Bezskrętny moduł

W algebrze abstrakcyjnej moduł M na pierścieniu R nazywany jest bezskrętnym , jeśli można go osadzić w jakimś bezpośrednim iloczynie R ^I . Równoważnie M jest nieskrętne, jeśli każdy niezerowy element M ma niezerowy obraz pod pewnym R -liniowym funkcjonałem f :

{\ Displaystyle f \ w M ^ {\ ast} = \ operatorname {Hom} _ {R} (M, R), \ quad f(m)\neq 0.}

Pojęcie to zostało wprowadzone przez Hymana Bassa . ^{[ potrzebne źródło ]}

Właściwości i przykłady

Moduł jest bezskrętny wtedy i tylko wtedy, gdy kanoniczna mapa na swój podwójny podwójny,

{\ Displaystyle M \ do M ^ {\ ast \ ast} =\operatorname {Hom} _{R}(M^{\ast},R),\quad m\mapsto (f\mapsto f(m)),m\in M,f\in M^{\ast} ,}

jest iniekcyjny . Jeśli ta mapa jest bijektywna, to moduł nazywa się refleksyjnym . Z tego powodu moduły bezskrętne są również znane jako półrefleksyjne .

Jednostkowy swobodny moduł jest bezskrętny. Mówiąc bardziej ogólnie, bezpośrednia suma modułów bezskrętnych jest bezskrętna.
Swobodny moduł jest zwrotny, jeśli jest generowany w sposób skończony , ale dla niektórych pierścieni istnieją również nieskończenie generowane moduły swobodne, które są zwrotne. Na przykład bezpośrednia suma policzalnie wielu kopii liczb całkowitych jest modułem zwrotnym nad liczbami całkowitymi, patrz na przykład.

Submoduł modułu bezskrętnego jest bezskrętny. W szczególności każdy moduł rzutowy nad R jest bezskrętny; każdy lewy ideał R jest nieskręcanym lewym modułem i podobnie dla prawych ideałów.
Każdy moduł bezskrętny w domenie jest modułem bezskrętnym , ale sytuacja odwrotna nie jest prawdziwa, ponieważ Q jest nieskrętnym modułem Z , który nie jest bezskrętny.
Jeśli R jest pierścieniem przemiennym , który jest domeną integralną ^, a M jest skończenie generowanym modułem bezskrętnym, to M może być osadzone w Rn , a zatem M jest bezskrętne.
Załóżmy, że N jest prawym R -modułem, to jego podwójne N ^∗ ma strukturę lewego R -modułu. Okazuje się, że każdy lewy R powstający w ten sposób jest nieskrętny (podobnie każdy prawy moduł R , który jest dualny lewego modułu R , jest nieskrętny).
W domenie Dedekinda skończenie wygenerowany moduł jest zwrotny wtedy i tylko wtedy, gdy jest wolny od skręcania.
Niech R będzie pierścieniem noetherowskim, a M refleksyjnym skończenie generowanym modułem nad R . Wtedy ${\ displaystyle M \ otimes _ {R} S}$ jest modułem zwrotnym nad S , gdy S jest płaski nad R .

Związek z półdziedzicznymi pierścieniami

Stephen Chase udowodnił następującą charakterystykę pierścieni półdziedzicznych w połączeniu z modułami bezskrętnymi:

Dla dowolnego pierścienia R następujące warunki są równoważne:

R pozostaje półdziedziczne.
Wszystkie bezskrętne prawe moduły R są płaskie .
Pierścień R pozostaje spójny i spełnia jeden z czterech warunków, o których wiadomo, że są równoważne:
- Wszystkie właściwe ideały R są płaskie.
- Wszystkie lewe ideały R są płaskie.
- Submoduły wszystkich dobrych płaskich R -modułów są płaskie.
- Submoduły wszystkich lewych płaskich modułów R są płaskie.

(Pomieszanie przymiotników lewo/prawo w zdaniu nie jest pomyłką.)

Zobacz też

Notatka

Rozdział VII Bourbaki, Nicolas (1998), Algebra przemienna (wyd. 2), Springer Verlag , ISBN 3-540-64239-0
Lam, Tsit-Yuen (1999), Wykłady o modułach i pierścieniach , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5 , MR 1653294