Iloczyn tensorowy modułów

W matematyce iloczyn tensorowy modułów jest konstrukcją, która pozwala argumentować o mapach dwuliniowych (np. mnożenie) w terminach map liniowych . Konstrukcja modułu jest analogiczna do konstrukcji iloczynu tensorowego przestrzeni wektorowych , ale może być przeprowadzona dla pary modułów na pierścieniu przemiennym , w wyniku czego powstaje trzeci moduł, a także dla pary modułu prawego i lewego- moduł nad dowolnym pierścieniem , z wynikiem an grupa abelowa . Produkty tensorowe są ważne w obszarach algebry abstrakcyjnej , algebry homologicznej , topologii algebraicznej , geometrii algebraicznej , algebr operatorów i geometrii nieprzemiennej . Uniwersalna właściwość iloczynu tensorowego przestrzeni wektorowych rozciąga się na bardziej ogólne sytuacje w algebrze abstrakcyjnej. Iloczyn tensorowy algebry i modułu może być użyty do rozszerzenia skalarów . W przypadku pierścienia przemiennego iloczyn tensorowy modułów można iterować w celu utworzenia algebry tensorowej modułu, pozwalającej na uniwersalne zdefiniowanie mnożenia w module.

Produkt zrównoważony

Główny artykuł: parowanie

Dla pierścienia R , prawego R -modułu M , lewego R -modułu N i grupy abelowej G , mówi się, że mapa φ : M × N → G jest R -zrównoważona , R -średnioliniowa lub R -produkt zrównoważony , jeśli dla wszystkich m , m ′ w M , n , n ′ w N , i r w R następujące trzymanie:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ varphi (m, n + n') & = \ varphi (m, n) + \ varphi ( m,n')&&{\text{Dl}}_{\varphi }\\\varphi (m+m',n)&=\varphi (m,n)+\varphi (m',n)&&{ \text{Dr}}_{\varphi }\\\varphi (m\cdot r,n)&=\varphi (m,r\cdot n)&&{\text{A}}_{\varphi }\\ \end{wyrównane}}}$$

Zbiór wszystkich takich zrównoważonych iloczynów po R od M × N do G jest oznaczony _przez LR ( M , N ; G ) .

Jeżeli φ , ψ są iloczynami zrównoważonymi, to każda z operacji φ + ψ i − φ określonych punktowo jest iloczynem zrównoważonym. To zmienia zbiór LR ( M , N ; G ₎ w grupę abelową.

Dla ustalonych M i N mapa G ↦ L _R ( M , N ; G ) jest funktorem z kategorii grup abelowych do samej siebie. Część morfizmu jest dana przez homomorfizmu grupowego g : G → G ′ na funkcję φ ↦ g ∘ φ , która wychodzi z _odwzorowanie LR ( M , N ; sol. ) do LR. _R. ( M. , N ; G. ′) .

Uwagi

1. Własności (Dl) i ( Dr ) wyrażają biaddytywność φ , którą można uznać za rozdzielność φ po addycji.
2. Własność (A) przypomina pewną właściwość asocjacyjną φ .
3. Każdy pierścień R jest R - bimodułem . Zatem mnożenie pierścienia ( r , r ′) ↦ r ⋅ r ′ w R jest iloczynem R -zrównoważonym R × R → R .

Definicja

Dla pierścienia R , prawy moduł R M , lewy moduł R N , iloczyn tensorowy nad R

$${\ Displaystyle M \ czasami _ {R} N}$$

jest grupą abelową wraz z iloczynem zrównoważonym (jak zdefiniowano powyżej)

$${\ Displaystyle \ otimes: M \ razy N \ do M \ otimes _ {R} N}$$

który jest uniwersalny w następującym sensie:

Dla każdej grupy abelowej G i każdego produktu zbilansowanego

$${\ Displaystyle f: M \ razy N \ do G}$$

istnieje unikalny homomorfizm grupowy

$${\ Displaystyle {\ tylda {f}}: M \ otimes _ {R} N \ do G}$$

takie że

$${\ Displaystyle {\ tylda {f}} \ circ \ otimes = f.}$$

Podobnie jak w przypadku wszystkich właściwości uniwersalnych , powyższa właściwość definiuje iloczyn tensorowy jednoznacznie aż do unikalnego izomorfizmu: każda inna grupa abelowa i zrównoważony produkt o tych samych właściwościach będzie izomorficzny z M ⊗ _R N i ⊗. Rzeczywiście, odwzorowanie ⊗ nazywa się kanonicznym , a dokładniej: odwzorowaniem kanonicznym (lub iloczynem zrównoważonym) iloczynu tensorowego.

Definicja nie dowodzi istnienia M ⊗ _R N ; patrz poniżej dla konstrukcji.

Iloczyn tensorowy można również zdefiniować jako obiekt reprezentujący funktor G → _LR ( M , N ; G ) ; wyraźnie oznacza to, że istnieje naturalny izomorfizm :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ operatorname {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {L} _{R}(M,N;G)\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}}$$

Jest to zwięzły sposób określenia uniwersalnej właściwości mapowania podanej powyżej. (Jeśli a priori otrzyma się ten naturalny izomorfizm, to $go$ odzyskać, biorąc ${\ Displaystyle G = M \ otimes _ {R} N},$ następnie mapując mapę tożsamości .)

Podobnie, biorąc pod uwagę naturalną identyfikację ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {L} _ {R} (M, N; G )=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G))} , można też zdefiniować$ M ⊗ R _N za pomocą wzoru

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Hom} _ {\ mathbb {Z}} (M \ otimes _ {R} N, G) \ simeq \ nazwa operatora {Hom} _ {R} (M, \ nazwa operatora {Hom} _ {\ mathbb {Z} }(N,G)).}$$

Jest to znane jako dodatek tensor-hom ; zobacz także § Właściwości .

