Funkcja uderzenia

Wykres funkcji wypukłości ${\ Displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mapsto \ Psi (r)}$ , gdzie ${\ Displaystyle R = \ lewo (x ^ {2} + y ^ {2} \ prawo) ^ {1/2}}$ i ${\ Displaystyle \ Psi (r) = e ^ {- 1 / (1-r ^ {2})} \ cdot \ mathbf {1} _ {\ {| r | <1 \}}.}$

W matematyce funkcja wypukłości (zwana także funkcją testową ) jest funkcją w przestrzeni euklidesowej ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ , który jest zarówno gładki (w sensie posiadania ciągłych pochodnych wszystkich rzędów), jak i zwarty . Zbiór wszystkich funkcji wypukłości z dziedziną tworzy przestrzeń wektorową , oznaczoną do ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} R n {\$${n}} infty } (\mathbb {R} ^{n})}$ R lub ${\ Displaystyle \ operatorname {C} _ {\ operatorname {c}} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}).} Przestrzeń$ dualna tej przestrzeni obdarzonej odpowiednią topologią jest przestrzenią rozkładów .

Przykłady

Funkcja wypukłości 1d Ψ( x ).

Funkcja podana przez ${\ Displaystyle \ Psi: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$

$${\ Displaystyle \ Psi (x) = {\ rozpocząć {przypadki} \ exp \ lewo (- {\ frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}$$

jest przykładem funkcji wypukłości w jednym wymiarze. Z konstrukcji jasno wynika, że ​​ta funkcja ma podporę zwartą, ponieważ funkcja prostej rzeczywistej ma podporę zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy ma podporę ograniczoną domkniętą. Dowód gładkości przebiega w ten sam sposób, jak w przypadku powiązanej funkcji omówionej w dotyczącym nieanalitycznej funkcji gładkiej . Funkcję tę można zinterpretować jako funkcję Gaussa $:$ na dysku jednostkowym ${\ Displaystyle y ^ {2} = {1} / {\ lewo (1-x ^ {2} \ prawej)}}$ odpowiada wysłaniu ${\ Displaystyle x = \ pm 1}$ do ${\ displaystyle y = \ infty.}$

Prosty przykład (kwadratowej) funkcji wypukłości w $uzyskuje$ się, biorąc iloczyn kopii powyższej funkcji wypukłości w jednej zmiennej, więc ${\ displaystyle n}$

$${\ Displaystyle \ Phi (x_ {1}, x_ {2}, \ kropki, x_ {n}) = \ psi (x_ {1}) \ psi (x_ {2}) \ cdots \ psi (x_ {n} ).}$$

Istnienie funkcji wypukłości

Ilustracja zestawów w konstrukcji.

Możliwe jest konstruowanie funkcji wypukłości „według specyfikacji”. Stwierdzone $_$ jeśli $jest$ dowolnym $wymiarach$ zwartym w $.$ jest otwartym zawierającym istnieje $funkcja$$displaystyle U.}$ który znajduje się na zewnątrz $K}$${\ displaystyle$ i ${\ displaystyle 0}$$\$ Ponieważ przyjąć, że jest to bardzo małe sąsiedztwo ${\ displaystyle K},$ oznacza to, że można skonstruować funkcję, która jest na ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle 1}$ i szybko spada do ${\ displaystyle 0}$ poza ${\ displaystyle K},$ a jednocześnie jest płynny.

Budowa przebiega w następujący sposób. $Rozważa$ się zwarte zawarte w $V$$V \ subseteq U.}$$.$$1}$ Funkcja charakterystyczna będzie równa $\ chi _ {V}}$ Displaystyle $Displaystyle V}$$\$ na ${\ Displaystyle V}$ i ${\ Displaystyle 0}$ poza ${\ Displaystyle V},$ więc w szczególności będzie to ${\ Displaystyle 1}$ na ${\ Displaystyle K}$ i ${\ Displaystyle 0 }$ poza ${\ displaystyle U.}$ Ta funkcja nie jest jednak płynna. $.$$ideą$ jest nieco wygładzenie biorąc splot _ _ Ta ostatnia jest po prostu funkcją wypukłości z bardzo małym wsparciem, której całka wynosi $1.$ środek zmiękczający można uzyskać na przykład, biorąc funkcję wypukłości z poprzedniej sekcji ${\ displaystyle \ Phi}$ i wykonanie odpowiednich skalowań.

