homologia Hochschilda

W matematyce homologia Hochschilda (i kohomologia) jest teorią homologii dla algebr asocjacyjnych na pierścieniach . Istnieje również teoria homologii Hochschilda pewnych funktorów . Kohomologia Hochschilda została wprowadzona przez Gerharda Hochschilda ( 1945 ) dla algebr na ciele i rozszerzona na algebry na bardziej ogólnych pierścieniach przez Henri Cartana i Samuela Eilenberga ( 1956 ).

Definicja Hochschildowskiej homologii algebr

Niech k będzie ciałem, A k - algebrą asocjacyjną , a M an A - bimodułem . Obejmująca algebra A jest iloczynem tensorowym $}}$ z algebrą przeciwną ZA e } = A \ otimes A ^ { o Bimoduły nad A są zasadniczo takie same jak moduły nad otaczającą algebrą A , więc w szczególności A i M można uważać za A. ^e -moduły Cartan i Eilenberg (1956) zdefiniowali grupę homologii i kohomologii Hochschilda A ze współczynnikami w M w kategoriach funktora Tor i funktora Ext przez

${\ Displaystyle HH_ {n} (A, M) = \ operatorname {Tor} _ {n} ^ {A ^ {e}} ( ZA, M)}$

${\ Displaystyle HH ^ {n} (A, M) = \ operatorname {Ext} _ {A ^ {e} }^{n}(A,M)}$

zespół Hochschilda

Niech k będzie pierścieniem, A k - algebrą asocjacyjną będącą k -modułem rzutowym , a M an A - bimodułem . Napiszemy dla $n$ -krotnego tensorowego A . _ _ _ _ Kompleks łańcuchowy , który powoduje homologię Hochschilda, jest podany przez

${\ Displaystyle C_ {n} (A, M): = M \ czasami A ^ {\ czasami n}}$

z operatorem granicznym zdefiniowanym przez . $\ displaystyle d_ {i}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} d_ {0} (m \ otimes a_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n}) & = ma_ {1} \ otimes a_ {2} \ cdots \ otimes a_ { n}\\d_{i}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})&=m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+ 1}\otimes \cdots \otimes a_{n}\\d_{n}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})&=a_{n}m\otimes a_{1} \otimes \cdots \otimes a_{n-1}\end{aligned}}}$

gdzie ${$ w dla $}$$m$ ∈ in . Jeśli pozwolimy

${\ Displaystyle b = \ suma _ {i = 0} ^ {n} (-1) ^ {i} d_ {i},}$

b ${\ Displaystyle b \ circ b = 0}$ , więc $\ Displaystyle (C_ {n} (A, M), b)}$ kompleks łańcuchowy zwany kompleks Hochschilda , a jego homologią jest homologia Hochschilda A ze współczynnikami w M .

Uwaga

Mapy $,$ mapy twarzy które $(C_ {n} (A, M), b)$ rodzinę modułów Displaystyle } obiekt w kategorii k -modułów , czyli funktor Δ ^o → k -mod, gdzie Δ to kategoria simplex , a k -mod to kategoria k -moduły. Tutaj Δ ^o jest przeciwną kategorią Δ. Mapy degeneracji są definiowane przez

${\ Displaystyle s_ {i} (a_ {0} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {n}) = a_ {0} \ otimes \ cdots \ otimes a_ {i} \ otimes 1 \ otimes a_ {i + 1} \ czasami \cdots \czasami a_{n}.}$

Homologia Hochschilda jest homologią tego prostego modułu.

Związek z kompleksem Bar

Istnieje podobnie wyglądający kompleks $kompleksem$ Bar , który kompleksu Hochschilda ^4-5 . $W$ kompleks kompleksu

$${\ Displaystyle HH (A / k) \ cong A \ czasami _ {A \ czasami A ^ {op}} B (A / k)}$$

dając wyraźny izomorfizm.

