Dualność (matematyka)

Aby zapoznać się z właściwością problemów optymalizacyjnych, zobacz Duality (optymalizacja) .

W matematyce dualność przekłada pojęcia, twierdzenia lub struktury matematyczne na inne pojęcia, twierdzenia lub struktury, w sposób jeden do jednego , często (ale nie zawsze) za pomocą operacji inwolucji : jeśli liczba podwójna A to B , wtedy liczba podwójna B to A . Takie inwolucje mają czasami stałe punkty , tak że liczba podwójna A jest samym A. Na przykład twierdzenie Desarguesa jest samodualne w tym sensie w ramach standardowej dualności w geometrii rzutowej .

W kontekstach matematycznych dualność ma wiele znaczeń. Został opisany jako „bardzo wszechobecna i ważna koncepcja (nowoczesnej) matematyki” oraz „ważny temat ogólny, który przejawia się w prawie każdej dziedzinie matematyki”.

Wiele dualności matematycznych między obiektami dwóch typów odpowiada parom , funkcjom dwuliniowym z obiektu jednego typu i innego obiektu drugiego typu do pewnej rodziny skalarów. Na przykład dwoistość algebry liniowej odpowiada w ten sposób dwuliniowym mapom od par przestrzeni wektorowych do skalarów, dwoistość między rozkładami i związanymi z nimi funkcjami testowymi odpowiada parowaniu, w którym integruje się rozkład z funkcją testową, a dwoistość Poincarégo odpowiada podobnie do numeru przecięcia , postrzeganego jako parowanie między podrozmaitościami danej rozmaitości.

Z punktu widzenia teorii kategorii , dualność może być również postrzegana jako funktor , przynajmniej w dziedzinie przestrzeni wektorowych. Ten funktor przypisuje każdej przestrzeni jej podwójną przestrzeń, a pullback przypisuje każdej strzałce f : V → W jej podwójną f ^∗ : W ^∗ → V ^∗ .

Przykłady wprowadzające

Według słów Michaela Atiyaha ,

Dualność w matematyce nie jest twierdzeniem, ale „zasadą”.

Poniższa lista przykładów pokazuje wspólne cechy wielu dwoistości, ale wskazuje również, że dokładne znaczenie dwoistości może się różnić w zależności od przypadku.

Uzupełnienie podzbioru

Prosta, być może najprostsza, dualność wynika z rozważania podzbiorów ustalonego zbioru S . Do dowolnego podzbioru A ⊆ S dopełnienie Ac ^w składa się z tych wszystkich elementów w S , które nie są zawarte A . Jest to znowu podzbiór S . Przyjmowanie dopełniacza ma następujące właściwości:

• Dwukrotne zastosowanie zwraca pierwotny zestaw, tj. ( A ^c ) ^c = A . Mówi się o tym, mówiąc, że operacja przyjmowania dopełniacza jest inwolucją .
• Inkluzja zbiorów A ⊆ B zamienia się w inkluzję w przeciwnym kierunku B ^c ⊆ A ^c .
• Bc ^Mając dane dwa podzbiory A i B zbioru S , A jest zawarty w wtedy i tylko wtedy, gdy Ac ^B jest zawarty w .

Ta dwoistość pojawia się w topologii jako dwoistość między otwartymi i zamkniętymi podzbiorami pewnej ustalonej przestrzeni topologicznej X : podzbiór U z X jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie w X jest otwarte. Z tego powodu wiele twierdzeń o zbiorach domkniętych jest dualnych w stosunku do twierdzeń o zbiorach otwartych. Na przykład każda suma zbiorów otwartych jest otwarta, więc podwójnie każde przecięcie zbiorów domkniętych jest domknięte. Wnętrze zbioru jest największym zawartym w nim zbiorem otwartym, a zamknięciem zbioru jest najmniejszy zbiór domknięty, który go zawiera . Ze względu na dualność dopełnienie wnętrza dowolnego zbioru U jest równe domknięciu dopełnienia U .

Podwójny stożek

Zestaw C (niebieski) i jego podwójny stożek C ^* (czerwony).

Dwoistość geometrii zapewnia konstrukcja z podwójnym stożkiem . Biorąc pod $\ mathbb {R} ^ {2}}}$ ), podwójny stożek zestaw punktów na płaszczyźnie $($ lub bardziej ogólnie punkty w $\ Displaystyle$$x_{1},x_{2})}$ zbiór składający się z tych punktów ${*} \ subseteq \ mathbb {R} ^$$^$ satysfakcjonujące

$${\ Displaystyle x_ {1} c_ {1} + x_ {2} c_ {2} \ geq 0}$$

dla wszystkich punktów w $,$ jak pokazano na schemacie ${\ Displaystyle (c_ {1}, c_ {2})$$wspomnianego$ powyżej uzupełnienia zestawów, generalnie nie jest prawdą, że dwukrotne zastosowanie konstrukcji z podwójnym stożkiem przywraca pierwotny zestaw . Zamiast tego jest najmniejszym stożkiem zawierającym , który może być większy niż do $}$${\ displaystyle C$$}$ }

• dwukrotne zastosowanie operacji daje możliwie większy zestaw: dla wszystkich $**}}$ zawarty w do $\ displaystyle C}$ , $\ displaystyle$$C}$ . (Dla niektórych $mianowicie$ stożków, oba są w rzeczywistości równe).

ponieważ

Pozostałe dwie właściwości są przenoszone bez zmian:

• Nadal prawdą jest, że inkluzja zamienia się w inkluzję w przeciwnym kierunku ( ) $Displaystyle$$D ^ {*} \ subseteq C ^ {*$ } .
• $}$$uwagę$ dwa podzbiory płaszczyzny , jest zawarta w i tylko wtedy $gdy$$C$$displaystyle$ jest zawarta w $\ displaystyle C ^ {*}}$ .

