, produkt można zdefiniować, łącząc ze sobą dwa przedłużenia Yoneda.

Alternatywnie produkt Yoneda można zdefiniować w kategoriach rozdzielczości. (Jest to zbliżone do definicji kategorii pochodnej.) Na przykład, niech R będzie pierścieniem z R -modułami A , B , C , i niech P , Q i T będą rzutowymi rozdzielczościami A , B , C . Wówczas Ext
ⁱ_R ( A , B ) można utożsamiać z grupą klas homotopii łańcuchów map łańcuchowych P → Q [ i ]. Produkt Yoneda jest podawany poprzez komponowanie map łańcucha:

{\ Displaystyle P \ do Q [i] \ do T [i + j].}

W dowolnej z tych interpretacji produkt Yoneda jest asocjacyjny. W rezultacie $_$ pierścieniem _ _ _ _ _ Na przykład daje to strukturę pierścienia na kohomologii grupowej ${\ Displaystyle H ^ {*} (G, \ mathbb {Z})},$ ponieważ można to postrzegać jako ${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z} [G]} ^ {*} (\ mathbb {Z}, \ mathbb {Z})}$ . Również przez asocjatywność produktu Yoneda: dla dowolnych modułów R A i B , ${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (A, B)}$ jest moduł nad ${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (A, A)}$ .

Ważne przypadki szczególne

H. $\ Displaystyle H ^ {*} (G, M) = \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {$ = , gdzie G jest grupą, M jest reprezentacją G na liczbach całkowitych i ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [ G]}$ to pierścień grupy G .

Dla algebry A na polu k i A - bimodułu M , kohomologia Hochschilda jest zdefiniowana przez

{\ Displaystyle HH ^ {*} (A, M) = \ nazwa operatora {Ext} _ {A \ czasami _ {k} A ^ {\ tekst {op}}} ^ {*} (A, M).}

Kłamstwo kohomologia $_ U {\ mathfrak {g}}} ^ {*} (k, M)}$ przez $,$ gdzie jest algebrą Liego przemiennym pierścieniu k , M jest ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ $-$ moduł jest uniwersalną algebrą obwiedni

Dla przestrzeni topologicznej X ${\ Displaystyle H ^ {*} (X, A) = \ operatorname {Ext} ^ {*} (\ mathbb {Z} _ {X}, A).} Tutaj Ext jest brane w abelowej$ snopów można zdefiniować jako A kategorii snopów abelowych $.$ na X , a $jest$ snopem funkcji o wartościach stałych

Dla przemiennego lokalnego pierścienia Noetherowskiego R z polem reszt k , ${\ Displaystyle \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (k, k)}$ jest uniwersalną algebrą obejmującą a stopniowana algebra Liego π*( R ) nad k , znana jako homotopia algebry Liego R . (Mówiąc precyzyjnie, gdy k ma charakterystykę 2, π * ( R ) należy postrzegać jako „dostosowaną algebrę Liego”.) Istnieje naturalny homomorfizm stopniowanych algebr Liego z kohomologii André – Quillena D * ( k / R , k ) do π*( R ), co jest izomorfizmem, jeśli k ma charakterystyczne zero.

Zobacz też

Notatki

Avramov, Luchezar (2010), „Nieskończone wolne rozdzielczości”, Sześć wykładów z algebry przemiennej , Birkäuser , s. 1–108, doi : 10.1007 / 978-3-0346-0329-4_1 , ISBN 978-3-7643-5951- 5 , MR 2641236
Baer, Reinhold (1934), „Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen”, Mathematische Zeitschrift , 38 (1): 375–416, doi : 10.1007/BF01170643 , Zbl 0009.01101
Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], algebra homologiczna , Princeton: Princeton University Press , ISBN 0-691-04991-2 , MR 0077480
Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1942), „Rozszerzenia grup i homologia”, Annals of Mathematics , 43 (4): 757–931, doi : 10.2307/1968966 , JSTOR 1968966 , MR 0007108
Gelfand, Siergiej I.; Manin, Jurij Iwanowicz (2003), Metody algebry homologicznej , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12492-5 , ISBN 978-3-540-43583-9 , MR 1950475
Sjödin, Gunnar (1980), „Algebry Hopfa i pochodne”, Journal of Algebra , 64 : 218–229, doi : 10.1016/0021-8693 (80) 90143-X , MR 0575792
Weibel, Charles A. (1994). Wprowadzenie do algebry homologicznej . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Tom. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4 . MR 1269324 . OCLC 36131259 .
Weibel, Charles A. (1999), „Historia algebry homologicznej” (PDF) , Historia topologii , Amsterdam: North-Holland, s. 797–836, ISBN 9780444823755 , MR 1721123