Jako pochodne samoprzecięcie

interpretacja kompleksu Hochschilda w przypadku pierścieni przemiennych i bardziej ogólnie dla snopów pierścieni przemiennych: jest on skonstruowany z wyprowadzonego samoprzecięcia schematu ( lub nawet schematu pochodnego) na ${\ displaystyle X}$ jakiś schemat podstawowy . ${\ displaystyle S}$ . Na przykład możemy utworzyć pochodny produkt włóknisty

$${\ Displaystyle X \ razy _ {S} ^ {\ mathbf {L}} X}$$

który ma snop pierścieni pochodnych ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {S}} ^ {\ mathbf { L} }{\mathcal {O}}_{X}}$ . Następnie, jeśli osadzić $ukośną$ mapą

$${\ Displaystyle \ Delta: X \ do X \ razy _ {S} ^ {\ mathbf {L}} X}$$

kompleks Hochschilda jest konstruowany jako wycofanie pochodnego przecięcia własnego przekątnej w schemacie iloczynu przekątnej

$${\ Displaystyle HH (X / S): = \ Delta ^ {*} ({\ mathcal {O }}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}^{\mathbf {L}}}{\mathcal {O }}_{X}}^{\mathbf {L}}}{\mathcal {O}}_{X})}$$

$, że$ homologia Hochschilda powinna mieć pewien związek z różniczkami Kählera, różniczki można zdefiniować za pomocą samoprzecięcia z przekątnej , lub bardziej ogólnie, $, ponieważ$ cotangensa zamiennik różniczek Kählera Możemy odzyskać pierwotną definicję kompleksu Hochschilda przemienności ${\ displaystyle k}$ -algebra ${\ displaystyle A}$ przez ustawienie

$${\ Displaystyle S = {\ tekst {Spec}} (k)}$$

I

$${\ Displaystyle X = {\ tekst {Spec}} (A)}$$

Wtedy kompleks Hochschilda jest quasi-izomorficzny z

$$czasami _ {A \ otimes _ {k} ^ { \mathbf {L} }A}^{\mathbf {L}}A}$$

Jeśli jest płaską $}$ , to istnieje łańcuch izomorfizmów ZA $\ displaystyle A$

$${\ Displaystyle A \ otimes _ {k} ^ {\ mathbf {L}} A \ cong A \ otimes _ {k} A \ cong A \ czasami _{k}A^{op}}$$

dając alternatywną, ale równoważną prezentację kompleksu Hochschilda.

Hochschildowska homologia funktorów

Okrąg uproszczony $Displaystyle$${\ Displaystyle \ Delta ^ {o} \ do \ nazwa operatora {Fin} _ {*}.}$ uproszczonym w kategorii $\ operatorname {Fin} _ {*}}$ skończonych zestawów spiczastych, tj. funktora Tak więc, jeśli F jest funktorem ${\ Displaystyle F \ okrężnica \ nazwa operatora {Fin} \ do k-\mathrm {mod}}$ , otrzymujemy uproszczony moduł, komponując F z ${\ displaystyle S ^ {1}}$ .

${\ Displaystyle \ Delta ^ {o} {\ overset {S ^ {1}} {\ longrightarrow}} \ operatorname {Fin} _ {*} {\ overset {F} {\ longrightarrow}} k {\ tekst {- mod}}.}$

Homologią tego uproszczonego modułu jest homologia Hochschilda funktora F . Powyższa definicja homologii Hochschilda algebr przemiennych jest szczególnym przypadkiem, w którym F jest funktorem Lodaya .

Funktor Loday'a

Obiekty dają szkielet dla kategorii skończonych zbiorów punktowych

${\ Displaystyle n_ {+} = \ {0,1, \ ldots, n \},}$

gdzie 0 to punkt bazowy, a morfizmy to punkt bazowy zachowujący zestawy map. Niech A będzie przemienną k-algebrą, a M będzie symetrycznym A -bimodułem . Funktor Loday $podany$ na obiektach w $}}$

${\ Displaystyle n_ {+} \ mapsto M \ otimes A ^ {\ otimes n}.}$

Morfizm

${\ Displaystyle f: m_ {+} \ do n_ {+}}$

jest wysyłany do morfizmu podanego przez ${\ displaystyle f_ {*}}$

${\ Displaystyle f_ {*} (a_ {0} \ czasami \ cdots \ czasami a_ {m}) = b_ {0} \ czasami \ cdots \ czasami b_{n}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ forall j \ in \ {0, \ ldots, n \}: \ qquad b_ {j} = {\ rozpocząć {przypadki} \ prod _ {i \ in f ^ {-1} (j)} a_ {i}&f^{-1}(j)\neq \pusty zbiór \\1&f^{-1}(j)=\pusty zbiór \end{przypadki}}}$

Inny opis Hochschildowskiej homologii algebr

Homologia Hochschilda algebry przemiennej A ze współczynnikami w symetrycznym A -bimodule M jest homologią związaną ze złożeniem

${\ Displaystyle \ Delta ^ {o} {\ overset {S ^ {1}} {\ longrightarrow}} \ operatorname {Fin} _ {* }{\overset {{\mathcal {L}}(A,M)}{\longrightarrow}}k{\text{-mod}},}$

i ta definicja zgadza się z powyższą.