Podwójna przestrzeń wektorowa

Bardzo ważny przykład dualności pojawia się w algebrze liniowej przez skojarzenie z dowolną przestrzenią wektorową V jej podwójnej przestrzeni wektorowej V ^* . $K$ są funkcjonały liniowe gdzie jest polem , którym V zdefiniowane . Trzy właściwości podwójnego stożka przenoszą się do tego typu dualności poprzez zastąpienie podzbiorów $przestrzenią wektorową$ inkluzji takich podzbiorów mapami liniowymi To jest:

• Zastosowanie operacji dwukrotnego zabrania podwójnej przestrzeni wektorowej daje kolejną przestrzeń wektorową V ^** . Zawsze istnieje mapa V → V ^** . Dla pewnego V , a dokładnie dla skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych , to odwzorowanie jest izomorfizmem .
• Mapa liniowa V → W daje mapę w przeciwnym kierunku ( W ^* → V ^* ).
• Biorąc pod uwagę dwie przestrzenie wektorowe V i W , odwzorowania od V do W ^* odpowiadają odwzorowaniom od W do V ^* .

Szczególną cechą tej dualności jest to, że V i V ^* są izomorficzne dla pewnych obiektów, mianowicie skończonych wymiarowych przestrzeni wektorowych. Jest to jednak w pewnym sensie szczęśliwy zbieg okoliczności, gdyż nadanie takiego izomorfizmu wymaga pewnego wyboru, na przykład wyboru podstawy V . Jest to również prawdziwe w przypadku, gdy V jest przestrzenią Hilberta , poprzez twierdzenie Riesza o reprezentacji .

Teoria Galois

We wszystkich omówionych powyżej dualnościach dualność przedmiotu jest tego samego rodzaju, co sam przedmiot. Na przykład liczba podwójna przestrzeni wektorowej jest ponownie przestrzenią wektorową. Wiele stwierdzeń o dualności nie jest tego rodzaju. Zamiast tego takie dualności ujawniają ścisły związek między obiektami o pozornie odmiennej naturze. Jednym z przykładów takiej bardziej ogólnej dualności jest teoria Galois . Dla ustalonego rozszerzenia Galois K / F , można powiązać grupę Galois Gal( K / E ) z dowolnym polem pośrednim E (tj. F ⊆ E ⊆ K ). Ta grupa jest podgrupą grupy Galois G = Gal( K / F ) . I odwrotnie, do każdej takiej podgrupy H ⊆ G istnieje stałe pole K ^H składające się z elementów ustalonych przez elementy w H .

W porównaniu z powyższymi, ta dwoistość ma następujące cechy:

• Rozszerzenie F ⊆ F ′ pól pośrednich powoduje włączenie grup Galois w przeciwnym kierunku: Gal( K / F ′) ⊆ Gal( K / F ) .
• Kojarzenie Gal( K / E ) z E i K ^H z H są do siebie odwrotne. Taka jest treść podstawowego twierdzenia teorii Galois .

Dualizm odwracania porządku

Diagram Hassego zbioru mocy {1,2,3,4} , częściowo uporządkowany przez ⊂ . Poset dualny, czyli uporządkowanie według ⊃ , uzyskuje się przez odwrócenie diagramu do góry nogami. Zielone węzły tworzą zbiór górny i dolny w porządku pierwotnym i podwójnym.

Główny artykuł: dualność (teoria porządku)

Biorąc pod uwagę poset P = ( X , ≤) (skrót od częściowo uporządkowanego zestawu, tj. zestawu, który ma pojęcie porządkowania, ale w którym dwa elementy niekoniecznie muszą być umieszczone w kolejności względem siebie), podwójna poset P ^d = ( X , ≥) zawiera ten sam zbiór podstaw, ale odwrotną zależność . Znane przykłady podwójnych zamówień częściowych obejmują

• relacje podzbioru i nadzbioru ⊂ i ⊃ na dowolnym zbiorze zbiorów, takim jak podzbiory ustalonego zbioru S . Daje to początek pierwszemu przykładowi wspomnianej wyżej dwoistości .
• dzielenia i wielokrotności relacji na liczbach całkowitych .
• potomek i przodek relacji na zbiorze ludzi .

Transformacja dualności jest inwolucyjnym antyautomorfizmem f częściowo uporządkowanego zbioru S , czyli inwolucją odwracającą kolejność f : S → S . W kilku ważnych przypadkach te proste właściwości określają transformację jednoznacznie aż do kilku prostych symetrii. Na przykład, jeśli f ₁ , f ₂ są dwiema transformatami dualności, to ich złożenie jest automorfizmem porządku S ; zatem dowolne dwie transformacje dualności różnią się tylko automorfizmem porządku. Na przykład wszystkie automorfizmy rzędu zbioru potęgowego S = 2 ^R są indukowane przez permutacje R .

Pojęcie zdefiniowane dla częściowego rzędu P będzie odpowiadać pojęciu dualnemu na podwójnej pozycji P ^d . Na przykład minimalny element P będzie maksymalnym elementem P d ^: minimalność i maksymalność to pojęcia dualne w teorii porządku. Inne pary pojęć dualnych to górne i dolne granice , dolne zbiory i górne zbiory oraz ideały i filtry .

W topologii zbiory otwarte i zbiory domknięte są koncepcjami dualnymi: dopełnienie zbioru otwartego jest domknięte i odwrotnie. W matroidów rodzina zbiorów komplementarnych do niezależnych zbiorów danej matroidy sama tworzy inną matroidę, zwaną matroidem dualnym .

Dualizm odwracania wymiarów

Cechy sześcianu i jego podwójnego ośmiościanu odpowiadają sobie jeden do jednego z odwróconymi wymiarami.