Alternatywna konstrukcja, która nie obejmuje splotu, jest teraz szczegółowo opisana. Zacznij $znika na ujemnych liczbach rzeczywistych i jest$ gładkiej funkcji $\ displaystyle c = 0}$ na dodatnich liczbach rzeczywistych (to znaczy na ${\ Displaystyle (- \ infty, 0)}$ i do $\ Displaystyle c> 0}$ na ${\ Displaystyle (0, \ infty)}$ gdzie ciągłość od lewej wymaga ${\ Displaystyle c (0) = 0}$ ); przykładem takiej funkcji jest ${\ Displaystyle c (x): = e ^ {- 1/x}}$ dla ${\ Displaystyle x> 0}$ i ${\ displaystyle c (x): = 0}$ inaczej. $n$ otwarty podzbiór R $\ Displaystyle \ mathbb {R} ^$$n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ i oznacz zwykłą euklidesową przez ( jest wyposażony w zwykłą metrykę euklidesową ). Następująca konstrukcja $}$ gładką funkcję $U.}$ dodatnia na ${\ Displaystyle$ znika $displaystyle$ W szczególności, jeśli $, to$ funkcja będzie funkcją wypukłości.

Jeśli ${\ Displaystyle U = \ mathbb {R} ^ {n}},$ to niech ${\ Displaystyle f = 1}$ , a jeśli ${\ Displaystyle U = \ varnothing}$ , to niech ${ \displaystyle f=0}$ ; więc załóżmy, $żadnym$ z nich. Niech ${\ Displaystyle \ lewo (U_ {k} \ prawej) _ {k = 1} ^ {\ infty}}$$będzie$ otwartą osłoną piłek, gdzie otwarta piłka $}$ promień ${\ displaystyle r_ {k}> 0$${\ Displaystyle a_ {k} \ w U.}$ środek Następnie mapa ${\ Displaystyle f_ {k}: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R}}$ zdefiniowana przez ${\ Displaystyle f_ {k} (x) = c \ lewo (r_ {k} ^ {2} - \ lewo \ | xa_ {k}\right\|^{2}\right)}$ jest gładką funkcją, która jest dodatnia na ${\ displaystyle U_ {k}}$ i znika poza ${\ Displaystyle U_ {k}.}$ Dla każdego ${\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ niech

$${\ Displaystyle M_ {k} = \ sup \ lewo \ {\ lewo | {\ frac {\częściowe ^{p}f_{k}}{\częściowe ^{p_{1}}x_{1}\cdots \częściowe ^{p_{n}}x_{n}}}(x)\right|~ :~x\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ and }}p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} {\text{spełnia }}0\leq p_{i}\leq k{\text{ i }}p=\suma _{i}p_{i}\right\},}$$

gdzie to $U$ nie ${\ Displaystyle \ lewo (\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus U_ {k} \ prawej) \ kubek {\ overline {U_ {k}}} = \ mathbb {R} ^ {n},}$ ( więc nieujemną liczbą rzeczywistą $)$ wszystkie pochodne cząstkowe znikają (równe $)$ w dowolnym $\ Displaystyle$ poza $U_ {k},}$ podczas gdy na zbiorze zwartym ${\ displaystyle {\ overline {U_{k}}},}$ wartości każdej z (skończenie wielu) pochodnych cząstkowych są (jednostajnie) ograniczone od góry przez pewną nieujemną liczbę rzeczywistą. Serie

$${\ Displaystyle f: = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {f_ {k}}} {2 ^ {k} M_ { k}}}}$$

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ do gładkiej funkcji ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R}}$ to jest dodatnie na ${\ displaystyle U}$ i znika poza ${\ Displaystyle U.}$ Co więcej, dla dowolnych nieujemnych liczb całkowitych ${\ Displaystyle p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ in \ mathbb {Z}}$

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {p_ {1} + \ cdots + p_ {n}}} {\ częściowe ^ {p_ {1}} x_ {1} \ cdots \ częściowe ^ {p_ {n }}x_{n}}}f=\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {1}{2^{k}M_{k}}}{\frac {\częściowe ^{p_ {1}+\cdots +p_{n}}f_{k}}{\częściowo ^{p_{1}}x_{1}\cdots \częściowo ^{p_{n}}x_{n}}}}$$

gdzie ten szereg również zbiega się jednostajnie na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ (ponieważ ilekroć ${\ Displaystyle k \ geq p_ {1} + \ cdots + p_ { n}}$ wtedy wartość bezwzględna ^{tego terminu wynosi} $2 ^ {k} M_ {k }}}={\frac {1}{2^{k}}}} )$$\ Frac {M_ {k}}$ .