Przykłady

$pierścienia$ kilka odrębnych przypadków z dość ogólnymi twierdzeniami opisującymi strukturę asocjacyjnego algebra ${\ Displaystyle A}$ . W przypadku algebr przemiennych istnieje szereg twierdzeń opisujących obliczenia na charakterystyce 0, które dają proste zrozumienie tego, co oblicza homologia i kohomologia.

Charakterystyka przemienna Przypadek 0

W przypadku algebr przemiennych , gdzie homologia Hochschilda ma dwa główne twierdzenia dotyczące algebr gładkich i bardziej ogólne niepłaskie, $ZA /$$}$ algebry ${\ displaystyle A}$ ; ale drugie jest bezpośrednim uogólnieniem pierwszego. W gładkim przypadku, tj. dla algebry gładkiej $\ displaystyle A}$ twierdzenie Hochschilda-Kostanta-Rosenberga ^{pg 43-44} stwierdza, że ​​istnieje izomorfizm ZA {

$${\ Displaystyle \ Omega _ {A / k} ^ {n} \ cong HH_ {n} (A / k)}$$

dla każdego ${\ Displaystyle n \ geq 0}$ . Ten izomorfizm można wyraźnie opisać za pomocą mapy antysymetryzacji. Oznacza to, że $różnicowa$ ma mapę

$${\ Displaystyle a \, db_ {1} \ klin \ cdots \ klin db_ {n} \ mapsto \ suma _ {\ sigma \ w S_ {n}} \ operatorname {znak} (\ sigma) a \ czasami b_ {\ sigma (1)}\otimes \cdots \otimes b_{\sigma (n)}.}$$

Jeśli algebra nie jest gładka ani nawet $płaska$ , to istnieje analogiczne zespół . $Displaystyle \ mathbb {L} _$$P$ rozwiązania ustawiamy . Wtedy istnieje malejąca filtracja ${\ Displaystyle$$_ {\ punktor}}$ na ${\ Displaystyle HH_ {n} (A/k) }$ , którego stopniowane kawałki są izomorficzne

$${\ Displaystyle {\ Frac {F_ {i}} {F_ {i + 1}}} \ cong \ mathbb {L} _ {A / k} ^ {i} [+ i].}$$

Zauważ, że to twierdzenie umożliwia obliczenie homologii Hochschilda nie tylko dla algebr gładkich, ale także dla lokalnych algebr przecięć zupełnych. W tym przypadku, biorąc ${n}]}$ prezentację dla $]$$[x_ {1}, \ kropka$ , cotangens to kompleks dwuczłonowy ${\ Displaystyle I / I ^ {2} \ do \ Omega _ {R / k} ^ {1} \ otimes _ {k} A}$ .

Pierścienie wielomianowe nad liczbami wymiernymi

$jest obliczenie homologii$$z$ wielomianowego pierścienia -generatorami . Twierdzenie HKR daje izomorfizm

$${\ Displaystyle HH_ {*} (\ mathbb { Q} [x_{1},\ldots ,x_{n}])=\mathbb {Q} [x_{1},\ldots ,x_{n}]\otimes \Lambda (dx_{1},\dotsc , dx_{n})}$$

$_$ algebra swobodną $n$$Q$ w generatorach $\ displaystyle n}$ . Jego strukturę iloczynową określa iloczyn klinowy wektorów, tj

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} dx_ {i} \ cdot dx_ {j} i = -dx_ {j} \cdot dx_{i}\\dx_{i}\cdot dx_{i}&=0\end{wyrównane}}}$$

dla ${\ Displaystyle i \ neq j}$ .