Dla każdego x w M , y w N , pisze się

x ⊗ y

dla obrazu ( x , y ) pod mapą kanoniczną ${\ Displaystyle \ otimes: M \ razy N \ do M \ otimes _ {R} N}$ . Jest często nazywany czystym tensorem . Ściśle mówiąc, poprawną notacją byłoby x ⊗ _R y , ale zwyczajowo opuszcza się tutaj R. Następnie, bezpośrednio z definicji, istnieją zależności:

x ⊗ ( y + y ′) = x ⊗ y + x ⊗ y ′	(DL ⊗ )
( x + x ′) ⊗ y = x ⊗ y + x ′ ⊗ y	(Dr ⊗ )
( x ⋅ r ) ⊗ y = x ⊗ ( r ⋅ y )	(A ⊗ )

Uniwersalna właściwość iloczynu tensorowego ma następującą ważną konsekwencję:

Twierdzenie - Każdy element można zapisać, niejednoznacznie, jako ${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} N}$

$${\ Displaystyle \ suma _ {i} x_ {i} \ czasami y_ {i}, \, x_ {i} \ w M, y_ {i} \ w N.}$$

Innymi słowy, obraz generuje ${\ displaystyle \ otimes} .$${\ displaystyle M \ otimes _ {R} N}$ . Ponadto, jeśli f jest funkcją zdefiniowaną na elementach z wartościami w grupie abelowej $G$ to f rozciąga się jednoznacznie na homomorfizm zdefiniowany na całości $_{R}N}$$\ displaystyle M \$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle f (x \ otimes y)}$ jest dwuliniowy w x i y ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}$ }

$otimes _ {R} N} styl wyświetlania Q=(M\otimes _{R}N)/L}$ dla pierwszego stwierdzenia niech L będzie podgrupą generowaną przez elementy danej formy, $)$ i q odwzorowanie ilorazu na Q . Mamy: ${\ Displaystyle 0 = q \ circ \ otimes}$ jak również ${\ Displaystyle 0 = 0 \ circ \ otimes}$ . Stąd, przez unikalność części właściwości uniwersalnej, q = 0. Drugie stwierdzenie jest takie, że aby zdefiniować homomorfizm modułu , wystarczy zdefiniować go na zbiorze generującym modułu. ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Zastosowanie uniwersalnej własności iloczynów tensorowych

Ustalenie, czy iloczyn tensorowy modułów wynosi zero

$zera,$ czasami trudniej jest pokazać, że iloczyn tensorowy R -modułów jest różny od , że wynosi 0. Właściwość uniwersalna wygodny sposób na sprawdzenie tego.

$}$$N$ tensorowy różny od zera, można skonstruować mapę R -bilinear $Displaystyle f: M \ razy N$$)$ do grupy abelowej takiej, że ${\ Displaystyle f (m, n) \ neq 0$ . To działa, ponieważ jeśli ${\ Displaystyle m \ otimes n = 0}$ , wtedy ${\ Displaystyle f (m, n) = {\ bar {f} }(m\oraz n)={\bar {(f)}}(0)=0}$ .

Na przykład, aby zobaczyć, że ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ otimes _ {Z} \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ , jest różny od zera, weź Z $Displaystyle$$\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ i $\mapsto mn}$${\ Displaystyle (m, n$ . To mówi, że czyste tensory $m \ otimes n \ neq 0}$$Displaystyle$ tak długo, jak jest różna od zera w $Z}}$ .

Dla równoważnych modułów

Twierdzenie mówi, że można pracować z jawnymi elementami iloczynów tensorowych zamiast odwoływać się bezpośrednio do właściwości uniwersalnej za każdym razem. Jest to bardzo wygodne w praktyce. Na przykład, jeśli R jest przemienne, a lewe i prawe działania R na modułach są uważane za równoważne, to można naturalnie wyposażyć je w mnożenie przez skalar R. ${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} N}$ poprzez rozszerzenie

$${\ Displaystyle r \ cdot (x \ czasami y): = (r \ cdot x) \ czasami y = x \ czasami (r\cdot y)}$$

$, a nie przemienność$ całości przez poprzednie twierdzenie (ściśle mówiąc, patrz akapit poniżej). Wyposażony w tę strukturę modułu R , spełnia uniwersalną właściwość podobną do powyższej: dla dowolnego modułu R G istnieje naturalny izomorfizm: ${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} N}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ operatorname {Hom} _ {R} (M \otimes _{R}N,G)\simeq \{R{\text{-mapy dwuliniowe}}M\times N\to G\},\\g\mapsto g\circ \otimes \end{przypadki}} }$$

Jeśli R niekoniecznie jest przemienne, ale jeśli M ma lewe działanie przez pierścień S (na przykład R ), to można nadać lewą strukturę modułu S. ${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} N}$ , jak wyżej, według wzoru

$${\ Displaystyle s \ cdot (x \ czasami y): = (s \ cdot x) \ czasami y.}$$

$Analogicznie$ jeśli N ma prawe pierścień S , to staje się prawym S -modułem

Iloczyn tensorowy przekształceń liniowych i zmiany pierścienia podstawowego

$M '$$Displaystyle$ mapy liniowe M ′ { \ jest unikalnym homomorfizmem grupowym

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} f \ otimes g: M \ otimes _ {R} N\to M'\otimes _{R}N'\\x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y)\end{przypadki}}}$$

Konsekwencją tej konstrukcji jest to, że tensorowanie jest funktorem: każdy prawy moduł R M określa funktor

$${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} -: R {\ tekst {-Mod}} \ longrightarrow {\ tekst {Ab}}}$$

z kategorii lewych modułów do kategorii grup abelowych, która wysyła N do M ⊗ N oraz homomorfizm modułu f do homomorfizmu grupowego 1 ⊗ f .

Jeśli jest homomorfizmem pierścienia i jeśli M jest prawym modułem S , a N lewym modułem S , to istnieje kanoniczny suriekcyjny homomorfizm: ${\ displaystyle f: R \ to S }$

$${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} N \ do M \ otimes _ {S} N}$$

wywołane przez

$${\ Displaystyle M \ razy N {\ overset {\ otimes _ {S}} {\ longrightarrow}} M \ otimes _ {S} N.}$$

Wynikowa mapa jest surjektywna, ponieważ czyste tensory x ⊗ y generują cały moduł. W szczególności, przyjmując, $, że$ R oznacza to każdy iloczyn tensorowy modułów jest ilorazem iloczynu tensorowego grup abelowych.

Zobacz także: Iloczyn tensorowy § Iloczyn tensorowy map liniowych

Kilka modułów

(Ta sekcja wymaga aktualizacji. Na razie zobacz § Właściwości , aby zapoznać się z bardziej ogólną dyskusją).

Możliwe jest rozszerzenie definicji na iloczyn tensorowy dowolnej liczby modułów w tym samym pierścieniu przemiennym. Na przykład uniwersalna właściwość

M ₁ ⊗ M ₂ ⊗ M ₃

jest to, że każda mapa trójliniowa na

M ₁ × M ₂ × M ₃ → Z

odpowiada unikalnej mapie liniowej

M ₁ ⊗ M ₂ ⊗ M ₃ → Z .