${\ Displaystyle f_ {A}, f_ {B}: \ mathbb {R} ^ {n} \ do [0, \ infty)} takie, że$ rezultacie, biorąc pod uwagę dwa rozłączne zamknięte podzbiory $\$$\ mathbb {R} ^ {n}}$ Displaystyle gładkie nieujemne funkcje dla dowolnego ${\ Displaystyle x \ in \mathbb {R} ^ {n},}$${\ Displaystyle f_ {A} (x) = 0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle x \ w A}$ i podobnie, ${\ Displaystyle f_ {B} (x) = 0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle x \ in B}$ wtedy funkcja ${\ Displaystyle f: = {\ Frac {f_ {A}} {f_ {A} + f_ {B}}}: \ mathbb {R} ^ {n} \ do [0,1 ]}$ jest gładka i dla dowolnego ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle f (x) = 0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle x \ w A,}$${\ Displaystyle f (x) = 1}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle x \ w B,}$ i ${\ Displaystyle 0 <f (x) <1}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle x \ nie \ w A \ kubek B.}$ W szczególności ${\ Displaystyle f (x) \ neq 0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle x \ in \mathbb {R} ^{n}\ smallsetminus A,}$ więc jeśli dodatkowo ${\ Displaystyle U: = \ mathbb {R} ^ {n} \ smallsetminus A}$ jest stosunkowo zwarty w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ (gdzie implikuje ${\ Displaystyle A \ czapka B = \ varnothing}$${\ Displaystyle B \ subseteq U}$ ) następnie ${\ Displaystyle f }$ będzie gładką funkcją wypukłości z obsługą w ${\ Displaystyle {\ overline {U}}.}$

Właściwości i zastosowania

Chociaż funkcje wypukłości są gładkie, nie mogą być analityczne , chyba że znikają identycznie . Jest to prosta konsekwencja twierdzenia o tożsamości . Funkcje wypukłości są często używane jako zmiękczacze , jako gładkie funkcje odcięcia i do tworzenia gładkich podziałów jedności . Są najpowszechniejszą klasą funkcji testowych używanych w analizie. Przestrzeń funkcji wypukłości jest domknięta przy wielu operacjach. Na przykład suma, iloczyn lub splot dwóch funkcji wypukłości jest ponownie funkcją wypukłości, a każdy operator różniczkowy z gładkimi współczynnikami zastosowany do funkcji wypukłości da inną funkcję wypukłości.

Jeśli granice dziedziny funkcji wypukłości są $granicach$ aby spełnić wymóg „gładkości”, musi on zachować ciągłość wszystkich swoich pochodnych, co prowadzi do następującego wymogu na domena:

$${\ Displaystyle \ lim _ {x \ do \ częściowe x ^ {\ pm}} {\ Frac {d ^ {n}}{dx^{n}}}f(x)=0,\,{\text{ dla wszystkich }}n\geq 0,\,n\in \mathbb {Z} }$$

Transformata Fouriera funkcji wypukłości jest (rzeczywistą) funkcją analityczną i można ją rozszerzyć na całą płaszczyznę zespoloną: stąd nie można jej obsłużyć zwięźle, chyba że wynosi zero, ponieważ jedyną całą analityczną funkcją wypukłości jest funkcja zero (patrz Twierdzenie Paleya-Wienera i twierdzenie Liouville'a ). Ponieważ funkcja wypukłości jest różniczkowalna w nieskończoność, $jej$ transformata Fouriera musi zanikać szybciej niż jakakolwiek skończona potęga częstotliwości ${\ displaystyle | k |}$ . Transformata Fouriera określonej funkcji wypukłości

$${\ Displaystyle \ Psi (x) = e ^ {- 1 / (1-x ^ {2})} \ mathbf {1} _ {\ {| x | <1 \}}}$$

z góry można analizować metodą punktu siodłowego i rozpada się asymptotycznie jako

$${\ Displaystyle | k | ^ {-3/4} e ^ {- {\ sqrt {| k |}}}}$$

dla dużych ${\ displaystyle | k |}$ .

Zobacz też

• Funkcja odcięcia – węższa Strona wyświetlająca opisy wikidanych jako rozwiązanie awaryjne
• Laplacian wskaźnika – Granica ciągu funkcji gładkich
• Nieanalityczna funkcja gładka - funkcje matematyczne, które są gładkie, ale nie analityczne
• Przestrzeń Schwartza - Przestrzeń funkcyjna wszystkich funkcji, których pochodne szybko maleją

Cytaty

•    Nestruev, Jet (10 września 2020). Gładkie rozmaitości i obserwable . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 220. Cham, Szwajcaria: Springer Nature . ISBN 978-3-030-45649-8 . OCLC 1195920718 .