Pakiet produktów Tensor

Nie mylić z wiązką tensorową, wiązką wektorów, której przekrój jest polem tensorowym .

W geometrii różniczkowej iloczyn tensorowy wiązek wektorowych mi , fa ( w tej samej przestrzeni $)$ jest wiązką wektorową oznaczoną przez mi ⊗ fa , włókno w punkcie ${\ displaystyle x \ in X }$ jest iloczynem tensorowym przestrzeni wektorowych E _x ⊗ F _x .

Przykład: Jeśli O jest trywialną wiązką linii, to E ⊗ O = E dla dowolnego E .

Przykład: E ⊗ E ^∗ jest kanonicznie izomorficzne z wiązką endomorfizmu End( E ), gdzie E ^∗ jest wiązką podwójną E .

Przykład: Wiązka liniowa L ma tensor odwrotny: w rzeczywistości L ⊗ L ^∗ jest (izomorficznie) wiązką trywialną z poprzedniego przykładu, ponieważ End( L ) jest trywialny. Zatem zbiór klas izomorfizmu wszystkich wiązek linii w pewnej przestrzeni topologicznej X tworzy grupę abelową zwaną grupą Picarda z X .

Warianty

można również zdefiniować potęgę symetryczną i potęgę zewnętrzną wiązki wektorów. Na przykład sekcja ${\ Displaystyle \ Lambda ^ {p} T ^ {*} M}$ jest różniczkową postacią p , a sekcja ${\ Displaystyle \ Lambda ^ {p}T^{*}M\otimes E}$ jest różniczkową postacią p z wartościami w wiązce wektorowej E .

Zobacz też

• Iloczyn tensorowy modułów

Notatki

• Hatcher, wiązki wektorowe i teoria K