Binarny iloczyn tensorowy jest asocjacyjny: ( M ₁ ⊗ M ₂ ) ⊗ M ₃ jest naturalnie izomorficzny z M ₁ ⊗ ( M ₂ ⊗ M ₃ ). Iloczyn tensorowy trzech modułów zdefiniowany przez uniwersalną właściwość map trójliniowych jest izomorficzny z obydwoma iterowanymi iloczynami tensorowymi.

Nieruchomości

Moduły nad pierścieniami ogólnymi

Niech R1 , R2 , R3 , R będą pierścieniami _, niekoniecznie _{przemiennymi .}

• Dla bimodułu R ₁ - R ₂ - M ₁₂ i lewego modułu R ₂ M ₂₀ , ${\ Displaystyle M_ {12} \ otimes _ {R_ {2}} M_ {20}}$ jest lewy moduł R1 _.
• Dla prawego modułu R ₂ M ₀₂ i bimodułu R ₂ - R ₃ M ₂₃ , ${\ Displaystyle M_ {02} \ czasami _ {R_ {2}} M_ {23}$ } prawy moduł R3 _.
• (asocjatywność) Dla prawego modułu R ₁ M ₀₁ , bimodułu R ₁ - R ₂ M ₁₂ i lewego modułu R ₂ M ₂₀ mamy:
  $${\ Displaystyle \ lewo (M_ {01} \ otimes _ {R_ {1}} M_ {12} \ prawej) \ otimes _ {R_ {2}} M_ {20} = M_ {01} \ otimes _ {R_ { 1}}\lewo(M_{12}\czasami _{R_{2}}M_{20}\prawo).}$$
• Ponieważ R jest bimodułem R - R , mamy ${\ Displaystyle R \ otimes _ {R} R = R}$ z mnożeniem pierścieni ${\ displaystyle mn =: m\otimes _{R}n}$ jako jego iloczyn kanoniczny zrównoważony.

Moduły na pierścieniach przemiennych

Niech R będzie pierścieniem przemiennym, a M , N i P będą R -modułami. Następnie

• (tożsamość) ${\ Displaystyle R \ czasami _ {R} M = M.}$
• (skojarzenie) ${\ Displaystyle (M \ otimes _ {R} N) \ otimes _ {R} P = M \ otimes _ {R} (N \ otimes _ {R} P).} Zatem$ M $\ styl wyświetlania M\otimes _{R}N\otimes _{R}P}$ jest dobrze zdefiniowany.
• (symetria) ${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} N = N \ otimes _ {R} M.}$ W rzeczywistości dla dowolnej permutacji σ zbioru {1, ..., n } istnieje unikalny izomorfizm:
  $${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} M_ {1} \ otimes _ {R} \ cdots \ otimes _ {R} M_ {n} \ longrightarrow M _ {\ sigma (1)} \ otimes _ {R} \ cdots \ otimes _{R}M_{\sigma (n)}\\x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\longmapsto x_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes x_{\sigma ( n)}\end{przypadki}}}$$
• (własność rozdzielcza) ${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} (N \ oplus P) = (M \ otimes _ {R} N) \ oplus (M \ otimes _ {R} P).} W rzeczywistości$ ,
  $${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} \ lewo (\ bigoplus \ nolimits _ {i \ w ja} N_ { i}\right)=\bigoplus \nolimits _{i\in I}\left(M\otimes _{R}N_{i}\right),}$$
  dla zbioru indeksów I o dowolnej liczności .
• (dojeżdża z iloczynem skończonym) dla dowolnej skończenie wielu , ${\ Displaystyle N_ {i}$ }
  $${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} \ prod _ {i = 1} ^ {n} N_ {i} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} M \ otimes _ {R} N_ {i} .}$$
• (dojeżdża z lokalizacją ) dla dowolnego multiplikatywnie domkniętego podzbioru S z R ,
  $${\ Displaystyle S ^ {- 1} (M \ czasami _ {R} N) = S ^ {- 1} M \otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$$
  jako ${\ Displaystyle S ^ {- 1} R}$ -moduł. Ponieważ ${\ Displaystyle S ^ {-1} R}$ jest R -algebrą i ${\ Displaystyle S ^ {-1} - = S ^ {-1 }R\otimes _{R}-}$ , jest to szczególny przypadek:
• (dojeżdża z rozszerzeniem podstawy) Jeśli S jest R -algebrą, pisząc ${\ Displaystyle -_ {S} = S \ otimes _ {R} -}$ ,
  $${\ Displaystyle (M \ otimes _ {R} N) _ {S} = M_ {S} \ otimes _ {S} N_ {S};}$$
  por. § Rozszerzenie skalarów .
• (komutuje z bezpośrednią granicą) dla dowolnego bezpośredniego układu R -modułów M _i ,
  $${\ Displaystyle (\ varinjlim M_ {i}) \ otimes _ {R} N = \ varinjlim (M_ {i} \ otimes _ {R} N).}$$
• (tensorowanie jest dokładnie dokładne) if
  $${\ Displaystyle 0 \ do N '{\ overset {f} {\ do}} N {\ overset {g} {\ do}} N''\ do 0}$$
  więc dokładną sekwencją R -modułów
  $${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} N '{\ overset {1 \ otimes f} {\ do}} M \otimes _{R}N{\overset {1\otimes g}{\do }}M\otimes _{R}N''\do 0}$$
  jest dokładną sekwencją R -modułów, gdzie ${\ Displaystyle (1 \ otimes f) (x \ otimes y) = x \ otimes f (y).}$ Jest to konsekwencją:
• ( relacja sprzężona ) ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Hom} _ {R} (M \ czasami _ {R }N,P)=\nazwa_operatora {Hom} _{R}(M,\nazwa_operatora {Hom} _{R}(N,P))}$ .
• (relacja tensor-hom) istnieje kanoniczna R -liniowa mapa:
  $${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N) \ czasami P \ do \ operatorname {Hom} _ {R}(M,N\czasami P),}$$
  co jest izomorfizmem, jeśli M lub P jest skończenie generowanym modułem rzutowym (patrz § Jako mapy zachowujące liniowość dla przypadku nieprzemiennego); bardziej ogólnie, istnieje kanoniczna R -liniowa mapa:
  $${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {R} (M, N )\otimes \operatorname {Hom} _{R}(M',N')\to \operatorname {Hom} _{R}(M\otimes M',N\otimes N')}$$
  $_$ izomorfizmem $,$ albo _

Aby podać praktyczny przykład, załóżmy, że M , N są wolnymi modułami o podstawach ${\ displaystyle e_ {i}, i \ in ja}$ i ${\ displaystyle f_ {j}, j \w J}$ . M = ${\ Displaystyle M = \ bigoplus _ {i \ in I} Re_ {i}$ ∈ } dla N . Według własności rozdzielczej, jeden ma:

$${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} N = \ bigoplus _ {i, j} R (e_ {i} \ otimes f_ {j});}$$

tj. ${\ Displaystyle e_ {i} \ otimes f_ {j}, \, i \ in I, j \ in J}$ są podstawą R ${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} N}$ . Nawet jeśli M nie jest wolne, do obliczenia iloczynów tensorowych można użyć swobodnej prezentacji M.