Istnieje wiele odrębnych, ale wzajemnie powiązanych dualności, w których obiekty geometryczne lub topologiczne odpowiadają innym obiektom tego samego typu, ale z odwróceniem wymiarów cech obiektów. Klasycznym tego przykładem jest dwoistość brył platońskich , w której sześcian i ośmiościan tworzą parę podwójną, dwunastościan i dwudziestościan tworzą parę podwójną, a czworościan jest samodwoisty. Podwójny wielościan któregokolwiek z tych wielościanów może być utworzony jako wypukła powłoka punktów środkowych każdej powierzchni pierwotnego wielościanu, więc wierzchołki podwójnego odpowiadają jeden do jednego ścianom pierwotnego. Podobnie, każda krawędź liczby podwójnej odpowiada krawędzi liczby pierwotnej, a każda ściana liczby podwójnej odpowiada wierzchołkowi liczby pierwotnej. Te odpowiedniki zachowują częstość występowania: jeśli dwie części pierwotnego wielościanu stykają się ze sobą, to samo robią odpowiednie dwie części wielościanu podwójnego . Mówiąc bardziej ogólnie, używając koncepcji odwrotności biegunowej , każdy wypukły wielościan lub bardziej ogólnie dowolny wypukły wielościan odpowiada podwójnemu wielościanowi lub podwójnemu wielościanowi, z i -wymiarową cechą n -wymiarowego wielościanu odpowiadającego an ( n - i - 1) -wymiarowa cecha dualnego polytopu. Zachowujący częstość występowania charakter dualności znajduje odzwierciedlenie w fakcie, że sieci czołowe pierwotnych i podwójnych wielościanów lub polytopów same są dualami opartymi na teorii porządku . Zarówno dualność polytopów, jak i dualność oparta na teorii porządku są inwolucjami : podwójny polytope dualnego polytopu dowolnego polytopu jest oryginalnym polytopem, a dwukrotne odwrócenie wszystkich relacji porządku powraca do pierwotnego porządku. Wybór innego środka biegunowości prowadzi do geometrycznie różnych podwójnych polytopów, ale wszystkie mają tę samą kombinatoryczną strukturę.

Wykres planarny na niebiesko i jego wykres podwójny na czerwono.

Z dowolnego trójwymiarowego wielościanu można utworzyć graf planarny , czyli wykres jego wierzchołków i krawędzi. Podwójny wielościan ma podwójny wykres , wykres z jednym wierzchołkiem dla każdej ściany wielościanu iz jedną krawędzią dla każdych dwóch sąsiednich ścian. Tę samą koncepcję dwoistości grafów planarnych można uogólnić do grafów, które są rysowane na płaszczyźnie, ale które nie pochodzą z trójwymiarowego wielościanu, lub bardziej ogólnie do osadzania grafów na powierzchniach wyższego rodzaju: można narysować graf dualny , umieszczając jeden wierzchołek w każdym regionie ograniczonym cyklem krawędzi w osadzeniu i rysowanie krawędzi łączącej dowolne dwa regiony, które mają wspólną krawędź graniczną. Ważny przykład tego typu pochodzi z geometrii obliczeniowej : dwoistość dla dowolnego skończonego zbioru S punktów na płaszczyźnie między triangulacją Delaunaya S a diagramem Woronoja S . Podobnie jak w przypadku wielościanów podwójnych i wielościanów podwójnych, dwoistość grafów na powierzchniach jest inwolucją odwracającą wymiar: każdy wierzchołek w pierwotnym grafie osadzonym odpowiada regionowi podwójnego osadzenia, każda krawędź w pierwotnym jest przecinana przez krawędź w podwójnym , a każdy region pierwotnego odpowiada wierzchołkowi podwójnego. Wykres podwójny zależy od tego, w jaki sposób osadzony jest graf pierwotny: różne planarne osadzenia pojedynczego wykresu mogą prowadzić do różnych grafów podwójnych. Dualizm matroidów jest algebraicznym rozszerzeniem dwoistości grafu planarnego w tym sensie, że podwójna matroida graficznej matroidy płaskiego wykresu jest izomorficzna z graficzną matroidą podwójnego wykresu.

Rodzaj dualności geometrycznej występuje również w teorii optymalizacji , ale nie takiej, która odwraca wymiary. Program liniowy może być określony przez układ zmiennych rzeczywistych (współrzędne punktu w przestrzeni euklidesowej $,$ układ ograniczeń liniowych (określających, że punkt leży półprzestrzeń ; przecięcie tych półprzestrzeni jest wypukłym polytopem, możliwym regionem programu) i funkcją liniową (co optymalizować) . Każdy program liniowy ma problem dualny z tym samym optymalnym rozwiązaniem, ale zmienne w problemie dualnym odpowiadają ograniczeniom w problemie pierwotnym i odwrotnie.

Dualność w logice i teorii mnogości

W logice funkcje lub relacje A i B są uważane za dualne, jeśli A (¬ x ) = ¬ B ( x ) , gdzie ¬ jest logiczną negacją . Podstawową dualnością tego typu jest dualność kwantyfikatorów ∃ i ∀ w logice klasycznej. Są podwójne, ponieważ ∃ x .¬ P ( x ) i ¬∀ x . P ( x ) są równoważne dla wszystkich predykatów P w logice klasycznej: jeśli istnieje x , dla którego P nie jest spełnione, to fałszem jest, że P zachodzi dla wszystkich x (ale odwrotność nie jest konstruktywna). Z tej fundamentalnej logicznej dwoistości wynika kilka innych:

