Równanie różniczkowe cząstkowe

Wizualizacja rozwiązania dwuwymiarowego równania ciepła z temperaturą reprezentowaną przez kierunek pionowy i kolor.

W matematyce równanie różniczkowe cząstkowe ( PDE ) jest równaniem , które narzuca relacje między różnymi pochodnymi cząstkowymi funkcji wielu zmiennych .

Funkcja jest często traktowana jako „nieznana” do rozwiązania, podobnie jak x jest uważana za nieznaną liczbę do rozwiązania w równaniu algebraicznym, takim jak x ² - 3 x + 2 = 0 . Jednak zwykle nie jest możliwe zapisanie jednoznacznych wzorów na rozwiązania równań różniczkowych cząstkowych. W związku z tym istnieje ogromna liczba współczesnych badań matematycznych i naukowych dotyczących metod numerycznego przybliżania rozwiązań niektórych równań różniczkowych cząstkowych przy użyciu komputerów. Równania różniczkowe cząstkowe również zajmują duży sektor czysto matematyczne badania , w których zwykłe pytania dotyczą, ogólnie rzecz biorąc, identyfikacji ogólnych cech jakościowych rozwiązań różnych równań różniczkowych cząstkowych, takich jak istnienie, jednoznaczność, regularność i stabilność. Wśród wielu otwartych pytań jest istnienie i płynność rozwiązań równań Naviera-Stokesa , uznanych za jeden z problemów nagrody milenijnej w 2000 roku.

Równania różniczkowe cząstkowe są wszechobecne w matematycznie zorientowanych dziedzinach nauki, takich jak fizyka i inżynieria . Na przykład są fundamentalne we współczesnym naukowym rozumieniu dźwięku , ciepła , dyfuzji , elektrostatyki , elektrodynamiki , termodynamiki , dynamiki płynów , elastyczności , ogólnej teorii względności i mechaniki kwantowej ( równanie Schrödingera , równanie Pauliego itp.). Wynikają one również z wielu czysto matematycznych rozważań, takich jak geometria różniczkowa i rachunek wariacyjny ; wśród innych godnych uwagi zastosowań są podstawowym narzędziem w dowodzie hipotezy Poincarégo z topologii geometrycznej .

Częściowo ze względu na tę różnorodność źródeł istnieje szerokie spektrum różnych typów równań różniczkowych cząstkowych i opracowano metody radzenia sobie z wieloma indywidualnymi równaniami, które się pojawiają. W związku z tym zwykle uznaje się, że nie ma „ogólnej teorii” równań różniczkowych cząstkowych, a wiedza specjalistyczna jest w pewnym stopniu podzielona między kilka zasadniczo odrębnych dziedzin.

Równania różniczkowe zwyczajne tworzą podklasę równań różniczkowych cząstkowych, odpowiadających funkcjom pojedynczej zmiennej. Stochastyczne równania różniczkowe cząstkowe i równania nielokalne są od 2020 r. Szczególnie szeroko badanymi rozszerzeniami pojęcia „PDE”. Bardziej klasyczne tematy, nad którymi wciąż prowadzi się wiele aktywnych badań, obejmują eliptyczne i paraboliczne równania różniczkowe cząstkowe, mechanikę płynów , równania Boltzmanna i dyspersyjne równania różniczkowe cząstkowe.

Wstęp

Mówi się, że funkcja u ( x , y , z ) trzech zmiennych jest „ harmoniczna ” lub „rozwiązaniem równania Laplace'a ”, jeśli spełnia warunek

$$\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe y ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} { \częściowo z^{2}}}=0.}$$

Takie funkcje były szeroko badane w XIX wieku ze względu na ich znaczenie dla mechaniki klasycznej , na przykład równowagowy rozkład temperatury jednorodnej bryły jest funkcją harmoniczną. Jeśli funkcja jest jawnie dana, zwykle wystarczy proste obliczenie, aby sprawdzić, czy jest ona harmoniczna. Na przykład

$${\ Displaystyle u (x, y, z) = {\ Frac {1} {\ sqrt {x ^ {2} -2x+y^{2}+z^{2}+1}}}}$$

