Zmiękczacz

Mollifier (u góry) w wymiarze pierwszym. Na dole na czerwono jest funkcja z narożnikiem (po lewej) i ostrym skokiem (po prawej), a na niebiesko jest jej złagodzona wersja.

W matematyce mollifiers (znane również jako przybliżenia tożsamości ) to gładkie funkcje o specjalnych właściwościach, używane na przykład w teorii dystrybucji do tworzenia sekwencji gładkich funkcji przybliżających funkcje niegładkie (uogólnione) poprzez splot . Intuicyjnie, biorąc pod uwagę funkcję, która jest raczej nieregularna, poprzez splatanie jej ze środkiem zmiękczającym funkcja zostaje „zmiękczona”, to znaczy jej ostre cechy są wygładzone, pozostając jednocześnie blisko pierwotnej funkcji niewygładzonej (uogólnionej).

Znane są również jako mollifiers Friedrichs po Kurcie Otto Friedrichsie , który je wprowadził.

Notatki historyczne

Upłynniacze zostały wprowadzone przez Kurta Otto Friedrichsa w jego artykule ( Friedrichs 1944 , s. 136–139), który jest uważany za przełomowy we współczesnej teorii równań różniczkowych cząstkowych . Nazwa tego obiektu matematycznego miała ciekawą genezę, a Peter Lax opowiada całą historię w swoim komentarzu do tego artykułu opublikowanym w " Selecta " Friedrichsa. Według niego, w tamtym czasie matematyk Donald Alexander Flanders był kolegą Friedrichsa: ponieważ lubił konsultować się z kolegami na temat używania języka angielskiego, poprosił Flandersa o radę, jak nazwać operator wygładzania, którego używał. Flandria była purytanin , nazwany przez swoich przyjaciół Moll na cześć Moll Flanders w uznaniu jego zalet moralnych: zasugerował nazwanie nowej koncepcji matematycznej „ mollifierem ” jako gra słów zawierająca zarówno pseudonim Flandrii, jak i czasownik „ ułagodzić ”, co oznacza „wygładzić 'w sensie przenośnym.

Wcześniej Siergiej Sobolew używał środków zmiękczających w swoim artykule z 1938 roku, który zawiera dowód twierdzenia Sobolewa o osadzeniu : sam Friedrichs potwierdził pracę Sobolewa nad środkami zmiękczającymi, stwierdzając, że: - „ Te środki zmiękczające zostały wprowadzone przez Sobolewa i autora… ”.

Należy zauważyć, że termin „mollifier” przeszedł językowy dryf od czasów tych fundamentalnych prac: Friedrichs zdefiniował jako „ mollifier ” operator całkowy , którego jądro jest jedną z funkcji zwanych obecnie mollifierami. Ponieważ jednak właściwości liniowego operatora całkowego są całkowicie określone przez jego jądro, nazwa mollifier została odziedziczona przez samo jądro w wyniku powszechnego użycia.

Definicja

Funkcja podlegająca postępującej molifikacji.

Nowoczesna (oparta na dystrybucji) definicja

Jeśli jest gładką funkcją na ℝ ⁿ , n ≥ 1, spełniającą następujące trzy wymagania ${\ displaystyle \ varphi}$

jest obsługiwany kompaktowo

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \! \ varphi (x) \ operatorname {d} x = 1}$

${\ Displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ do 0} \ varphi _ {\ epsilon} (x) = \ lim _ {\ epsilon \ do 0} \ epsilon ^ {- n} \ varphi (x / \ epsilon) = \delta (x)}$

gdzie jest funkcją delta Diraca $i$ należy $środkiem$ przestrzeni rozkładów Schwartza to zmiękczającym . Funkcja $dalsze warunki: na$ , jeśli spełnia

${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle (x)}$ ≥ 0 dla wszystkich x ∈ ℝ ⁿ , wtedy nazywa się to pozytywnym środkiem zmiękczającym

${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle (x)}$ = ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle (| x |)}$ dla jakiejś nieskończenie różniczkowalnej funkcji ${\ Displaystyle \ mu}$ : ℝ ⁺ → ℝ, wtedy nazywa się to symetrycznym mollifierem

Uwagi dotyczące definicji Friedrichsa

Uwaga 1 . Kiedy teoria dystrybucji nie była $a$ ani używana, powyższa własność (3) została sformułowana, mówiąc, że splot funkcji z daną funkcją należącą do właściwa przestrzeń Hilberta lub Banacha zbiega się jako ε → 0 do tej funkcji: dokładnie to zrobił Friedrichs . Wyjaśnia to również, dlaczego mollifiers są powiązane z przybliżonymi tożsamościami .