• Mówi się, że formuła jest spełnialna w pewnym modelu, jeśli istnieją przypisania do jej zmiennych wolnych , które czynią ją prawdziwą; jest poprawne , jeśli każde przypisanie do jego zmiennych wolnych powoduje, że jest to prawda. Spełnialność i ważność są podwójne, ponieważ nieważne formuły to dokładnie te, których negacje są spełnialne, a formuły niespełnialne to te, których negacje są ważne. Można to postrzegać jako szczególny przypadek poprzedniej pozycji, z kwantyfikatorami obejmującymi różne interpretacje.
• W logice klasycznej operatory ∧ i ∨ są w tym sensie dualne, ponieważ (¬ x ∧ ¬ y ) i ¬( x ∨ y ) są równoważne. Oznacza to, że dla każdego twierdzenia logiki klasycznej istnieje równoważne twierdzenie dualne. Prawa De Morgana są przykładami. Bardziej ogólnie, ∧ (¬ x _ja ) = ¬ ∨ x _ja . Lewa strona jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ i .¬ x _i , a prawa strona wtedy i tylko wtedy, gdy ¬∃ i . x _ja .
• W logice modalnej □ p oznacza , że ​​zdanie p jest „koniecznie” prawdziwe, a ◊ p , że p jest „prawdopodobnie” prawdziwe. Większość interpretacji logiki modalnej przypisuje tym dwóm operatorom podwójne znaczenie. Na przykład w semantyce Kripkego „ p jest prawdopodobnie prawdziwe” oznacza „istnieje jakiś świat W taki, że p jest prawdziwe w W ”, podczas gdy „ p jest koniecznie prawdziwe” oznacza „dla wszystkich światów W , p jest prawdziwe w W ”. Dualność □ i ◊ wynika zatem z analogicznej dualności ∀ i ∃ . Inne operatory dual modalne zachowują się podobnie. Na przykład logika temporalna ma operatory oznaczające „będą prawdziwe w pewnym momencie w przyszłości” i „będą prawdziwe przez cały czas w przyszłości”, które są podobnie podwójne.

Z nich wynikają inne analogiczne dwoistości:

• Unia i przecięcie w teorii mnogości są podwójne pod operatorem dopełnienia zbioru ⋅ ^C . To znaczy ZA do ^∩ B do ⁼ ( ZA ∪ B ) ^do , a bardziej ogólnie ∩ ZA
  ^do _α = ( ∪ ZA _α ) ^do . Wynika to z dualizmu ∀ i ∃ : element x należy do ∩ A
  ^C _α wtedy i tylko wtedy, gdy ∀ α .¬ x ∈ A _α , oraz należy do ( ∪ A _α ) ^C wtedy i tylko wtedy, gdy ¬ ∃ α . x ∈ ZA _α .

Podwójne obiekty

Grupę dualności można opisać, nadając dowolnemu obiektowi matematycznemu X zbiór morfizmów Hom ( X , D ) pewnemu ustalonemu obiektowi D , o strukturze podobnej do struktury X . Jest to czasami nazywane wewnętrznym Hom . Ogólnie rzecz biorąc, daje to prawdziwą dwoistość tylko dla określonych wyborów D , w którym to przypadku X * ⁼ Hom ( X , D ) jest określane jako dualność X . Zawsze istnieje mapa od X do bidualnego , to znaczy dualnego dualnego,

$${\ Displaystyle X \ do X ^ {**}: = (X ^ {*}) ^ {*} = \ nazwa operatora {Hom} (\ nazwa operatora {Hom} (X, D), D).}$$

Przypisuje pewnemu x ∈ X odwzorowaniu, które wiąże się z dowolnym odwzorowaniem f : X → D (tj. elementowi w Hom( X , D ) ) wartość f ( x ) . W zależności od rozważanej konkretnej dualności, a także w zależności od obiektu X , ta mapa może, ale nie musi, być izomorfizmem.

Ponownie omówiono podwójne przestrzenie wektorowe

Konstrukcja podwójnej przestrzeni wektorowej

$${\ Displaystyle V ^ {*} = \ nazwa operatora {Hom} (V, K)}$$

wspomniany we wstępie jest przykładem takiej dwoistości. Rzeczywiście, zbiór morfizmów, tj. odwzorowań liniowych , sam w sobie tworzy przestrzeń wektorową. Wspomniana powyżej mapa V → V ^{** jest zawsze iniekcyjna.} Jest suriekcją, a zatem izomorfizmem, wtedy i tylko wtedy, gdy wymiar V jest skończony . Fakt ten charakteryzuje skończenie wymiarowe przestrzenie wektorowe bez odniesienia do bazy.

Izomorfizmy V i V ^∗ oraz przestrzenie iloczynów wewnętrznych

Przestrzeń wektorowa V jest izomorficzna z V ^∗ dokładnie wtedy, gdy V jest skończenie wymiarowa. W tym przypadku taki izomorfizm jest równoważny niezdegenerowanej postaci dwuliniowej

$${\ Displaystyle \ varphi: V \ razy V \ do K}$$

W tym przypadku V nazywamy przestrzenią iloczynu wewnętrznego . Na przykład, jeśli K jest ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych , każda dodatnio określona postać dwuliniowa powoduje taki izomorfizm. W geometrii riemannowskiej V jest przestrzenią styczną rozmaitości i takie dodatnie formy dwuliniowe nazywane są metrykami riemannowskimi . Ich celem jest mierzenie kątów i odległości. Zatem dwoistość jest fundamentalną podstawą tej gałęzi geometrii. Innym zastosowaniem przestrzeni iloczynu wewnętrznego jest gwiazda Hodge'a , która zapewnia zgodność między elementami zewnętrznej algebry . Dla n -wymiarowej przestrzeni wektorowej operator gwiazdy Hodge'a odwzorowuje k -formy na ( n - k ) -formy. Można to wykorzystać do sformułowania równań Maxwella . W tym przebraniu dwoistość nieodłącznie związana z wewnętrzną przestrzenią produktu zamienia rolę magnetycznych i elektrycznych .

Dualność w geometrii rzutowej

Kompletny czworokąt , konfiguracja czterech punktów i sześciu linii na płaszczyźnie rzutowej (po lewej) oraz jego konfiguracja podwójna, kompletny czworobok, z czterema liniami i sześcioma punktami (po prawej).