Iloczyn tensorowy na ogół nie dojeżdża do pracy z odwrotną granicą : z jednej strony

$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ czasami _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} / p ^ {n} = 0}$$

(por. „przykłady”). Z drugiej strony,

$${\ Displaystyle \ lewo (\ varprojlim \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ prawo )\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p }\left[p^{-1}\right]=\mathbb {Q} _{p}}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}, \ mathbb {Q} _ {p}}$ to pierścień liczb całkowitych p-adic i pole liczb p-adic . Zobacz także „ określoną liczbę całkowitą ”, aby zobaczyć przykład w podobnym duchu.

Jeśli R nie jest przemienne, kolejność iloczynów tensorowych może mieć znaczenie w następujący sposób: „wykorzystujemy” prawą akcję M i lewą akcję N do utworzenia iloczynu tensorowego ${\ Displaystyle M \ otimes _ {R}N}$ ; $w$ szczególności . Jeśli M , N są dwumodułami, to ${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} N}$ ma lewe działanie pochodzące z lewego działania M i prawe działanie pochodzące z prawego działania N ; te działania nie muszą być takie same, jak lewe i prawe działania . ${\ Displaystyle N \ otimes _ {R} M}$ .

Asocjatywność zachodzi bardziej ogólnie dla pierścieni nieprzemiennych: jeśli M jest prawym modułem R , modułem Na ( R , S ) i P lewym modułem S , to

$${\ Displaystyle (M \ otimes _ {R} N) \ otimes _ {S} P = M \ otimes _ {R} (N \ czasami _{S}P)}$$

jako grupa abelowa.

Ogólna postać sprzężonej relacji iloczynów tensorowych mówi: jeśli R niekoniecznie jest przemienne, M jest prawym R -modułem, N jest ( R , S )-modułem, P jest prawym S -modułem, to jako grupa abelowa

$${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {S} (M \ otimes _ { R}N,P)=\nazwa_operatora {Hom} _{R}(M,\nazwa_operatora {Hom} _{S}(N,P)),\,f\mapsto f'}$$

gdzie ${\ displaystyle f '}$ jest podane przez ${\ Displaystyle f' (x) (y) = f (x \ czasami y).}$

Zobacz też: Dodatek Tensor-hom

Iloczyn tensorowy modułu R z polem ułamkowym

Niech R będzie dziedziną całkową o ciele ułamkowym K .

• Dla dowolnego modułu R M , ${\ Displaystyle K \ otimes _ {R} M \ cong K \ otimes _ {R} (M / M _ {\ operatorname {tor } })}$ jako moduły R , gdzie ${\ displaystyle M _ {\ operatorname {tor}}}$ jest podmodułem skrętnym M .
• Jeśli M $R}M\neq 0}$ modułem skrętnym R $≠$ M nie jest modułem skrętnym, to $Displaystyle K \ otimes _ {$ } .
• Jeśli N jest modułem podrzędnym M takim, że jest modułem skrętnym, to ${R} M}$$N$$Displaystyle K \ otimes _ {R} N \ cong K$ jako moduły R przez ${\ Displaystyle x \ otimes n \ mapsto x \ otimes n}$ .
• ${\ Displaystyle K \ otimes _ {R} M}$ ⊗ , ${\ Displaystyle x \ otimes m = 0}$ i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle x = 0}$ lub ${\ Displaystyle m \ w M _ {\ operatorname {tor}}}$ . W szczególności ${\ Displaystyle M _ {\ nazwa operatora {tor}} = \ nazwa operatora {ker} (M \ do K \ otimes _ {R} M)} gdzie m ↦ 1 ⊗ m {\ Displaystyle m$ \ $}$ .
• ${\ Displaystyle K \ otimes _ {R} M \ cong M_ {(0)}}$ gdzie ${\ Displaystyle M_ {(0)}}$ jest lokalizacją modułu ${ \displaystyle M} w$$.$ pierwszym tj. lokalizacji w odniesieniu do elementów niezerowych)

Rozszerzenie skalarów

Główny artykuł: Rozszerzenie skalarów

Zobacz także: Weil ograniczenie

Relacja sprzężona w postaci ogólnej ma ważny przypadek szczególny: dla dowolnej R -algebry S , M prawego R -modułu, P prawego S -modułu, używając ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Hom} _{S}(S,-)=-}$ , mamy izomorfizm naturalny:

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Hom} _ {S} (M \ otimes _ {R} S, P) = \ nazwa operatora {Hom} _ {R} (M, \ nazwa operatora {Res} _ {R} (P)) .}$$

$\ Displaystyle - \ otimes _ {R}$$}$ funktor jest lewy sprzężony z zapominalskim funktorem , który ogranicza { S akcję do R -akcji. Z $S$ jest często nazywany rozszerzeniem skalarów od . W teorii reprezentacji , gdy R , S są algebrami grupowymi, powyższa relacja staje się wzajemnością Frobeniusa .

Przykłady

• ${\ Displaystyle R ^ {n} \ otimes _ {R} S = S ^ {n}}$ dla dowolnej R -algebry S (tj. wolny moduł pozostaje wolny po rozszerzeniu skalarów. )
• Dla przemiennego pierścienia i przemiennej R -algebry S mamy: ${\ displaystyle R}$
  $${\ Displaystyle S \ czasami _ {R} R [x_ {1}, \ kropki, x_ {n}] = S [x_ {1}, \ kropki, x_ {n}];}$$
  w rzeczywistości, bardziej ogólnie,
  $${\ Displaystyle S \ czasami _ {R }(R[x_{1},\kropki,x_{n}]/I)=S[x_{1},\kropki,x_{n}]/IS[x_{1},\kropki,x_{n }],}$$
  gdzie ${\ displaystyle I}$ jest ideałem.
• Korzystanie z poprzedniego przykładu i chińskiego ${\ Displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} + 1)}$ twierdzenie o resztach , mamy jako pierścienie
  $${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ czasami _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C} = \ mathbb {C} [x] / (x ^ {2} + 1) = \ mathbb {C} [x ]/(x+i)\times \mathbb {C} [x]/(xi)=\mathbb {C} ^{2}.}$$
  Daje to przykład, gdy iloczyn tensorowy jest iloczynem bezpośrednim .
• ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ czasami _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} [i] = \ mathbb {R} [i] = \ mathbb {C}.}$

Przykłady

Struktura iloczynu tensorowego całkiem zwyczajnych modułów może być nieprzewidywalna.