I

$${\ Displaystyle u (x, y, z) = 2x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}}$$

oba są harmoniczne while

$${\ Displaystyle u (x, y, z) = \ sin (xy) + z}$$

nie jest. Może być zaskakujące, że dwa podane przykłady funkcji harmonicznych mają tak uderzająco różne formy. Jest to odzwierciedleniem faktu, że nie są one w żaden bezpośredni sposób obydwoma przypadkami szczególnymi „ogólnego wzoru na rozwiązanie” równania Laplace'a. Stanowi to uderzający kontrast w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych (ODE), z grubsza podobnych do równania Laplace'a, a celem wielu podręczników wprowadzających było znalezienie algorytmów prowadzących do ogólnych wzorów rozwiązań. Dla równania Laplace'a, podobnie jak dla dużej liczby równań różniczkowych cząstkowych, takie wzory rozwiązań nie istnieją.

Naturę tego niepowodzenia można zobaczyć bardziej konkretnie w przypadku następującego PDE: dla funkcji v ( x , y ) dwóch zmiennych rozważ równanie

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} v} {\ częściowe x \ częściowe y}} = 0.}$$

Można bezpośrednio sprawdzić, że każda funkcja v postaci v ( x , y ) = f ( x ) + g ( y ) dla dowolnych funkcji f i g z jedną zmienną spełni ten warunek. To znacznie wykracza poza opcje dostępne w formułach rozwiązań ODE, które zazwyczaj pozwalają na swobodny wybór niektórych liczb. W badaniu PDE na ogół ma się wolny wybór funkcji.

Charakter tego wyboru różni się od PDE do PDE. Aby zrozumieć to dla dowolnego równania, twierdzenia o istnieniu i jedyności są zwykle ważnymi zasadami organizacyjnymi. W wielu podręcznikach wprowadzających rola twierdzeń o istnieniu i jednoznaczności dla ODE może być nieco nieprzejrzysty; połowa istnienia jest zwykle zbędna, ponieważ można bezpośrednio sprawdzić dowolną proponowaną formułę rozwiązania, podczas gdy połowa unikalności jest często obecna tylko w tle, aby zapewnić, że proponowana formuła rozwiązania jest jak najbardziej ogólna. Z kolei w przypadku PDE twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności są często jedynymi środkami, za pomocą których można poruszać się po mnóstwie różnych dostępnych rozwiązań. Z tego powodu są one również fundamentalne przy przeprowadzaniu symulacji czysto numerycznej, ponieważ trzeba mieć rozeznanie, jakie dane ma przepisać użytkownik, a jakie pozostawić do obliczenia komputerowi.

Aby omówić takie twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności, konieczne jest precyzyjne określenie dziedziny „ nieznanej funkcji”. Inaczej mówiąc tylko w kategoriach typu „funkcja dwóch zmiennych” niemożliwe jest sensowne sformułowanie wyników. Oznacza to, że dziedzinę nieznanej funkcji należy traktować jako część struktury samego PDE.

Poniżej przedstawiono dwa klasyczne przykłady takich twierdzeń o istnieniu i jednoznaczności. Chociaż te dwa PDE są tak podobne, istnieje uderzająca różnica w zachowaniu: w przypadku pierwszego PDE jeden ma swobodną receptę na jedną funkcję, podczas gdy w przypadku drugiego PDE ma swobodną receptę na dwie funkcje.

• Niech B oznacza dysk o promieniu jednostkowym wokół początku płaszczyzny. Dla dowolnej funkcji ciągłej U na okręgu jednostkowym istnieje dokładnie jedna funkcja u na B taka, że
  $${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe x ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u}{\częściowo ^{2}}}=0}$$
  i którego ograniczenie do okręgu jednostkowego jest określone przez U .
• Dla dowolnych funkcji f i g na rzeczywistej prostej R istnieje dokładnie jedna funkcja u na R × (−1, 1) taka, że
  $${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe x ^ {2}}} - {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u}{\częściowo ^{2}}}=0}$$
  i gdzie u ( x , 0) = fa ( x ) i ∂ u / ∂ y ( x , 0) = g ( x ) dla wszystkich wartości x .