Charakterystyka przemienna przypadek p

W charakterystycznym przypadku p istnieje użyteczny kontrprzykład dla twierdzenia Hochschilda-Kostanta-Rosenberga, który wyjaśnia potrzebę teorii poza algebrami uproszczonymi do definiowania homologii Hochschilda. Rozważmy ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ -algebra $\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$ . Możemy $obliczyć$ rozdzielczość jako swobodne algebry

$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ xrightarrow {\ cdot p} \ mathbb {Z}}$$

fa ${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^ {\ mathbf {$ 1 ${ deg}}(\varepsilon )=1}$ , a różnica jest mapą zerową. To dlatego, że po prostu tensorujemy powyższy kompleks przez ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$ , dając formalny kompleks z generatorem w stopniu ${\ displaystyle 1}$ , który jest kwadratem do ${\ displaystyle 0}$ . Wtedy kompleks Hochschilda jest dany przez

$$\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^ { \mathbb {L} }\mathbb {F} _{p}}^{\mathbb {L}}\mathbb {F} _{p}}$$

Aby to obliczyć, musimy rozwiązać ${\ mathbb {Z} }^{\mathbf {L}}\mathbb {F} _{p}}$ { $} _ {p}$ -algebra. Zauważ, że struktura algebry

${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} [\ varepsilon ] / (\ varepsilon ^ {2}) \ do \ mathbb {F} _ {p}}$

siły ${\ Displaystyle \ varepsilon \ mapsto 0}$ . Daje to stopień zero składnika kompleksu. ${\ Displaystyle \ varepsilon \ cdot \ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^ {\ mathbf {$ fa ${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^ { \mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}$ , możemy wziąć kopię fa przesunięty o stopień $fa$${\ Displaystyle \ varepsilon \ cdot \ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^$ ⊗ , z jądrem w stopniu ${\ Displaystyle 3}$${\ Displaystyle \ varepsilon \ cdot \ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^ {\ mathbf {L}} \ mathbb {F} _ {p} = {\ text {Ker} } ({\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^ {\ mathbf {L}} \ mathbb {F} _ {p}} \ do {\ Displaystyle \ varepsilon \ cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}).} Możemy wykonać to rekurencyjnie, aby uzyskać$ podstawę moduł podzielonej algebry potęg

$${\ Displaystyle (\ mathbb {F} _ {p} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} ^ {\ mathbf {L}} \ mathbb {F} _ {p}) \ langle x \ rangle = {\ frac {(\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z}}^{\mathbf {L}}\mathbb {F} _{p})[x_{1},x_{2}, \ldots ]}{x_{i}x_{j}={\binom {i+j}{i}}x_{i+j}}}}$$

gdzie ${\ Displaystyle dx_ {i} = \ varepsilon \ cdot x_ {i-1}}$ i stopień wynosi x $\ Displaystyle x_ {i}}$${\ Displaystyle 2i}$ , a mianowicie ${\ Displaystyle | x_ {i} | = 2i}$ . Tensorowanie tej algebry za pomocą ${\ displaystyle \ mathbb {f} _ {p}}$ przez $\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p} \ czasami _ {\ mathbb {Z}} ^ {\ mathbf {L}} \ mathbb {F} _ {p}}$ daje

$${\ Displaystyle HH_ {*} (\ mathbb {F} _ {p}) = \ mathbb {F} _ {p} \ langle x \ rangle}$$

ponieważ $przez$$wynosi$ element w zero Struktura algebry wywodzi się z ogólnej teorii algebr potęg podzielonych i algebr różniczkowych stopniowanych. Zauważ $się$ postrzegane jako artefakt techniczny, ponieważ pierścień dobrze Na przykład ${\ displaystyle x ^ {p} = 0}$ . Jedną techniczną odpowiedzią na ten $problem$$jest$ topologiczna homologia Hochschilda, w której pierścień podstawowy widmem sferycznym .

Topologiczna homologia Hochschilda

Główny artykuł: Topologiczna homologia Hochschilda

Powyższą konstrukcję kompleksu Hochschilda można dostosować do bardziej ogólnych sytuacji, a mianowicie zastępując kategorię (zespołów) $}$ kategorią ∞ (wyposażoną w iloczyn tensorowy) $\mathcal {C}}}$${\ displaystyle {$ i przez algebrę asocjacyjną w tej $kategorii$$A$$\$ kategorii i ZA { } będąc widmem Eilenberga-MacLane'a związanym ze zwykłym pierścieniem, ${\ Displaystyle THH (R)}$ topologiczną homologię Hochschilda $R$ oznaczoną . $Wprowadzona$ ( sposób, biorąc za pochodną kategorię ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ -moduły (jako kategoria ∞).