Niech G będzie grupą abelową, w której każdy element ma skończony porządek (to znaczy G jest grupą abelową skrętną ; na przykład G może być skończoną grupą abelową lub ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z} }$ ). Następnie:

$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ czasami _ {\ mathbb {Z}} G = 0.}$$

Rzeczywiście, każdy ma postać ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} G$ }

$${\ Displaystyle x = \ suma _ {i} r_ {i} \ czasami g_ {i}, \ qquad r_ {i} \ w \ mathbb {Q}, g_ {i} \ w G.}$$

Jeśli ${\ displaystyle n_ {i}}$ jest rzędem ${\ displaystyle g_ {i}}$ , to obliczamy: sol ja {\ displaystyle g_ {i}}

$${\ Displaystyle x = \ suma (r_ {i} / n_ {i}) n_ { i}\orazy g_{i}=\suma r_{i}/n_{i}\orazy n_{i}g_{i}=0.}$$

Podobnie widać

$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z} \ czasami _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z} = 0.}$$

Oto kilka tożsamości przydatnych do obliczeń: Niech R będzie pierścieniem przemiennym, I , J ideały, M , N R -moduły. Następnie

1. ${\ Displaystyle R / I \ otimes _ {R} M = M / IM}$ . Jeśli M jest płaska , ${\ Displaystyle IM = I \ otimes _ {R} M}$ .
2. ${\ Displaystyle M / IM \ otimes _ {R/I} N / IN = M \ otimes _ {R} N \ otimes _{R}R/I}$ (ponieważ tensorowanie dojeżdża z rozszerzeniami bazowymi)
3. ${\ Displaystyle R / ja \ czasami _ {R} R / J = R / (ja + J)}$ .

Przykład: Jeśli G jest grupą abelową, ${\ Displaystyle G \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} / n = G / nG}$ ; wynika to z 1.

Przykład: ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} / m = \ mathbb { Z} /{\gcd(n,m)}}$ ; wynika to z 3. W szczególności dla różnych liczb pierwszych p , q ,

$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} \ czasami \ mathbb {Z} / q \ mathbb {Z} = 0.}$$

Produkty Tensor można zastosować do sterowania kolejnością elementów grup. Niech G będzie grupą abelową. Następnie wielokrotności 2 cali

$${\ Displaystyle G \ czasami \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$$

są zerowe.

Przykład: Niech $n -$ grupą tych jedności. Jest to grupa cykliczna , a grupy cykliczne są klasyfikowane według rzędów. Zatem niekanonicznie, a więc gdy g jest gcd n i m , ${\ Displaystyle \ mu _ {n} \ około \ mathbb {Z} / n$ }

$${\ Displaystyle \ mu _ {n} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mu _ {m} \ około \ mu _ {g}.}$$

Przykład: Rozważmy ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q}.} Ponieważ$ Q $\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {Q}}$ uzyskuje się z ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q}}$ przez nałożenie -liniowości na ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ środku, mamy surjekcję

$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q} \ do \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ matematykabb {Q} }$$

r ${\ Displaystyle {r \ nad s} x \ otimes yx \ otimes {r \ nad s} y$ gdzie r , s , x , u są liczbami całkowitymi, a s jest niezerowe. Od

$${\ Displaystyle {r \ nad s} x \ czasami y = {r \ nad s} x \ otimes {s \ nad s} y =x\orazy {r \ponad s}y,}$$

jądro faktycznie znika; stąd ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q} = \ mathbb {Q} \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {Q} = \ mathbb {Q} .}$

$} \ otimes _ {\ mathbb {C}}\mathbb {C}}$ jednak pod uwagę $\ mathbb {C} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$ i do . Ponieważ -wektorowa przestrzeń, $C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {$ ma wymiar 4, ale $\ mathbb {C}} \ mathbb {C}}$ ma wymiar 2.

Zatem do $}} i do ⊗ do do {\ Displaystyle \ mathbb {$$_ {\ mathbb { C} }\mathbb {C} }$ C nie są izomorficzne.

Przykład: Proponujemy porównanie ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\mathbb {R}}\mathbb {R}}$ . Podobnie jak w poprzednim przykładzie, mamy: ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R} = \ mathbb {R} \ otimes _ {\mathbb {Q}}\mathbb {R}}$ jako grupa abelowa, a zatem jako ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ -przestrzeń wektorowa (dowolna $\ displaystyle \ mathbb$ liniowa między ${Q}}$ -przestrzenie wektorowe to ${\ displaystyle \ mathbb {Q}} } }$ -liniowy). Jako $R$ , $}}$ ma wymiar (liczność podstawy) kontinuum . Stąd ${R}}$ mathbb ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ -podstawa indeksowana przez iloczyn kontinuów; zatem jego $wymiar$ kontinuum. Stąd, ze względu na wymiary, istnieje niekanoniczny izomorfizm przestrzeni -wektorowych: ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

$${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {R} \ około \ mathbb {R} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {R}.}$$

Rozważ moduły $\mathbb {C} [x,y,z]/(g)}$${\ Displaystyle M = \ mathbb {C} [x, y, z] / (f),N$ dla ${\ Displaystyle f, g \ in \ mathbb {C} [x, y, z]}$ nierozkładalne wielomiany takie, że ${\ Displaystyle \ gcd (f, g) = 1.}$ Następnie,

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ mathbb {C} [x, y, z]} {(f)}} \ czasami _ {\ mathbb {C} [x, y, z]} {\ Frac {\ mathbb { C} [x,y,z]}{(g)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f,g)}}}$$

Inna użyteczna rodzina przykładów pochodzi ze zmiany skalarów. Zauważ, że

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ mathbb {Z} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]} {(f_ {1}, \ ldots, f_ {k})}} \ czasami _ {\ mathbb {Z}}R\cong {\frac {R[x_{1},\ldots,x_{n}]}{(f_{1},\ldots,f_{k})}}}$$