Możliwych jest jeszcze więcej zjawisk. Na przykład następujące PDE , pojawiające się naturalnie w dziedzinie geometrii różniczkowej , ilustruje przykład, w którym istnieje prosty i całkowicie wyraźny wzór rozwiązania, ale z wolnym wyborem tylko trzech liczb i ani jednej funkcji.

• Jeśli u jest funkcją na R ² z
  $${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x}} {\ Frac {\ Frac {\ częściowy u} {\ częściowy x}} {\ sqrt {1+ \ lewo ({\ frac {\ częściowy u} {\częściowe x}}\right)^{2}+\left({\frac {\częściowe u}{\częściowe y}}\right)^{2}}}}+{\frac {\częściowe}}{ \częściowy y}}{\frac {\frac {\częściowy u}{\częściowy y}}{\sqrt {1+\left({\frac {\częściowy u}{\częściowy x}}\right)^{ 2}+\lewo({\frac {\częściowo u}{\częściowo y}}\prawo)^{2}}}}=0,}$$
  wtedy są liczby a , b i c gdzie u ( x , y ) = ax + przez + c .

W przeciwieństwie do wcześniejszych przykładów, to PDE jest nieliniowe dzięki pierwiastkom kwadratowym i kwadratom. Liniowe PDE to takie, że jeśli jest jednorodne, suma dowolnych dwóch rozwiązań jest również rozwiązaniem, a każda stała wielokrotność dowolnego rozwiązania jest również rozwiązaniem .

Dobra postawa

Dobra postawa odnosi się do wspólnego schematycznego pakietu informacji o PDE. Aby powiedzieć, że PDE jest dobrze ustawiony, trzeba mieć:

• twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności, stwierdzające, że przez przepisanie pewnych dowolnie wybranych funkcji można wyróżnić jedno konkretne rozwiązanie PDE
• stale zmieniając wolne wybory, ciągle zmienia się odpowiednie rozwiązanie

Jest to, ze względu na konieczność zastosowania do kilku różnych PDE, nieco niejasne. W szczególności wymóg „ciągłości” jest niejednoznaczny, ponieważ zwykle istnieje wiele nierównoważnych środków, za pomocą których można go rygorystycznie zdefiniować. Jednak badanie PDE bez określenia sposobu, w jaki jest dobrze ustawione, jest dość niezwykłe.

Metoda energetyczna

Metoda energetyczna jest procedurą matematyczną, której można użyć do sprawdzenia prawidłowości problemów z początkowymi wartościami granicznymi. W poniższym przykładzie metoda energetyczna jest używana do decydowania, gdzie i jakie warunki brzegowe należy nałożyć, aby wynikowy IBVP był dobrze ustawiony. Rozważ jednowymiarowe hiperboliczne PDE podane przez

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe t}} + \ alfa {\ Frac {\ częściowe u }{\częściowy x}}=0,\quad x\in [a,b],t>0,}$$

gdzie $=$ i $x$ nieznaną $_ \displaystyle u(x,0)=f(x)}$ . Mnożenie przez $całkowanie$ po domenie daje

$$\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} u {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe t}}\mathrm {d} x+\alpha \int _{a}^{b}u{\frac {\częściowe u}{\częściowe x}}\mathrm {d} x=0.}$$

Używając tego

$${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} u {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe t}} \ operatorname {d} x = {\ Frac {1} {2}} {\ Frac {\ częściowe }{\częściowe t}}\|u\|^{2}\quad {\text{i}}\quad \int _{a}^{b}u{\frac {\częściowe u}{\częściowe x}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}u(b,t)^{2}-{\frac {1}{2}}u(a,t)^{2 },}$$

gdzie całkowanie przez części zastosowano dla drugiej zależności, otrzymujemy

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy t}} \|u \|^ {2}+\alfa u(b,t)^{2}-\alfa u(a,t)^{2}=0.}$$

Tutaj $\|}$ | \ $cdot$ standardową . Dla dobrego pozycjonowania wymagamy, aby energia rozwiązania nie rosła, tj. ${\ textstyle {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} \|u \|^{ 2} \ równoważnik 0}$ , co osiąga się przez określenie ${\ displaystyle u}$ w ${\ displaystyle x = a},$ jeśli ${\ displaystyle \ alpha > 0}$ i o ${\ displaystyle x = b}$ jeśli ${\ displaystyle \ alpha <0}$ . Odpowiada to jedynie narzuceniu warunków brzegowych na dopływie. Zauważ, że dobre ustawienie pozwala na wzrost pod względem danych (początkowych i granicznych), a zatem wystarczy pokazać, że ${\ textstyle {\ frac {\ częściowe}} {\ częściowe t}} \ |u\|^{2}\leq 0}$ obowiązuje, gdy wszystkie dane są ustawione na zero.