W niektórych płaszczyznach rzutowych można znaleźć przekształcenia geometryczne , które odwzorowują każdy punkt płaszczyzny rzutowej na prostą, a każdą linię płaszczyzny rzutowej na punkt, w sposób zachowujący incydencję. Dla takich płaszczyzn powstaje ogólna zasada dwoistości w płaszczyznach rzutowych : mając dowolne twierdzenie w takiej geometrii rzutowej takiej płaszczyzny, zamiana terminów „punkt” i „linia” wszędzie skutkuje nowym, równie ważnym twierdzeniem. Prostym przykładem jest to, że stwierdzenie „dwa punkty wyznaczają niepowtarzalną linię, linia przechodząca przez te punkty” zawiera podwójne stwierdzenie, że „dwie linie wyznaczają unikalny punkt, punkt przecięcia tych dwóch prostych”. Aby uzyskać więcej przykładów, zobacz Twierdzenia dualne .

Konceptualne wyjaśnienie tego zjawiska w niektórych płaszczyznach (zwłaszcza płaszczyznach pola) oferuje dualna przestrzeń wektorowa. W rzeczywistości punkty na płaszczyźnie rzutowej $Displaystyle$ jednowymiarowym przestrzeniom podwektorowym $V \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {$$W {\ displaystyle V}$ podczas gdy linie w płaszczyźnie rzutowej odpowiadają przestrzeniom podwektorowym $rzutowych$ wynika z przypisania do jednowymiarowej podprzestrzeni ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {3}) ^ {*}}$ składający się z tych map liniowych ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {3} \ do \ mathbb { R} }$ , które spełniają ${\ displaystyle f (V) = 0}$ . W konsekwencji wzoru na wymiar algebry liniowej przestrzeń ta jest dwuwymiarowa, tj. odpowiada linii na płaszczyźnie rzutowej związanej z ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {3}) ^{*}}$ .

Forma dwuliniowa (pozytywnie określona).

$${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ cdot \ rangle: \ mathbb {R} ^ {3 }\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,\langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{3}x_{i}y_{i}}$$

daje identyfikację tej płaszczyzny rzutowej z ${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {2}}$ . $\ left\{w\in \mathbb {R} ^{3},\langle v,w\rangle =0{\text{dla wszystkich}}v\in V\right\}}$ dualność przypisuje ortogonalnemu ${$ { \ . Wyraźne formuły w dualności w geometrii rzutowej powstają za pomocą tej identyfikacji.

Topologiczne przestrzenie wektorowe i przestrzenie Hilberta

W dziedzinie topologicznych przestrzeni wektorowych istnieje podobna konstrukcja, zastępując dualną topologiczną dualną przestrzenią wektorową. Istnieje kilka pojęć topologicznej przestrzeni dualnej, a każde z nich rodzi określone pojęcie dualności. Topologiczna przestrzeń wektorowa , która jest kanonicznie izomorficzna z jej bidualem, $X}$ jest przestrzenią zwrotną : $displaystyle$

$${\ Displaystyle X \ cong X ''.}$$

Przykłady:

• Podobnie jak w przypadku skończonych wymiarów, na każdej przestrzeni Hilberta H jej iloczyn wewnętrzny ⟨⋅, ⋅⟩ definiuje mapę
  $${\ Displaystyle H \ do H ^ {*}, v \ mapsto (w \ mapsto \ langle w, v \ rangle),}$$
  co jest bijekcją ze względu na twierdzenie Riesza o reprezentacji . W konsekwencji każda przestrzeń Hilberta jest refleksyjną przestrzenią Banacha .
• dualna normalizowana L ^p przestrzeni L to L ^q , gdzie 1/ p + 1/ q = 1 pod warunkiem, że 1 ≤ p < ∞ , ale liczba dualna . ^∞ jest większa niż L ¹ Stąd L ¹ nie jest zwrotny.
• Rozkłady są funkcjonałami liniowymi na odpowiednich przestrzeniach funkcji. Są ważnym środkiem technicznym w teorii równań różniczkowych cząstkowych (PDE): zamiast bezpośredniego rozwiązywania PDE, może być łatwiej najpierw rozwiązać PDE w „słabym sensie”, tj. znaleźć rozkład, który spełnia PDE i , po drugie, aby pokazać, że rozwiązanie musi w rzeczywistości być funkcją. Wszystkie standardowe przestrzenie dystrybucji - ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} '(U)}$ , ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R } ^ {n})}$ , $\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (U)'}$ - są zwrotnymi przestrzeniami lokalnie wypukłymi.

Dalsze podwójne obiekty

Podwójna siatka kraty L jest dana przez

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Hom} (L, \ mathbf {Z}),}$$

który jest używany w konstrukcji rozmaitości torycznych . Podwójna liczba Pontryagina lokalnie zwartych grup topologicznych G jest dana wzorem

$${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (G, S ^ {1}),}$$

ciągłe homomorfizmy grupowe z wartościami w kole (z mnożeniem liczb zespolonych jako operacją grupową).

Podwójne kategorie

Główny artykuł: Dual (teoria kategorii)

Kategoria przeciwna i funktory sprzężone

W innej grupie dualności obiekty jednej teorii są tłumaczone na obiekty innej teorii, a odwzorowania między obiektami w pierwszej teorii są tłumaczone na morfizmy w drugiej teorii, ale z odwróconym kierunkiem. Używając żargonu teorii kategorii , równa się to funktorowi kontrawariantnemu między dwiema kategoriami C i D :

F : C → D

co dla dowolnych dwóch obiektów X i Y z C daje mapę

Dom _C ( X , Y ) → Dom _D ( fa ( Y ), F ( X ))

Ten funktor może, ale nie musi, być równoważnością kategorii . Istnieją różne sytuacje, w których takim funktorem jest równoważność między przeciwstawną kategorią C ^op z C , a D . Używając dualności tego typu, każde stwierdzenie z pierwszej teorii można przetłumaczyć na stwierdzenie „podwójne” z drugiej teorii, w której kierunek wszystkich strzałek musi zostać odwrócony. Dlatego jakakolwiek dwoistość między kategoriami C i D jest formalnie taka sama jak równoważność między ( ^C i Dop C op ⁱ D ) . Jednak w wielu okolicznościach przeciwstawne kategorie nie mają własnego znaczenia, co sprawia, że ​​dwoistość jest dodatkowym, odrębnym pojęciem.

