Czysta podgrupa

W matematyce , zwłaszcza w obszarze algebry badającej teorię grup abelowych , czysta podgrupa jest uogólnieniem sumy bezpośredniej . Znalazła wiele zastosowań w teorii grup abelowych i obszarach pokrewnych.

Definicja

$}}$ podgrupa grupy $($ zazwyczaj abelowej $)$ jest czysta , jeśli element z grupy ma $S} th$ \ $Displaystyle$$,$ korzeń w koniecznie ma korzeń w $displaystyle$$G$ } Formalnie: ${\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z}, a \ w S}$ , istnienie x w G takie, że ${\ displaystyle x ^ {n} = a \ Strzałka w prawo }$ istnienie ay w S takie, że ${\ displaystyle y ^ {n} = a}$ .

Początki

Czyste podgrupy nazywane są również podgrupami izolowanymi lub podgrupami obsługującymi i po raz pierwszy zostały zbadane w artykule Prüfera z 1923 r., w którym opisano warunki rozkładu pierwotnych grup abelowych jako bezpośrednie sumy grup cyklicznych przy użyciu czystych podgrup. Praca Prüfera została uzupełniona przez Kulikoffa, gdzie ponownie udowodniono wiele wyników, stosując systematycznie czyste podgrupy. W szczególności przedstawiono dowód, że czyste podgrupy o skończonym wykładniku są sumami bezpośrednimi. Pełniejsze omówienie czystych podgrup, ich relacji do nieskończonej teorii grup abelowych , a przegląd ich literatury można znaleźć w małej czerwonej książeczce Irvinga Kaplansky'ego .

Przykłady

• Każda bezpośrednia suma grupy jest czystą podgrupą.
• Każda czysta podgrupa czystej podgrupy jest czysta.
• Podzielna podgrupa grupy abelowej jest czysta.
• Jeśli grupa ilorazowa jest wolna od skręcania, podgrupa jest czysta.
• Podgrupa skrętna grupy abelowej jest czysta.
• Związek czystych podgrup jest czystą podgrupą.

Ponieważ w skończonej grupie abelowej podgrupa skrętna jest sumą bezpośrednią, można by zapytać, czy podgrupa skrętna jest zawsze bezpośrednią sumą grupy abelowej. Okazuje się, że nie zawsze jest to suma, ale czysta podgrupa. W pewnych łagodnych warunkach czyste podgrupy są bezpośrednimi sumami. Zatem w tych warunkach nadal można uzyskać pożądany wynik, jak w artykule Kulikoffa. Czyste podgrupy można wykorzystać jako właściwość pośrednią pomiędzy wynikiem sum bezpośrednich z warunkami skończoności a pełnym wynikiem sum bezpośrednich z mniej restrykcyjnymi warunkami skończoności. Innym przykładem takiego zastosowania jest artykuł Prüfera, w którym fakt, że „skończone grupy abelowe skrętne są bezpośrednimi sumami grup cyklicznych” zostaje rozszerzony do wyniku, że „wszystkie abelowe grupy skrętne skończonych wykładnik są bezpośrednimi sumami grup cyklicznych” poprzez pośrednie uwzględnienie czystych podgrup.

Uogólnienia

Czyste podgrupy zostały uogólnione na kilka sposobów w teorii grup i modułów abelowych. Czyste podmoduły definiowano na różne sposoby, ale ostatecznie zdecydowano się na nowoczesną definicję w kategoriach iloczynów tensorowych lub układów równań; wcześniejsze definicje były zwykle bardziej bezpośrednimi uogólnieniami, takimi jak pojedyncze równanie użyte powyżej dla n-tych pierwiastków. Czyste moduły iniekcyjne i czyste projekcyjne są ściśle zgodne z ideami artykułu Prüfera z 1923 roku. Chociaż czyste moduły projekcyjne nie znalazły tak wielu zastosowań, jak czyste iniekcje, są one bliżej powiązane z oryginalnym dziełem: Moduł jest czysto projekcyjny, jeśli jest bezpośrednią sumą bezpośredniej sumy skończonych modułów. W przypadku liczb całkowitych i grup abelowych czysty moduł rzutowy równa się bezpośredniej sumie grup cyklicznych.

•   Phillip A. Griffith (1970). Nieskończona teoria grup abelowych . Chicago Wykłady z matematyki. Prasa Uniwersytetu w Chicago. s. 9–16. ISBN 0-226-30870-7 . Rozdział III.