Istnienie rozwiązań lokalnych

Cauchy'ego -Kowalskiego dla problemów z wartością początkową Cauchy'ego zasadniczo stwierdza, że ​​​​jeśli wszystkie wyrazy w równaniu różniczkowym cząstkowym składają się z funkcji analitycznych i spełniony jest pewien warunek transwersalności (hiperpłaszczyzna lub bardziej ogólnie hiperpowierzchnia, na której stawiane są dane początkowe, musi być niecharakterystyczna w odniesieniu do operatora różniczkowego cząstkowego), to w pewnych obszarach koniecznie istnieją rozwiązania, które są również funkcjami analitycznymi. Jest to fundamentalny wynik w badaniu analitycznych równań różniczkowych cząstkowych. Co zaskakujące, twierdzenie to nie obowiązuje przy ustalaniu funkcji gładkich; przykład odkryty przez Hansa Lewy'ego w 1957 składa się z liniowego równania różniczkowego cząstkowego, którego współczynniki są gładkie (tj. mają pochodne wszystkich rzędów), ale nie analityczne, dla którego nie istnieje żadne rozwiązanie. Tak więc twierdzenie Cauchy'ego-Kowalewskiego jest z konieczności ograniczone w swoim zakresie do funkcji analitycznych.

Klasyfikacja

Notacja

Podczas pisania PDE powszechne jest oznaczanie pochodnych cząstkowych za pomocą indeksów dolnych. Na przykład:

$${\ Displaystyle u_ {x} = {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe x}}, \ quad u_ {xx} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe x ^ {2}}}, \ quad u_ {xy} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe y \, \ częściowe x}} = {\ frac {\ częściowe} {\ częściowe y}} \ lewo ({\frac {\częściowy u} {\częściowy x}}\po prawej).}$$

W ogólnej sytuacji, gdy u jest funkcją n zmiennych, to uij oznacza drugą _ui oznacza _pochodną pierwszą pochodną cząstkową względem i -tego wejścia, cząstkową względem i -tych i j -tych danych wejściowych i tak dalej.

Grecka litera Δ oznacza operatora Laplace'a ; jeśli u jest funkcją n zmiennych, to

$${\ Displaystyle \ delta u = u_ {11} + u_ {22} + \ cdots + u_ {nn}.}$$

W literaturze fizyki operator Laplace'a jest często oznaczany przez ∇ ² ; w literaturze matematycznej ∇ 2 ^u może również oznaczać macierz Hesji u .

Równania pierwszego rzędu

Główny artykuł: Równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu

Równania liniowe i nieliniowe

Równania liniowe

PDE jest nazywane liniowym , jeśli jest liniowe w nieznanej i jej pochodnych. Na przykład dla funkcji u od x i y liniowa PDE drugiego rzędu ma postać

$${\ Displaystyle a_ {1} (x, y) u_ {xx} + a_ {2} (x, y) u_ {xy} + a_ {3} (x, y) u_ {yx} + a_ {4} (x, y) u_ {yy} + a_ {5} (x, y) u_ {x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)}$$

gdzie a _są i f tylko funkcjami zmiennych niezależnych. (Często mieszane pochodne cząstkowe u _xy i u _yx będą zrównywane, ale nie jest to wymagane do dyskusji o liniowości.) Jeśli a i _są stałymi (niezależnymi od x i y ), to PDE nazywa się liniowym ze stałymi współczynnikami . Jeśli f wszędzie wynosi zero, to liniowe PDE jest jednorodne , w przeciwnym razie jest niejednorodne . (Jest to niezależne od asymptotycznej homogenizacji , która bada wpływ oscylacji o wysokiej częstotliwości we współczynnikach na rozwiązania PDE).