Kategoria, która jest równoważna swojej dualności, nazywana jest self-dual . Przykładem samodualnej kategorii jest kategoria przestrzeni Hilberta .

Wiele pojęć teorii kategorii występuje w parach w tym sensie, że odpowiadają sobie nawzajem, biorąc pod uwagę przeciwną kategorię. Na przykład iloczyny kartezjańskie Y ₁ × Y ₂ i sumy rozłączne Y ₁ ⊔ Y ₂ zbiorów są dualne w tym sensie, że

Hom ( X , Y ₁ × Y ₂ ) = Hom ( X , Y ₁ ) × Hom ( X , Y ₂ )

I

Hom ( Y ₁ ⊔ Y ₂ , X ) = Hom ( Y ₁ , X ) × Hom ( Y ₂ , X )

dla dowolnego zbioru X. Jest to szczególny przypadek bardziej ogólnego zjawiska dwoistości, w ramach którego granice w kategorii C odpowiadają kolimitom w przeciwnej ^kategorii Cop ; innymi konkretnymi przykładami tego są epimorfizmy a monomorfizm , w szczególności moduły czynnikowe (lub grupy itp.) a submoduły , iloczyny bezpośrednie a sumy bezpośrednie (zwane także koproduktami w celu podkreślenia aspektu dwoistości). Dlatego w niektórych przypadkach dowody pewnych stwierdzeń można zmniejszyć o połowę, wykorzystując takie zjawisko dualności. Dalszymi pojęciami wykazującymi pokrewieństwo przez taką kategoryczną dwoistość są moduły rzutowe i iniekcyjne w algebrze homologicznej , fibracje i kofibracje w topologii i bardziej ogólnie kategorie modeli .

Dwa funktory F : C → D i G : D → C są połączone , jeśli dla wszystkich obiektów c w C i d w D

Hom _re (F ( do ), re ) ≅ Hom _do ( do , sol ( re )) ,

w naturalny sposób. W rzeczywistości zgodność granic i współograniczeń jest przykładem sprzężeń, ponieważ istnieje sprzężenie

colim: C ^I ↔ C : Δ

między funktorem colimit, który przypisuje dowolnemu diagramowi w C indeksowanemu przez pewną kategorię I jego colimit, a funktorem diagonalnym, który odwzorowuje dowolny obiekt c z C na diagram stałych, który ma c we wszystkich miejscach. Podwójnie,

Δ: do ↔ do ^ja : granica .

Przestrzenie i funkcje

Dualność Gelfanda to dualność między przemiennymi C*-algebrami A i zwartymi przestrzeniami Hausdorffa X jest taka sama: przypisuje X przestrzeń funkcji ciągłych (które znikają w nieskończoności) od X do C , liczb zespolonych. I odwrotnie , przestrzeń X można zrekonstruować z A jako widmo A . Zarówno dwoistość Gelfanda, jak i Pontriagina można wydedukować w dużej mierze formalny, oparty na teorii kategorii sposób.

W podobny sposób istnieje dwoistość w geometrii algebraicznej między pierścieniami przemiennymi a schematami afinicznymi : dla każdego pierścienia przemiennego A istnieje widmo afiniczne, Spec A . _I odwrotnie, biorąc pod uwagę schemat afiniczny S , otrzymujemy pierścień, biorąc globalne sekcje snopka struktury OS . Ponadto homomorfizmy pierścieni odpowiadają jeden do jednego z morfizmami schematów afinicznych, a tym samym istnieje równoważność

(Pierścienie przemienne) ^op ≅ (schematy afiniczne)

Schematy afiniczne to lokalne bloki konstrukcyjne schematów . Poprzedni wynik mówi zatem, że lokalna teoria schematów jest tym samym, co algebra przemienna , nauka o pierścieniach przemiennych.

Geometria nieprzemienna czerpie inspirację z dualizmu Gelfanda i bada nieprzemienne C*-algebry, tak jakby były funkcjami w jakiejś wyimaginowanej przestrzeni. Dualizm Tannaka-Kreina jest nieprzemiennym odpowiednikiem dualizmu Pontriagina.

Galois połączenia

W wielu sytuacjach dwie kategorie, które są względem siebie dualne, w rzeczywistości wynikają ze zbiorów częściowo uporządkowanych , tj. istnieje pojęcie, że obiekt „jest mniejszy” niż inny. Dualność, która respektuje omawiane uporządkowania, jest znana jako połączenie Galois . Przykładem jest wspomniana we wstępie standardowa dualność w teorii Galois : większe rozszerzenie pola odpowiada — zgodnie z odwzorowaniem, które przypisuje dowolnemu rozszerzeniu L ⊃ K (wewnątrz jakiegoś ustalonego większego pola Ω) grupie Galois Gal (Ω / L ) — mniejsza grupa.

Zbiór wszystkich otwartych podzbiorów przestrzeni topologicznej X tworzy kompletną algebrę Heytinga . Istnieje dwoistość, znana jako dwoistość Kamienia , łącząca trzeźwe przestrzenie i lokalizacje przestrzenne .

