Dwumodułowy

W algebrze abstrakcyjnej bimoduł to grupa abelowa , która jest zarówno lewym, jak i prawym modułem , tak że lewe i prawe mnożenie jest zgodne . Oprócz tego, że występują naturalnie w wielu częściach matematyki, bimoduły odgrywają rolę wyjaśniającą w tym sensie, że wiele relacji między lewym i prawym modułem staje się prostszych, gdy są one wyrażone w kategoriach bimodułów.

Definicja

Jeśli R i S to dwa pierścienie , to bimoduł R - S - jest grupą abelową taką, że: ${\ Displaystyle (M, +)}$

M jest lewym modułem R i prawym modułem S.
Dla wszystkich r w R , s w S i m w M : ${\ Displaystyle (rm). s = r. (ms).}$

R - R -bimoduł jest również znany jako R -bimoduł .

Przykłady

Dla dodatnich liczb całkowitych n i m , zbiór M _{n , m} ( R ) macierzy n × m liczb rzeczywistych jest bimodułem R - S , gdzie R jest pierścieniem M _n ( R ) macierzy n × n , a S jest pierścieniem M _m ( R ) macierzy m × m . Dodawanie i mnożenie odbywa się zgodnie ze zwykłymi zasadami dodawania i mnożenia macierzy ; wysokości i szerokości macierzy zostały tak dobrane, aby zdefiniowano mnożenie. Zauważ, że M _{n , m} ( R ) samo w sobie nie jest pierścieniem (chyba że n = m ), ponieważ mnożenie macierzy n × m przez inną macierz n × m nie jest zdefiniowane. Kluczowa właściwość bimodułu, czyli ( r . x ). s = r .( x . s ) , jest stwierdzeniem, że mnożenie macierzy komutuje (co w przypadku pierścienia macierzy odpowiada asocjatywności ).
Każda algebra A na pierścieniu R ma naturalną strukturę bimodułu R , z mnożeniem w lewo i w prawo określonym przez ${\ textstyle ra = \ phi (r) a}$ i $(r)}$ $phi$ odpowiednio, osadzeniem R w A .
Jeśli R jest pierścieniem, to samo R można uznać za bimoduł R - R , biorąc lewe i prawe działania za mnożenie - działania dojeżdżają do pracy przez asocjatywność. Można to rozszerzyć na Rn ⁽ n - krotny iloczyn bezpośredni R ) .
ideał dwustronny pierścienia R jest R - R -bimodułem, przy czym mnożenie pierścienia jest zarówno lewym, jak i prawym mnożeniem.
Każdy moduł nad przemiennym pierścieniem R ma naturalną strukturę bimodułu. Na przykład, jeśli M jest lewym modułem, możemy zdefiniować mnożenie po prawej stronie tak, aby było takie samo jak mnożenie po lewej stronie. (Jednak nie wszystkie R -bimoduły powstają w ten sposób: mogą istnieć inne zgodne prawe mnożenia.)
Jeśli M jest lewym modułem R , to M jest bimodułem R - Z , gdzie Z jest pierścieniem liczb całkowitych . Podobnie, prawe R -moduły mogą być interpretowane jako Z - R -bimoduły. Dowolna grupa abelowa może być traktowana jako bimoduł Z - Z.
Jeśli M jest prawym modułem R , to zbiór Endomorfizmów R -modułu Koniec _R ( M ) jest pierścieniem z mnożeniem określonym przez skład. Pierścień endomorfizmu Koniec R ₍ M ) działa na M przez lewe mnożenie określone przez ${\ Displaystyle fx = f (x)}$ . Właściwość bimodułu, czyli ${\ Displaystyle (fx). r = f. (xr)}$ , ponownie stwierdza, że f jest homomorfizmem modułu R od M do siebie. Dlatego każdy prawy R -moduł M jest końcowym _R ( M )-R - bimodułem. Podobnie każdy lewy R -moduł N jest ^{op -bimodułem} R -End _R ( N ) .
Jeśli R jest podpierścieniem S , to S jest R - R - bimodułem. Jest to również bimoduł R - S - i S - R.
Jeśli M jest bimodułem S - R $,$ a N jest R - T to jest S T. _

Dalsze pojęcia i fakty

Jeśli M i N są R - S -bimodułami, to odwzorowanie f : M → N jest homomorfizmem dwumodułowym , jeśli jest zarówno homomorfizmem lewych R -modułów, jak i prawych S -modułów.