Równania nieliniowe

Trzy główne typy nieliniowych PDE to półliniowe PDE, quasiliniowe PDE i całkowicie nieliniowe PDE.

Najbliższe liniowym PDE są półliniowe PDE, w których tylko pochodne najwyższego rzędu pojawiają się jako wyrażenia liniowe, ze współczynnikami będącymi funkcjami zmiennych niezależnych. Pochodne niższego rzędu i nieznana funkcja mogą pojawiać się dowolnie. Na przykład ogólna półliniowa PDE drugiego rzędu w dwóch zmiennych to

$${\ Displaystyle a_ {1} (x, y) u_ {xx} + a_ {2} (x, y) u_ {xy} + a_ {3} (x, y) u_ {yx} + a_ {4} (x, y) u_ {yy} + f (u_ {x}, u_ {y}, u, x, y) = 0}$$

W quasiliniowym PDE pochodne najwyższego rzędu również pojawiają się tylko jako wyrażenia liniowe, ale ze współczynnikami prawdopodobnie funkcjami pochodnych nieznanego i niższego rzędu:

$${\ Displaystyle a_ {1} (u_ {x} ,u_{y},u,x,y)u_{xx}+a_{2}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xy}+a_{3}(u_{ x},u_{y},u,x,y)u_{yx}+a_{4}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yy}+f(u_{x },u_{y},u,x,y)=0}$$

Wiele podstawowych PDE w fizyce jest quasiliniowych, na przykład równania ogólnej teorii względności Einsteina i równania Naviera-Stokesa opisujące ruch płynu.

PDE bez żadnych właściwości liniowości jest nazywany w pełni nieliniowym i posiada nieliniowości na jednej lub kilku pochodnych najwyższego rzędu. Przykładem jest równanie Monge-Ampère'a , które powstaje w geometrii różniczkowej .

Równania liniowe drugiego rzędu

Eliptyczne , paraboliczne i hiperboliczne równania różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego były szeroko badane od początku XX wieku. Istnieje jednak wiele innych ważnych typów PDE, w tym równanie Kortewega – de Vriesa . Istnieją również hybrydy, takie jak równanie Eulera – Tricomiego , które różnią się od eliptycznych do hiperbolicznych dla różnych regionów domeny. Istnieją również ważne rozszerzenia tych podstawowych typów do PDE wyższego rzędu, ale taka wiedza jest bardziej specjalistyczna.

Klasyfikacja eliptyczna/paraboliczna/hiperboliczna zapewnia wskazówki dotyczące odpowiednich warunków początkowych i brzegowych oraz gładkości rozwiązań. Zakładając u _xy = u _yx , ogólna liniowa PDE drugiego rzędu dla dwóch zmiennych niezależnych ma postać

$${\ Displaystyle Au_ {xx} + 2 Bu_ {xy} + Cu_ {yy} + \ cdots {\ mbox {(niższy warunki zamówienia)}}=0,}$$

gdzie współczynniki A , B , C ... mogą zależeć od x i y . Jeśli A ² + B ² + C ² > 0 na obszarze płaszczyzny xy , PDE jest drugiego rzędu w tym regionie. Ta forma jest analogiczna do równania dla przekroju stożkowego:

$${\ Displaystyle Ax ^ {2} + 2Bxy + Cy ^ {2} + \ cdots = 0.}$$

Mówiąc dokładniej, zastąpienie ∂ _x przez X , podobnie jak w przypadku innych zmiennych (formalnie odbywa się to za pomocą transformaty Fouriera ), przekształca PDE o stałym współczynniku w wielomian tego samego stopnia, z wyrazami najwyższego stopnia (wielomian jednorodny , tutaj postać kwadratowa ) ma największe znaczenie dla klasyfikacji.