• Twierdzenie Birkhoffa o reprezentacji odnoszące się do sieci rozdzielczych i rzędów częściowych

dualność Pontriagina

Dualizm Pontryagina daje dwoistość w kategorii lokalnie zwartych grup abelowych : biorąc pod uwagę każdą taką grupę G , grupa znaków

χ( G ) = Hom ( G , S ¹ )

dane przez ciągłe homomorfizmy grupowe od G do grupy kołowej S ¹ można wyposażyć w topologię zwarto-otwartą . Dualizm Pontryagina stwierdza, że ​​​​grupa znaków jest ponownie lokalnie zwartym abelem i tyle

sol ≅ χ(χ( sol )).

Ponadto dyskretne grupy odpowiadają zwartym grupom abelowym ; grupy skończone odpowiadają grupom skończonym. Z jednej strony Pontryagin jest szczególnym przypadkiem dwoistości Gelfanda. Z drugiej strony jest to koncepcyjny powód analizy Fouriera , patrz poniżej.

Dualizmy analityczne

W analizie problemy często rozwiązuje się przechodząc do dualnego opisu funkcji i operatorów.

Transformata Fouriera przełącza między funkcjami w przestrzeni wektorowej i jej podwójną:

$${\ Displaystyle {\ widehat {f}} (\ xi): = \ int _ {- \ infty} ^ {\infty}f(x)\ e^{-2\pi ix\xi}\,dx,}$$

i odwrotnie

$${\ Displaystyle f (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ widehat {f}} (\ xi) \ e ^ {2 \ pi ix \ xi} \, d \ xi.}$$

Jeśli f jest funkcją L ² na R lub R ^N , powiedzmy, to tak jest ${\ Displaystyle {\ widehat {f}}}$ i ${\ Displaystyle f ( -x)={\widehat {\widehat {f}}}(x)}$ . Ponadto transformacja zamienia operacje mnożenia i splotu na odpowiednich przestrzeniach funkcyjnych . Konceptualne wyjaśnienie transformaty Fouriera uzyskuje się dzięki wspomnianej wyżej dualności Pontryagina, zastosowanej do lokalnie zwartych grup R (lub RN itp.): ^dowolny znak R jest dany przez ξ ↦ e ^{−2 πixξ} . Dualizujący charakter transformaty Fouriera ma wiele innych przejawów, na przykład w alternatywnych opisach mechaniki kwantowej w kategoriach reprezentacji współrzędnych i pędu.

• Transformata Laplace'a jest podobna do transformaty Fouriera i zamienia operatory mnożenia przez wielomiany z liniowymi operatorami różniczkowymi o stałym współczynniku .
• Transformacja Legendre'a jest ważną dualnością analityczną, która przełącza między prędkościami w mechanice Lagrange'a a pędami w mechanice Hamiltona .

Homologia i kohomologia

Twierdzenia pokazujące, że pewne obiekty będące przedmiotem zainteresowania są przestrzeniami dualnymi (w sensie algebry liniowej) innych obiektów będących przedmiotem zainteresowania, często nazywane są dualnościami . Wiele z tych dwoistości wynika z dwuliniowego parowania dwóch przestrzeni K -wektorowych

ZA ⊗ B → K. _

Dla doskonałych par istnieje zatem izomorfizm A z dualnością B .

dualność Poincarégo

Dualność Poincarégo gładkiej zwartej rozmaitości zespolonej X jest dana przez sparowanie kohomologii osobliwej ze współczynnikami C (równoważnie, kohomologia snopka stałego snopka C )

Hi ^ja (X) ⊗ H. ^{2 n - ja} (X) → do ,

gdzie n jest (zespolonym) wymiarem X . Dualizm Poincarégo można również wyrazić jako relację homologii pojedynczej i kohomologii de Rhama , twierdząc, że mapa

${\ Displaystyle (\ gamma, \ omega) \ mapsto \ int _ {\ gamma} \ omega}$

(całkowanie różniczkowej k -formy po 2 n - k- (rzeczywistym)-wymiarowym cyklu) jest idealnym parowaniem.

Dualizm Poincarégo odwraca również wymiary; odpowiada to faktowi, że jeśli rozmaitość topologiczna jest reprezentowana jako kompleks komórek , to liczba podwójna kompleksu (wyższe wymiarowe uogólnienie grafu planarnego dualnego) reprezentuje tę samą rozmaitość. W dualności Poincarégo ten homeomorfizm znajduje odzwierciedlenie w izomorfizmie k -tej grupy homologicznej i ( n − k )-tej grupy kohomologicznej .

Dualność w geometrii algebraicznej i arytmetycznej

Ten sam wzorzec dualności obowiązuje dla gładkiej rozmaitości rzutowej na rozłącznie zamkniętym polu , przy użyciu kohomologii l-adycznej ze współczynnikami Q _ℓ . Jest to dalej uogólniane na prawdopodobnie pojedyncze odmiany , używając zamiast tego kohomologii przecięć , dualności zwanej dualnością Verdiera . Serre duality lub spójna dualność są podobne do powyższych stwierdzeń, ale zamiast tego odnoszą się do kohomologii spójnych snopów .

Okazuje się, że wraz ze wzrostem ogólności, do zrozumienia tych twierdzeń pomocna lub konieczna jest coraz większa wiedza techniczna: współczesne sformułowanie tych dualności można przeprowadzić za pomocą kategorii pochodnych oraz pewnych bezpośrednich i odwrotnych funktorów obrazowych snopów ( w odniesieniu do klasyczna topologia analityczna na rozmaitościach dla dualności Poincarégo, snopy l-adyczne i topologia étale w drugim przypadku oraz w odniesieniu do spójnych snopów dla dualności koherentnej).