Dobrymi przykładami tego zjawiska są ${\ Displaystyle R = \ mathbb {Q}, \ mathbb {C}, \ mathbb {Z} / (p ^ {k}), \ mathbb {Z} _ {p}, \ mathbb {Q} _ {p} .}$

Budowa

Konstrukcja M ⊗ N przyjmuje iloraz wolnej grupy abelowej o podstawie symboli m ∗ n , użytych tutaj do oznaczenia uporządkowanej pary ( m , n ) , dla m w M i n w N przez podgrupę generowaną przez wszystkie elementy formularza

1. − m ∗ ( n + n ′) + m ∗ n + m ∗ n ′
2. −( m + m ′) ∗ n + m ∗ n + m ′ ∗ n
3. ( m · r ) ∗ n - m ∗ ( r · n )

gdzie m , m ′ w M , n , n ′ w N i r w R . Mapa ilorazowa, która przyjmuje m ∗ n = ( m , n ) do cosetu zawierającego m ∗ n ; to jest,

$${\ Displaystyle \ otimes: M \ razy N \ do M \ otimes _ {R} N, \, (m, n) \mapsto [m*n]}$$

jest zrównoważona, a podgrupa została wybrana minimalnie, aby ta mapa była zrównoważona. Uniwersalna własność ⊗ wynika z uniwersalnych własności wolnej grupy abelowej i ilorazu.

Jeśli S jest podpierścieniem pierścienia R , to jest grupą ilorazową ${\ displaystyle M \ otimes _ {S} N}$ przez ${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} N}$ podgrupa generowana przez ${\ Displaystyle xr \ otimes _ {S} yx \ otimes _ {S} ry, \ r \ w R, x \ w M, y \ w N}, gdzie x ⊗ S y {\$ Displaystyle $}$${$$M$${\ Displaystyle \ otimes: M \ razy N \ do M \ otimes _ {S} N.}$ obrazem pod W szczególności dowolny iloczyn tensorowy R -moduły można skonstruować, jeśli jest to pożądane, jako iloraz iloczynu tensorowego grup abelowych przez narzucenie R -zrównoważonej właściwości produktu.

Bardziej kategoryjnie, niech σ będzie danym właściwym działaniem R na M ; tj. σ( m , r ) = m · r i τ lewe działanie R od N . Następnie, pod warunkiem, że iloczyn tensorowy grup abelowych jest już zdefiniowany, iloczyn tensorowy M i N przez R można zdefiniować jako koequalizer :

$${\ Displaystyle M \ otimes R \ otimes N {{{} \ na szczycie {\ overset {\ sigma \ razy 1} {\ do }}} \atop {{\underset {1\times \tau }{\to}} \atop {}}}M\otimes N\to M\otimes _{R}N}$$

gdzie $indeksu dolnego$ odnosi się do iloczynu tensorowego grup abelowych.

W konstruowaniu iloczynu tensorowego na przemiennym pierścieniu R struktura R -modułu może być wbudowana od początku przez utworzenie ilorazu wolnego R -modułu przez submoduł generowany przez elementy podane powyżej dla ogólnej konstrukcji, rozszerzone przez elementy r ⋅ ( m ∗ n ) - m ∗ ( r ⋅ n ) . Alternatywnie, ogólnej konstrukcji można nadać strukturę modułu Z ( R ) poprzez zdefiniowanie działania skalarnego przez r ⋅ ( m ⊗ n ) = m ⊗ ( r ⋅ n ) gdy jest to dobrze zdefiniowane, czyli dokładnie wtedy, gdy r ∈ Z( R ), środek R .

Bezpośredni iloczyn M i N rzadko jest izomorficzny z iloczynem tensorowym M i N . Gdy R nie jest przemienne, to iloczyn tensorowy wymaga, aby M i N były modułami po przeciwnych stronach, podczas gdy iloczyn bezpośredni wymaga, aby były to moduły po tej samej stronie. We wszystkich przypadkach jedyną funkcją od M × N do G , która jest zarówno liniowa, jak i dwuliniowa, jest mapa zerowa.

Jako mapy liniowe

W ogólnym przypadku nie wszystkie właściwości iloczynu tensorowego przestrzeni wektorowych rozciągają się na moduły. Jednak niektóre użyteczne właściwości iloczynu tensorowego, uważane za homomorfizmy modułów , pozostają.

Podwójny moduł

Zobacz także: Duality (matematyka) § Obiekty dualne

Podwójny moduł prawego R -modułu E jest zdefiniowany jako Hom _R ( E , R ) z kanoniczną strukturą lewego R -modułu i jest oznaczony E ^∗ . Struktura kanoniczna to punktowe operacje dodawania i mnożenia przez skalar. Zatem E ^∗ jest zbiorem wszystkich R -odwzorowań liniowych E → R (zwanych także formami liniowymi ) z operacjami

$${\ Displaystyle (\ phi + \ psi) (u) = \ phi (u) + \ psi (u),\quad \phi ,\psi \in E^{*},u\in E}$$

$${\ Displaystyle (r \ cdot \ phi) (u) = r \ cdot \ phi (u ),\quad \phi \in E^{*},u\in E,r\in R,}$$

Podwójny lewy moduł R jest definiowany analogicznie, z tą samą notacją.

Zawsze istnieje homomorfizm kanoniczny E → E ^∗∗ od E do jego drugiej liczby podwójnej. Jest to izomorfizm, jeśli E jest wolnym modułem skończonego rzędu. Ogólnie rzecz biorąc, E nazywa się modułem zwrotnym , jeśli homomorfizm kanoniczny jest izomorfizmem.

Parowanie dualności

Oznaczamy naturalne parowanie jego podwójnego E ^∗ i prawego modułu R E lub lewego modułu R F i jego podwójnego F ^∗ jako

$${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ cdot \ rangle: E ^ {*} \times E\to R:(e',e)\mapsto \langle e',e\rangle =e'(e)}$$

$${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: F \ razy F ^ {*} \ do R: (f, f ') \ mapsto \ langle f, f'\ rangle = f' (f).}$$

Parowanie jest lewe R -liniowe w lewym argumencie i prawe R -liniowe w prawym argumencie:

$${\ Displaystyle \ langle r \ cdot g, h \ cdot s \ rangle = r \ cdot \ langle g, h \ rangle \ cdot s, \ quad r, s \ w R.}$$

Element jako mapa (bi)liniowa

W ogólnym przypadku każdy element iloczynu tensorowego modułów prowadzi do lewej R -liniowej mapy, prawej R -liniowej mapy i R -dwuliniowej postaci. W przeciwieństwie do przypadku przemiennego, w ogólnym przypadku iloczyn tensorowy nie jest modułem R , a zatem nie obsługuje mnożenia przez skalar.