Tak jak klasyfikuje się przekroje stożkowe i formy kwadratowe na paraboliczne, hiperboliczne i eliptyczne na podstawie wyróżnika B ² − 4 AC , to samo można zrobić dla PDE drugiego rzędu w danym punkcie. Jednak wyróżnik w PDE jest określony przez B ² − AC ze względu na konwencję terminu xy jako 2 B , a nie B ; formalnie wyróżnikiem (przypisanej postaci kwadratowej) jest (2 B ) ² − 4 AC = 4 ( B ² − AC ) , z pominięciem współczynnika 4 dla uproszczenia.

1. B ² − AC < 0 ( eliptyczne równanie różniczkowe cząstkowe ): Rozwiązania eliptycznych PDE są tak gładkie, jak pozwalają na to współczynniki, wewnątrz obszaru, w którym równanie i rozwiązania są zdefiniowane. Na przykład rozwiązania równania Laplace'a są analityczne w dziedzinie, w której są zdefiniowane, ale rozwiązania mogą przyjmować wartości brzegowe, które nie są gładkie. Ruch płynu przy prędkościach poddźwiękowych można przybliżyć za pomocą eliptycznych PDE, a równanie Eulera – Tricomiego jest eliptyczne, gdzie x <0 .
2. B ² − AC = 0 ( paraboliczne równanie różniczkowe cząstkowe ): Równania paraboliczne w każdym punkcie można przekształcić do postaci analogicznej do równania ciepła poprzez zmianę zmiennych niezależnych. Rozwiązania wygładzają się wraz ze wzrostem przekształconej zmiennej czasowej. Równanie Eulera-Tricomiego ma typ paraboliczny na linii, gdzie x = 0 .
3. B ² − AC > 0 ( hiperboliczne równanie różniczkowe cząstkowe ): równania hiperboliczne zachowują wszelkie nieciągłości funkcji lub pochodnych w danych początkowych. Przykładem jest równanie falowe . Ruch płynu przy prędkościach naddźwiękowych można przybliżyć za pomocą hiperbolicznych PDE, a równanie Eulera – Tricomiego jest hiperboliczne, gdy x > 0 .

Jeżeli istnieje n zmiennych niezależnych x ₁ , x ₂ , …, x _n , to ogólne liniowe równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu ma postać

$${\ Displaystyle Lu = \ suma _ {i = 1} ^ {n }\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\częściowe ^{2}u}{\częściowe x_{i}\częściowe x_{j}}}\quad +{ \text{warunki niższego rzędu}}=0.}$$

Klasyfikacja zależy od sygnatury wartości własnych macierzy współczynników a _{i , j} .

1. Eliptyczny: wszystkie wartości własne są dodatnie lub wszystkie ujemne.
2. Paraboliczny: wszystkie wartości własne są dodatnie lub wszystkie ujemne, z wyjątkiem jednej, która wynosi zero.
3. Hiperboliczny: istnieje tylko jedna ujemna wartość własna, a wszystkie pozostałe są dodatnie, lub istnieje tylko jedna dodatnia wartość własna, a wszystkie pozostałe są ujemne.
4. Ultrahiperboliczny: istnieje więcej niż jedna dodatnia wartość własna i więcej niż jedna ujemna wartość własna i nie ma zerowych wartości własnych.

Teoria równań eliptycznych, parabolicznych i hiperbolicznych była badana od wieków, w dużej mierze skupiona wokół lub oparta na standardowych przykładach równania Laplace'a , równania ciepła i równania falowego .

Układy równań pierwszego rzędu i powierzchnie charakterystyczne

Klasyfikację równań różniczkowych cząstkowych można rozszerzyć na układy równań pierwszego rzędu, w których nieznane u jest teraz wektorem o m składowych, a macierze współczynników A _v są macierzami m na m dla ν = 1, 2, …, n . Równanie różniczkowe cząstkowe przyjmuje postać

$$\ Displaystyle Lu = \ suma _ {\ nu = 1} ^ {n} A _ {\ nu} {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe x_ {\ nu}}} + B = 0,}$$

gdzie macierze współczynników A _v i wektor B mogą zależeć od x i u . Jeśli hiperpowierzchnia S jest podana w postaci ukrytej

$${\ Displaystyle \ varphi (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = 0,}$$

gdzie φ ma niezerowy gradient, to S jest powierzchnią charakterystyczną dla operatora L w danym punkcie, jeśli postać charakterystyczna zanika:

$${\ Displaystyle Q \ lewo ({\ Frac {\ częściowe \ varphi }{\częściowe x_{1}}},\ldots ,{\frac {\częściowe \varphi }{\częściowe x_{n}}}\right)=\det \left[\sum _{\nu =1} ^{n}A_{\nu }{\frac {\częściowe \varphi}}{\częściowe x_{\nu}}}\right]=0.}$$