Zastąpienie iloczynów tensorowych w widmie sferycznym iloczynami tensorowymi w (lub spektrum $H.$ – MacLane'a $\ Displaystyle H \ mathbb {Z}}$ ) prowadzi do naturalnej mapy porównawczej ${\ Displaystyle THH (R) \ do HH (R)}$ . Wywołuje izomorfizm na grupach homotopii w stopniach 0, 1 i 2. Na ogół jednak są one różne i ${\ displaystyle THH}$ ma tendencję do tworzenia prostszych grup niż HH. Na przykład,

${\ Displaystyle THH (\ mathbb {F} _ {p}) = \ mathbb {F} _ {p} [x]}$

${\ Displaystyle HH (\ mathbb {F} _ {p}) = \ mathbb {F} _ {p} \ langle x \ rangle}$

jest pierścieniem wielomianowym (z x w stopniu 2) w porównaniu z pierścieniem podzielonych potęg w jednej zmiennej.

Lars Hesselholt ( 2016 ) wykazał $,$ że funkcję zeta Hasse-Weila rozmaitości właściwej nad można wyrazić za pomocą wyznaczników obejmujących topologiczną homologię Hochschilda.

Zobacz też

• Cykliczna homologia

•    Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1956), algebra homologiczna , Princeton Mathematical Series, tom. 19, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04991-5 , MR 0077480
• Govorov, VE; Mikhalev, AV (2001) [1994], „Kohomologia algebr” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
•    Hesselholt, Lars (2016), Topologiczna homologia Hochschilda i funkcja zeta Hasse-Weila , Współczesna matematyka, tom. 708, s. 157–180, arXiv : 1602.01980 , doi : 10.1090/conm/708/14264 , ISBN 9781470429119 , S2CID 119145574
•     Hochschild, Gerhard (1945), „O grupach kohomologicznych algebry asocjacyjnej”, Annals of Mathematics , druga seria, 46 (1): 58–67, doi : 10.2307/1969145 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969145 , MR 0011076
•   Jean-Louis Loday , Homologia cykliczna , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Cz. 301, Springera (1998) ISBN 3-540-63074-0
• Richard S. Pierce, Algebry asocjacyjne , Graduate Texts in Mathematics (88), Springer, 1982.
• Piraszwili, Teimuraz (2000). „Rozkład Hodge'a dla homologii Hochschilda wyższego rzędu” . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 33 (2): 151–179. doi : 10.1016/S0012-9593(00)00107-5 .

Linki zewnętrzne

Artykuły wprowadzające

• Dylan GL Allegretti, Formy różniczkowe w przestrzeniach nieprzemiennych . Elementarne wprowadzenie do geometrii nieprzemiennej , która wykorzystuje homologię Hochschilda do uogólniania form różniczkowych).
• Ginzburg, Victor (2005). „Wykłady z nieprzemiennej geometrii”. arXiv : matematyka/0506603 .
• Topologiczna homologia Hochschilda w geometrii arytmetycznej
• Kohomologia Hochschilda w laboratorium n

Przypadek przemienny

• Antieau, Benjamin; Bhatt, Bhargaw; Mateusz, Achil (2019). „Kontrprzykłady dla Hochschilda – Kostanta – Rosenberga w charakterystycznym p ”. arXiv : 1909.11437 [ matematyka.AG ].

Przypadek nieprzemienny

• Richard, Lionel (2004). „Homologia i kohomologia Hochschilda niektórych klasycznych i kwantowych nieprzemiennych algebr wielomianowych” . Dziennik algebry czystej i stosowanej . 187 (1–3): 255–294. doi : 10.1016/S0022-4049(03)00146-4 .
• Quddus, Safdar (2020). „Nieprzemienne struktury Poissona na orbifoldach torusa kwantowego”. arXiv : 2006.00495 [ matematyka.KT ].
• Jaszyński, Allan (2012). „Połączenie Gaussa-Manina i torus nieprzemienny”. arXiv : 1210,4531 [ matematyka.KT ].