• Mając prawy moduł R E i prawy moduł R F , istnieje homomorfizm kanoniczny θ : F ⊗ _R E ^∗ → Hom _R ( E , F ) taki, że θ ( f ⊗ e ′) jest odwzorowaniem e ↦ f ⋅ ⟨ e ′, mi ⟩ .

• Biorąc pod uwagę lewy moduł R E i prawego modułu R F , istnieje homomorfizm kanoniczny ( θ : F ⊗ _RE → Hom _R ( E ^∗ , F ) taki, że θ ′ f ⊗ e ) jest mapą e ′ ↦ f ⋅ ⟨ e , e ⟩ .

Oba przypadki dotyczą modułów ogólnych i stają się izomorfizmami, jeśli moduły E i F są ograniczone do skończenie generowanych modułów rzutowych (w szczególności modułów swobodnych o skończonych szeregach). Zatem element iloczynu tensorowego modułów na pierścieniu R odwzorowuje się kanonicznie na R -liniową mapę, chociaż podobnie jak w przypadku przestrzeni wektorowych, do modułów mają zastosowanie ograniczenia, aby było to równoważne z pełną przestrzenią takich map liniowych.

• Mając prawy moduł R E i lewy moduł R F , istnieje homomorfizm kanoniczny θ : F ^∗ ⊗ _R E ^∗ → LR ₍ F × E , R ) taki , że θ ( f ′ ⊗ e ′) jest odwzorowaniem ( fa , mi ) ↦ ⟨ fa , fa ′⟩ ⋅ ⟨ mi ′, e ⟩ . Tak więc można pomyśleć, że element iloczynu tensorowego ξ ∈ F ^∗ ⊗ _R E ^∗ powoduje powstanie lub działa jako R -dwuliniowa mapa F × E → R .

Namierzać

Niech R będzie pierścieniem przemiennym, a E R -modułem . Następnie istnieje kanoniczna R -liniowa mapa:

$${\ Displaystyle E ^ {*} \ czasami _ {R} E \ do R}$$

indukowane przez liniowość przez ${\ Displaystyle \ phi \ otimes x \ mapsto \ phi (x)}$ ; jest to unikalna R -liniowa mapa odpowiadająca naturalnemu parowaniu.

Jeśli E jest skończenie generowanym rzutowym modułem R , to można zidentyfikować ${\ Displaystyle E ^ {*} \ otimes _ {R} E = \ operatorname {Koniec} _ { R}(E)}$ poprzez kanoniczny homomorfizm wspomniany powyżej, a następnie powyższa mapa śledzenia :

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {tr}: \ nazwa operatora {koniec} _ {R} (E) \ do R.}$$

Gdy R jest polem, jest to zwykły ślad transformacji liniowej.

Przykład z geometrii różniczkowej: pole tensorowe

Najbardziej znanym przykładem iloczynu tensorowego modułów w geometrii różniczkowej jest iloczyn tensorowy przestrzeni pól wektorowych i form różniczkowych. Dokładniej, jeśli R jest (przemiennym) pierścieniem gładkich funkcji na gładkiej rozmaitości M , to stawia się

$${\ Displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {q} ^ {p} = \ Gamma (M, TM )^{\otimes p}\otimes _{R}\Gamma (M,T^{*}M)^{\otimes q}}$$

gdzie Γ oznacza przestrzeń sekcji , a indeks $oznacza$ napinanie p razy nad R $definicji$ element jest polem tensorowym p , q .

Jako moduły R , jest ${\ Displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {q} ^ {p}.}$ modułem $}$

Aby rozjaśnić notację, umieść mi $\ Displaystyle E ^ {*} = \Gamma (M,T^{*}M)}$$\ Displaystyle E = \ Gamma (M, TM)}$ i tak . Gdy p , q ≥ 1, dla każdego ( k , l ) gdzie 1 ≤ k ≤ p , 1 ≤ l ≤ q , istnieje R - mapa wieloliniowa:

$${\ Displaystyle E ^ {p} \ razy {E ^ {*}} ^ {q} \ do {\ mathfrak {T}} _ {q-1} ^ {p-1},\,(X_{1},\kropki,X_{p},\omega _{1},\kropki,\omega _{q})\mapsto \langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots \otimes {\widehat {X_{l}}}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\ szeroki kapelusz {\omega _{l}}}\otimes \cdots \otimes \omega _{q}}$$

gdzie ${p}}$$,$ oznacza a kapelusz oznacza pominięcie Zgodnie z właściwością uniwersalną odpowiada unikalnej mapie liniowej R :

$${\ Displaystyle C_ {l} ^ {k}: {\ mathfrak {T}} _ {q} ^ {p} \ do {\ mathfrak {T}} _ {q-1} ^ {p-1}.}$$

Nazywa się to skróceniem tensorów w indeksie ( k , l ). Rozwijając to, co mówi właściwość uniwersalna, widzimy:

$${\ Displaystyle C_ {l} ^ {k} (X_ {1} \ otimes \ cdots \ otimes X_ {p} \ otimes \ omega _ {1} \ otimes \ cdots \ otimes \ omega _ {q}) = \ langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots {\widehat {X_{l}}}\cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \ cdots {\ widehat {\ omega _ {l}}} \ cdots \ otimes \ omega _ {q}.}$$

Uwaga : Powyższe omówienie jest standardem w podręcznikach geometrii różniczkowej (np. Helgasona). W pewnym sensie konstrukcja oparta na teorii snopów (tj. język snopów modułów ) jest bardziej naturalna i coraz bardziej powszechna; w tym celu zobacz sekcję § Iloczyn tensorowy krążków modułów .

Stosunek do modułów płaskich

Ogólnie,

$${\ Displaystyle - \ otimes _ {R} -: {\ tekst {Mod-}} R \ razy R {\ tekst {-Mod}} \ longrightarrow \ matematyka {Ab} }$$

jest bifunktorem , który przyjmuje prawą i lewą parę modułów R jako dane wejściowe i przypisuje je do iloczynu tensorowego w kategorii grup abelowych .