Jeszcze inną grupę podobnych stwierdzeń dualności spotyka się w arytmetyce : kohomologia etalna pól skończonych , lokalnych i globalnych (znana również jako kohomologia Galois , ponieważ kohomologia etalna nad polem jest równoważna kohomologii grupowej (absolutnej) grupy Galois pola) przyznać się do podobnych par. Na przykład bezwzględna grupa Galois G ( fa _q ) pola skończonego jest izomorficzna z $Z$ całkowitymi , skończonym zakończeniem Z Dlatego idealne połączenie (dla dowolnego modułu G M )

H ⁿ ( sol , M ) × H ^{1− n} ( sol , Hom ( M , Q / Z )) → Q / Z

jest bezpośrednią konsekwencją dualizmu Pontriagina grup skończonych. W przypadku pól lokalnych i globalnych istnieją podobne stwierdzenia ( dualizm lokalny i dualizm globalny lub dualizm Poitou – Tate ).

Zobacz też

• Funktor sprzężony
• Kategoria autonomiczna
• Podwójna odmiana abelowa
• Podwójna podstawa
• Podwójny (teoria kategorii)
• Podwójny kod
• Dualność (inżynieria elektryczna)
• Dualność (optymalizacja)
• Moduł dualizujący
• Snop dualizujący
• Podwójna krata
• Podwójna norma
• Liczby podwójne , pewna algebra asocjacyjna ; termin „podwójny” jest tutaj synonimem podwójnego i nie ma związku z pojęciami podanymi powyżej.
• Podwójny system
• Dwoistość koszulska
• Podwójny Langlands
• Programowanie liniowe #Dwoistość
• Lista dualności
• dualność Matlisa
• dualność Petriego
• dualność Pontriagina
• S-dwoistość
• T-dwoistość , lustrzana symetria

Notatki

Dwoistość w ogóle

• Atiyah, Michael (2007). „Duality w matematyce i fizyce notatki z wykładów z Institut de Matematica de la Universitat de Barcelona (IMUB)” (PDF) .
• Kostrikin, AI (2001) [1994], „Duality” , Encyklopedia matematyki , EMS Press .
• Gowers, Timothy (2008), „III.19 Duality”, The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, s. 187–190 .
•    Cartier, Pierre (2001), „Praca szalonego dnia: od Grothendiecka do Connesa i Kontsevicha. Ewolucja koncepcji przestrzeni i symetrii” , Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , New Series, 38 (4): 389–408, doi : 10.1090/S0273-0979-01-00913-2 , ISSN 0002-9904 , MR 1848254 (nietechniczny przegląd kilku aspektów geometrii, w tym dwoistości)

Dualność w topologii algebraicznej

• James C. Becker i Daniel Henry Gottlieb, Historia dualności w topologii algebraicznej

Specyficzne dualności

• Artstein-Avidan, Shiri ; Milman, Vitali (2008), „Koncepcja dualności dla rzutów miarowych ciał wypukłych”, Journal of Functional Analysis , 254 (10): 2648–66, doi : 10.1016/j.jfa.2007.11.008 . Również strona autorska .
• Artstein-Avidan, Shiri; Milman, Vitali (2007), „Charakterystyka pojęcia dwoistości” , Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences , 14 : 42–59, zarchiwizowane z oryginału w dniu 2011-07-24 , pobrane 2009-05-30 . Również strona autorska .
•   Dwyer, William G .; Spaliński, Jan (1995), „Teorie homotopii i kategorie modeli” , Handbook of algebraic topology , Amsterdam: North-Holland, s. 73–126, MR 1361887
•   Fulton, William (1993), Wprowadzenie do odmian torycznych , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-00049-7
•    Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Zasady geometrii algebraicznej , Wiley Classics Library, Nowy Jork: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9 , MR 1288523
•   Hartshorne, Robin (1966), Reszty i dwoistość , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 20, Springer-Verlag , s. 20–48, ISBN 978-3-540-34794-1
•     Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157 , OCLC 13348052
•    Iversen, Birger (1986), Kohomologia snopów , Universitext, Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3 , MR 0842190
•    Joyal, Andrzej ; Street, Ross (1991), „Wprowadzenie do dualności Tannaki i grup kwantowych” (PDF) , teoria kategorii , notatki z wykładów z matematyki, tom. 1488, Springer-Verlag , s. 413–492, doi : 10.1007/BFb0084235 , ISBN 978-3-540-46435-8 , MR 1173027
•    Lam, Tsit-Yuen (1999), Wykłady o modułach i pierścieniach , Graduate Texts in Mathematics, tom. 189, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5 , MR 1653294
•    Lang, Serge (2002), Algebra , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 211, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556
• Loomis, Lynn H. (1953), Wprowadzenie do abstrakcyjnej analizy harmonicznej , D. Van Nostrand, s. x+190, hdl : 2027/uc1.b4250788
•   Mac Lane, Saunders (1998), Kategorie dla pracującego matematyka (wyd. 2), Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98403-2
•    Mazur, Barry (1973), „Notatki o kohomologii etale pól liczbowych”, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 6 (4): 521–552, doi : 10.24033/asens.1257 , ISSN 0012-9593 , MR 0344254
•   Milne, James S. (1980), kohomologia Étale , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7
•    Milne, James S. (2006), arytmetyczne twierdzenia o dualności (wyd. 2), Charleston, Karolina Południowa: BookSurge, LLC, ISBN 978-1-4196-4274-6 , MR 2261462
•    Negrepontis, Joan W. (1971), „Dwoistość w analizie z punktu widzenia trójek”, Journal of Algebra , 19 (2): 228–253, doi : 10.1016/0021-8693 (71) 90105-0 , ISSN 0021-8693 , MR 0280571
•   Veblen, Oswald ; Young, John Wesley (1965), Geometria rzutowa. tomy. 1, 2 , Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co., MR 0179666
•    Weibel, Charles A. (1994), Wprowadzenie do algebry homologicznej , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55987-4 , MR 1269324
•   Edwardsa, RE (1965). Analiza funkcjonalna. Teoria i zastosowania . Nowy Jork: Holt, Rinehart i Winston. ISBN 0030505356 .