Uwaga 2 . Jak krótko wskazano w sekcji „ Uwagi historyczne ” tego wpisu, pierwotnie termin „mollifier” identyfikował następujący operator splotu :

$\ Displaystyle \ Phi _ {\ epsilon} (f) (x) = \ int _ {\ mathbb {R } ^{n}}\varphi _{\epsilon }(xy)f(y)\mathrm {d} y}$

gdzie ${\ Displaystyle \ varphi _ {\ epsilon} (x) = \ epsilon ^ {- n} \ varphi (x / \ epsilon)}$ i ${\ displaystyle \varphi }$ jest funkcją gładką spełniającą pierwsze trzy warunki podane powyżej oraz jeden lub więcej warunków dodatkowych, takich jak pozytywność i symetria.

Konkretny przykład

Rozważ funkcję wypukłości zmiennej w ℝ ⁿ zdefiniowanej przez φ $\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle (x)}$

${\ Displaystyle \ varphi (x) = {\ rozpocząć {przypadki} e ^ {- 1 / (1- | x | ^ {2})} / I_ {n} & {\ tekst {jeśli}} | x |<1\\0&{\text{ if }}|x|\geq 1\end{przypadki}}}$

gdzie stała $normalizację$ . Ta funkcja jest różniczkowalna w nieskończoność, nieanalityczna ze znikającą pochodną dla | x | = 1 . $} może być zatem używany jako$$varphi$$, jak opisano$ : widać, że dodatni i symetryczny środek zmiękczający .

Funkcja w wymiarze pierwszym ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle (x)}$

Nieruchomości

Wszystkie właściwości mollifiera są związane z jego zachowaniem podczas operacji splotu : wymieniamy następujące, których dowody można znaleźć w każdym tekście z teorii dystrybucji .

Właściwości wygładzające

Dla dowolnej dystrybucji $rodzina$ zwojów indeksowana przez liczbę rzeczywistą ${\ displaystyle \ epsilon}$

${\ Displaystyle T _ {\ epsilon} = T \ ast \ varphi _ {\ epsilon}}$

gdzie $splot$ , jest rodziną funkcji gładkich .

Zbliżenie tożsamości

Dla dowolnego rozkładu $następująca$ rodzina zwojów indeksowana przez $się$ rzeczywistą zbiega do $displaystyle T}$

${\ Displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ do 0} T_ {\ epsilon} = \ lim _ {\ epsilon \ do 0 } T\ast \varphi _{\epsilon }=T\w D^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$

Wsparcie splotu

Dla dowolnej dystrybucji ${\ displaystyle T$ }

${\ Displaystyle \ operatorname {supp} T _ {\ epsilon} = \ operatorname {supp} ( T\ast \varphi _{\epsilon})\subset \mathrm {supp} T+\mathrm {supp} \varphi _{\epsilon }}$

gdzie $dystrybucji$ wsparcie sensie , a $.$ dodatek _

Aplikacje

Podstawowym zastosowaniem mollifierów jest udowodnienie, że właściwości ważne dla gładkich funkcji są również ważne w sytuacjach niegładkich:

Produkt dystrybucji

W niektórych teoriach funkcji uogólnionych mollifiers są używane do definiowania $T}$ rozkładów : dokładnie, biorąc pod uwagę dwa rozkłady i $displaystyle$ , granicę iloczynu funkcji gładkiej i rozkładu S {\ displaystyle S}

${\ Displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ do 0} S _ {\ epsilon} \ cdot T = \ lim _ {\ epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }{\overset {\mathrm {def} }{=}}S\cdot T}$

definiuje (jeśli istnieje) ich iloczyn w różnych teoriach funkcji uogólnionych .

Twierdzenia „słaby = silny”.

Bardzo nieformalnie, mollifiery są używane do udowodnienia tożsamości dwóch różnych rodzajów rozszerzeń operatorów różniczkowych: silnego rozszerzenia i słabego rozszerzenia . Artykuł ( Friedrichs 1944 ) dość dobrze ilustruje tę koncepcję: jednak duża liczba szczegółów technicznych potrzebnych do pokazania, co to naprawdę oznacza, uniemożliwia ich formalne uszczegółowienie w tym krótkim opisie.