Ustalając prawy moduł R M , funktor

$${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} -: R {\ tekst {-Mod}} \ longrightarrow \ operatorname {Ab}}$$

powstaje i symetrycznie lewy moduł R N można naprawić, aby utworzyć funktor

$${\ Displaystyle - \ otimes _ {R} N: {\ tekst {Mod-}} R \ longrightarrow \ operatorname {Ab}.}$$

W przeciwieństwie $_$ Hom na _

Można wykazać, że i są zawsze funktorami dokładnymi z prawej strony $otimes _ {R} -$ niekoniecznie dokładnymi z lewej strony ( $displaystyle M$${\ Displaystyle 0 \ do \ mathbb {Z} \ do \ mathbb {Z} \ do \ mathbb {Z} _ {n} \ do 0,} gdzie pierwsza$ mapa to mnożenie przez ${\ displaystyle n}$ jest dokładny, ale nie po wzięciu tensora z ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}})$ . Z definicji moduł T jest modułem płaskim , jeśli ${\ Displaystyle T \ otimes _ {R} -}$ jest dokładnym funktorem.

Jeśli ${\ Displaystyle \ {m_ {i} \ mid i \ in I \}}$ i ${\ Displaystyle \ {n_ {j} \ mid j \ in J\}}$ to zbiory generujące odpowiednio dla M i N , wtedy ${\ Displaystyle \ {m_ {i} \ otimes n_ {j} \ mid i \ in I, j \ in J \}} będzie zespołem$ prądotwórczym dla ${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} N.}$ Ponieważ funktor tensorowy czasami nie jest dokładny, może to nie być minimalny zestaw prądotwórczy, nawet $- {\ Displaystyle M \ otimes _ {R} -$ jeśli oryginalne zespoły prądotwórcze są minimalne. Jeśli M jest płaskim modułem , funktor ${\ Displaystyle M \ otimes _ {R} -}$ jest dokładny z samej definicji modułu płaskiego. Jeżeli iloczyny tensorowe przejmiemy po polu F , to mamy do czynienia z przestrzeniami wektorowymi jak wyżej. Ponieważ wszystkie F są płaskie, bifunktor $jest dokładny w obu pozycjach$${\ Displaystyle \ {m_ {i} \ otimes n_ {j} \ mid i \ in I, j \ in J \}}$ dwa podane zespoły prądotwórcze są podstawami, rzeczywiście stanowi podstawę dla ${\ Displaystyle M \ otimes _ {F} N.}$

Zobacz też: czysty submoduł

Dodatkowa struktura

Zobacz też: Wolny iloczyn algebr asocjacyjnych

Jeśli S i T są przemiennymi R -algebrami, to podobnie jak #Dla równoważnych modułów , S ⊗ _R T będzie również przemienną R -algebrą, z mapą mnożenia zdefiniowaną przez ( m ₁ ⊗ m ₂ ) ( n ₁ ⊗ n ₂ ) = ( m ₁ n ₁ ⊗ m ₂ n ₂ ) i rozszerzony o liniowość. W tym ustawieniu iloczyn tensorowy staje się włóknistym koproduktem w kategorii przemiennych R -algebr. (Ale nie jest to produkt uboczny w kategorii R -algebr.)

Jeśli zarówno M , jak i N są R -modułami w pierścieniu przemiennym, to ich iloczyn tensorowy jest ponownie R -modułem. Jeśli R jest pierścieniem, _R M jest lewym modułem R i komutatorem

rs - sr

dowolnych dwóch elementów r i s z R znajduje się w anihilatorze M , to możemy przekształcić M w prawy moduł R , ustawiając

pan = rm .

Działanie czynników R na czynniki M poprzez działanie ilorazowego pierścienia przemiennego. W tym przypadku iloczyn tensorowy M z samym sobą po R jest ponownie modułem R. Jest to bardzo powszechna technika w algebrze przemiennej.

Uogólnienie

Iloczyn tensorowy kompleksów modułów

Jeśli X , Y są kompleksami R -modułów ( R jest pierścieniem przemiennym), to ich iloczyn tensorowy jest złożonym określonym przez

$${\ Displaystyle (X \ otimes _ {R} Y) _ {n} = \ suma _ {i + j = n} X_ {i}\oraz _{R}Y_{j},}$$

z różniczką określoną wzorem: dla x w X _i oraz y w Y _j ,

$${\ Displaystyle d_ {X \ otimes Y} (x \ czasami y) = d_ {X} (x) \ czasami y + (-1) ^ {i} x \ czasami d_ {Y} (y).}$$

Na przykład, jeśli C jest kompleksem łańcuchowym płaskich grup abelowych i jeśli G jest grupą abelową, to grupa homologii jest grupą homologii do ⊗ ${Z}} G}$ C ze współczynnikami w G (patrz też: twierdzenie o uniwersalnym współczynniku ).

Iloczyn tensorowy krążków modułów

Główny artykuł: Snop modułów

Iloczyn tensorowy snopów modułów to snop powiązany z snopem wstępnym iloczynów tensorowych modułów sekcji nad otwartymi podzbiorami.

Na przykład w tej konfiguracji można zdefiniować pole tensorowe na gładkiej rozmaitości M jako (globalny lub lokalny) przekrój iloczynu tensorowego (zwanego wiązką tensorową )

$${\ Displaystyle (TM) ^ {\ otimes p} \ otimes _ {O} (T ^ {*} M) ^ {\ otimes q}}$$

gdzie O jest $są$ pierścieni gładkich funkcji na , wiązki jako swobodne krążki na M

Zewnętrzna wiązka na M jest podwiązką wiązki tensorowej składającej się ze wszystkich antysymetrycznych kowariantnych tensorów. Sekcje wiązki zewnętrznej są formami różniczkowymi na M .

Zobacz też: Pakiet produktów Tensor

Jeden ważny przypadek, gdy tworzy się iloczyn tensorowy na snopie nieprzemiennych pierścieni, pojawia się w teorii D -modułów ; to znaczy produkty tensorowe nad snopem operatorów różniczkowych .

Zobacz też

• Funktor Tora
• Iloczyn tensorowy algebr
• Iloczyn tensorowy pól
• pochodny iloczyn tensorowy

Notatki

• Bourbaki, algebra
•   Helgason, Sigurdur (1978), Geometria różniczkowa, grupy Liego i przestrzenie symetryczne , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
•   Northcott, DG (1984), Algebra wieloliniowa , Cambridge University Press, ISBN 613-0-04808-4 .
•   Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadieżda Michajłowna; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Algebry, pierścienie i moduły , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4 .
• Peter May (1999), Zwięzły kurs topologii algebraicznej , University of Chicago Press.