Bimoduł R - S jest w rzeczywistości tym samym, co lewy moduł nad pierścieniem ${\ Displaystyle R \ otimes _ {\ mathbb {Z}} S ^ {\ text {op}}}$ , gdzie $\ displaystyle S ^ {\ tekst {op}}}$ { jest przeciwległym pierścieniem S (z odwróconym mnożeniem). $Homomorfizmy dwumodułowe są$ , co modułów Korzystając z tych faktów, wiele definicji i stwierdzeń dotyczących modułów można natychmiast przetłumaczyć na definicje i twierdzenia dotyczące bimodułów. Na przykład kategoria wszystkich bimodułów R - S jest abelowa , a standardowe twierdzenia o izomorfizmie są ważne dla bimodułów.

Istnieją jednak pewne nowe efekty w świecie bimodułów, zwłaszcza jeśli chodzi o iloczyn tensorowy : jeśli M jest bimodułem R - S , a N jest bimodułem S - T , to iloczyn tensorowy M i N (wzięty nad pierścieniem S ) jest bimodułem R - T w naturalny sposób. Ten iloczyn tensorowy bimodułów jest asocjacyjny ( aż do unikalnego izomorfizmu kanonicznego), a zatem można skonstruować kategorię, której obiektami są pierścienie, a morfizmami są bimoduły. W rzeczywistości jest to 2-kategoria , w sposób kanoniczny — 2 morfizmy między R - S -bimodułami M i N są dokładnie homomorfizmami dwumodułowymi, tj. funkcjami

{\ Displaystyle f: M \ rightarrow N}

dogadzający

${\ Displaystyle f (m + m') = f (m) + f (m')}$
${\ Displaystyle f (rms) = rf (m). s}$ ,

dla m ∈ M , r ∈ R , i s ∈ S . Natychmiast weryfikuje się prawo wymiany dla homomorfizmów dwumodułowych, tj

{\ Displaystyle (f '\ otimes g') \ circ (f \ otimes g) = (f' \circ f)\otimes (g'\circ g)}

zachodzi zawsze, gdy zdefiniowana jest jedna (a więc druga) strona równania, a gdzie ∘ jest zwykłym złożeniem homomorfizmów. W tej interpretacji kategoria Koniec ( R ) = Bimod ( R , R ) jest dokładnie kategorią monooidalną bimodułów R - R ze zwykłym iloczynem tensorowym nad R iloczynem tensorowym kategorii. W szczególności, jeśli R jest pierścieniem przemiennym , każdy lewy lub prawy moduł R jest kanonicznie R - R - bimodułem, co daje monooidalne osadzenie kategorii R - Mod w Bimod ( R , R ) . Przypadek, w którym R jest polem K , jest motywującym przykładem symetrycznej kategorii monoidalnej, w którym to przypadku R - Mod = K - Vect , kategoria przestrzeni wektorowych nad K , ze zwykłym iloczynem tensorowym ${\ displaystyle \ \ otimes =\otimes _{K}}$ dając strukturę monoidalną iz jednostką K . Widzimy również, że monoid w Bimod ( R , R ) jest dokładnie R -algebrą. Patrz (Ulica 2003). Ponadto, jeśli M jest bimodułem R - S , a L jest bimodułem T - S , to zbiór Hom _S ( M , L ) wszystkich homomorfizmów S -modułów od M do L staje się T - R -modułem w a naturalna moda. Instrukcje te rozciągają się na pochodne funktory Ext i Tor .

Profunktory można postrzegać jako kategoryczne uogólnienie bimodułów.

Zauważ, że bimoduły nie są w ogóle spokrewnione z bialgebrami .

Zobacz też

profesor

Jacobson, N. (1989). Podstawy algebry II . WH Freeman and Company. s. 133–136. ISBN 0-7167-1933-9 .