Płynne funkcje odcięcia

Przez splot funkcji charakterystycznej kuli jednostkowej ${\ Displaystyle B_ {1} = \ {x: | x | <1 \}}$ z funkcją wygładzania (zdefiniowaną jak w (3) ${\ Displaystyle \ varphi _ {1/2}}$ z ) otrzymuje się funkcję ${\ Displaystyle \ epsilon = 1/2}$

${\ Displaystyle \ chi _ {B_ {1}, 1/2} (x) =\chi _{B_{1}}\ast \varphi _{1/2}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{ 1}}(xy)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}} (xy)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\ponieważ \ \mathrm {supp} (\varphi _{1/2})=B_{1/2}) }$

$\}}$ jest płynną funkcją równą $1}$ na ${\ Displaystyle B_ {3/2} = \ {x: | x | <3/2 \}}$ ze wsparciem zawartym w . Można to łatwo zobaczyć, obserwując, że jeśli ${\ Displaystyle | x |}$ ≤ ${\ Displaystyle 1/2}$ i ${\ Displaystyle | y|}$ ≤ ${\ Displaystyle 1/2}$ to ${\ Displaystyle | xy |}$ ≤ ${\ Displaystyle 1}$ . Stąd dla ${\ Displaystyle | x |}$ ≤ ${\ Displaystyle 1/2}$ ,

${\ Displaystyle \ int _ {B_ {1/ 2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(xy)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}} \!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1}$ .

Można zobaczyć, jak tę konstrukcję można uogólnić, aby uzyskać gładką funkcję identyczną z funkcją w sąsiedztwie danego zbioru zwartego i równą zeru w każdym punkcie, którego odległość od tego zbioru jest większa niż dana ${\ displaystyle \ epsilon}$ . Taka funkcja nazywana jest (gładką) funkcją odcięcia : funkcje te służą do eliminowania osobliwości danej ( uogólnionej ) funkcji przez mnożenie . Pozostawiają niezmienioną wartość ( uogólnione ) mnożą tylko na danym zbiorze , modyfikując w ten sposób jego podporę : również funkcje odcinające są podstawowymi częściami gładkich podziałów jedności .

Zobacz też

• Przybliżona tożsamość
• Funkcja uderzenia
• Skręt
• Dystrybucja (matematyka)
• Funkcja uogólniona
• Kurta Otto Friedrichsa
• Nieanalityczna funkcja gładka
• Siergiej Sobolew
• Transformata Weierstrassa

Notatki

•     Friedrichs, Kurt Otto (styczeń 1944), „Tożsamość słabych i silnych rozszerzeń operatorów różniczkowych”, Transactions of the American Mathematical Society , 55 (1): 132–151, doi : 10.1090 / S0002-9947-1944-0009701- 0 , JSTOR 1990143 , MR 0009701 , Zbl 0061.26201 . Pierwsza praca, w której wprowadzono środki zmiękczające.
•    Friedrichs, Kurt Otto (1953), „O różniczkowalności rozwiązań liniowych eliptycznych równań różniczkowych” , Communications on Pure and Applied Mathematics , VI (3): 299–326, doi : 10,1002 / cpa.3160060301 , MR 0058828 , Zbl 0051.32703 , zarchiwizowane od oryginału w dniu 05.01.2013 . Praca poświęcona różniczkowalności rozwiązań eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych jest badany za pomocą środków zmiękczających.
•    Friedrichs, Kurt Otto (1986), Morawetz, Cathleen S. (red.), Selecta , Contemporary Mathematicians, Boston- Basel - Stuttgart : Birkhäuser Verlag , s. 427 (t. 1), s. 608 (t. 2), ISBN 0-8176-3270-0 , Zbl 0613.01020 . Wybór dzieł Friedrichsa z biografią i komentarzami Davida Isaacsona , Fritza Johna , Tosio Kato , Petera Laxa , Louisa Nirenberga , Wolfgaga Wasowa, Harolda Weitznera .
•     Giusti, Enrico (1984), Minimalne powierzchnie i funkcje ograniczonych wariacji , Monografie z matematyki, tom. 80, Bazylea - Boston - Stuttgart : Birkhäuser Verlag, s. xii+240, ISBN 0-8176-3153-4 , MR 0775682 , Zbl 0545.49018 .
•     Hörmander, Lars (1990), Analiza liniowych operatorów różniczkowych cząstkowych I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, tom. 256 (wyd. 2), Berlin - Heidelberg - Nowy Jork : Springer-Verlag , ISBN 0-387-52343-X , MR 1065136 , Zbl 0712.35001 .
•   Sobolev, Sergei L. (1938), "Sur un théorème d'analyse fonctionnelle" , Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik) (w języku rosyjskim i francuskim), 4 (46) (3): 471–497, Zbl 0022.14803 . Artykuł, w którym Siergiej Sobolew udowodnił swoje twierdzenie o osadzeniu , wprowadzając i używając operatorów całkowych bardzo podobnych do mollifierów, bez ich nazywania.