Czysty podmoduł

W matematyce , szczególnie w teorii modułów , koncepcja czystego podmodułu stanowi uogólnienie sumy bezpośredniej , czyli rodzaju szczególnie dobrze zachowującej się części modułu . Czyste moduły uzupełniają moduły płaskie i uogólniają koncepcję czystych podgrup Prüfera . Podczas gdy moduły płaskie to te moduły, które po tensorowaniu pozostawiają dokładne krótkie sekwencje , czysty podmoduł definiuje krótką dokładną sekwencję (tzw. czysta dokładna sekwencja ), która pozostaje dokładna po tensorowaniu z dowolnym modułem. Podobnie moduł płaski jest bezpośrednią granicą modułów projekcyjnych , a czysta sekwencja dokładna jest bezpośrednią granicą rozdzielonych sekwencji dokładnych .

Definicja

Niech R będzie pierścieniem ( zespolonym , z 1), niech M będzie (lewym) modułem nad R , niech P będzie podmodułem M i niech i : P → M będzie naturalnym odwzorowaniem iniekcyjnym . Wtedy P jest czystym podmodułem M , jeśli dla dowolnego (prawego) R -modułu X , naturalny indukowany identyfikator mapy _X ⊗ i : X ⊗ P → X ⊗ M (gdzie przejmowane są iloczyny tensora R ) jest iniekcyjne.

Analogicznie krótka sekwencja dokładna

${\ Displaystyle 0 \ longrightarrow A \, \ {\ stackrel {f} {\ longrightarrow}} \ B \, \ {\ stackrel {g} {\ longrightarrow}} \ C \$

(lewego) R -modułu jest całkowicie dokładne , jeśli sekwencja pozostaje dokładna, gdy jest napięta z dowolnym (prawym) R - modułem X. Jest to równoznaczne ze stwierdzeniem, że f ( A ) jest czystym podmodułem B .

Charakterystyki równoważne

Czystość podmodułu można również wyrazić elementarnie; jest to w istocie stwierdzenie o rozwiązywaniu pewnych układów równań liniowych. W szczególności P jest czyste w M wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi następujący warunek: dla dowolnej macierzy m -by- n ( a _ij ) z wpisami w R i dowolnego zbioru y ₁ , ..., y _m elementów P , jeśli istnieją elementy x ₁ , ..., x _n in M takie, że

${\ Displaystyle \ suma _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} x_ {j} = y_ {i} \ qquad {\mbox{ for }}i=1,\ldots,m}$

wówczas istnieją także elementy x ₁ ′, ..., x _n ′ w P takie, że

${\ Displaystyle \ suma _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} x'_ {j} = y_ { i}\qquad {\mbox{ for }}i=1,\ldots,m}$

Inna charakterystyka jest następująca: sekwencja jest całkowicie dokładna wtedy i tylko wtedy, gdy jest przefiltrowaną wartością graniczną (znaną również jako granica bezpośrednia ) rozdzielonych sekwencji dokładnych

${\ Displaystyle 0 \ longrightarrow A_ {i} \ longrightarrow B_ {i} \ longrightarrow C_ {i} \ longrightarrow 0.}$

Przykłady

• Każda bezpośrednia suma M jest czysta w M. W konsekwencji każda podprzestrzeń przestrzeni wektorowej nad polem jest czysta.

Nieruchomości

( Lam & 1999, s. 154 ) Załóżmy

${\ Displaystyle 0 \ longrightarrow A \, \ {\ stackrel {f} {\ longrightarrow}} \ B \, \ {\ stackrel {g} {\ longrightarrow}} \ C \$

jest krótkim dokładnym ciągiem R -modułów, wówczas:

1. C jest modułem płaskim wtedy i tylko wtedy , gdy dokładna sekwencja jest całkowicie dokładna dla każdego A i B. Z tego możemy wywnioskować, że w przypadku regularnego pierścienia von Neumanna każdy podmoduł każdego R -modułu jest czysty. Dzieje się tak, ponieważ każdy moduł na regularnym pierścieniu von Neumanna jest płaski. Odwrotna sytuacja jest również prawdą. ( Lam & 1999, s. 162 )
2. Załóżmy, że B jest płaskie. Wtedy ciąg jest całkowicie dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy C jest płaskie. Z tego można wywnioskować, że czyste podmoduły płaskich modułów są płaskie.
3. Załóżmy, że C jest płaskie. Wtedy B jest płaskie wtedy i tylko wtedy, gdy A jest płaskie.

Jeśli ${\ Displaystyle 0 \ longrightarrow A \, \ {\ stackrel {f} {\ longrightarrow}} \ B \, \ {\ stackrel {g} {\ longrightarrow}} \ C$ jest dokładnie dokładny, a F jest skończonym modułem R , wówczas każdy homomorfizm z F do C można przenieść do B , tj. do każdego u : F → C istnieje v : F → B takie, że gv = u .

•   Fuchs, László (2015), Grupy Abelowe , Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 9783319194226

•    Lam, Tsit-Yuen (1999), Wykłady o modułach i pierścieniach , Graduate Texts in Mathematics nr 189, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5 , MR 1653294