Geometryczna interpretacja tego warunku jest następująca: jeśli dane dla u są określone na powierzchni S , to możliwe jest wyznaczenie normalnej pochodnej u na S z równania różniczkowego. Jeśli dane na S i równanie różniczkowe określają pochodną normalną u na S , to S jest niecharakterystyczny. Jeśli dane na S i równanie różniczkowe nie określają normalnej pochodnej u na S , to powierzchnia jest charakterystyczna , a równanie różniczkowe ogranicza dane na S : równanie różniczkowe jest wewnętrzne dla S .

1. Układ pierwszego rzędu Lu = 0 jest eliptyczny , jeśli żadna powierzchnia nie jest charakterystyczna dla L : wartości u na S i równanie różniczkowe zawsze wyznaczają pochodną normalną u na S .
2. System pierwszego rzędu jest hiperboliczny w punkcie, jeśli w tym punkcie istnieje podobna do przestrzeni powierzchnia S z normalną ξ . Oznacza to, że mając dowolny nietrywialny wektor η ortogonalny do ξ i mnożnik skalarny λ , równanie Q ( λξ + η ) = 0 ma m pierwiastków rzeczywistych λ ₁ , λ ₂ , …, λ _m . System jest ściśle hiperboliczny, jeśli te pierwiastki są zawsze różne. Geometryczna interpretacja tego warunku jest następująca: postać charakterystyczna Q ( ζ ) = 0 definiuje stożek (stożek normalny) o jednorodnych współrzędnych ζ. W przypadku hiperbolicznym stożek ten ma m arkuszy, a oś ζ = λξ przebiega wewnątrz tych arkuszy: nie przecina żadnego z nich. Ale po przesunięciu od początku o η oś ta przecina każdy arkusz. W przypadku eliptycznym normalny stożek nie ma prawdziwych arkuszy.

Rozwiązania analityczne

Separacja zmiennych

Główny artykuł: Równanie różniczkowe cząstkowe rozdzielne

Liniowe PDE można zredukować do układów równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą ważnej techniki rozdzielania zmiennych. Technika ta opiera się na charakterystyce rozwiązań równań różniczkowych: jeśli można znaleźć jakiekolwiek rozwiązanie, które rozwiązuje równanie i spełnia warunki brzegowe, to jest to rozwiązanie (dotyczy to również ODE). Jako ansatz zakładamy , że zależność rozwiązania od parametrów przestrzeni i czasu można zapisać jako iloczyn warunków, z których każdy zależy od pojedynczego parametru, a następnie sprawdzamy, czy można to zrobić, aby rozwiązać problem.

W metodzie separacji zmiennych redukuje się PDE do PDE w mniejszej liczbie zmiennych, co jest równaniem różniczkowym zwyczajnym, jeśli w jednej zmiennej - te z kolei są łatwiejsze do rozwiązania.

Jest to możliwe w przypadku prostych PDE, które nazywane są rozdzielnymi równaniami różniczkowymi cząstkowymi , a dziedziną jest ogólnie prostokąt (iloczyn przedziałów). Rozłączne PDE odpowiadają macierzom ukośnym – myśląc o „wartości ustalonego x ” jako o współrzędnej, każdą współrzędną można rozumieć oddzielnie.

Uogólnia się to na metodę charakterystyk i jest również używane w przekształceniach całkowych .

Metoda charakterystyk

Główny artykuł: Metoda charakterystyk

W szczególnych przypadkach można znaleźć krzywe charakterystyczne, na których równanie sprowadza się do ODE – zmiana współrzędnych w dziedzinie w celu wyprostowania tych krzywych umożliwia separację zmiennych i nazywa się to metodą charakterystyk .

Mówiąc bardziej ogólnie, można znaleźć charakterystyczne powierzchnie. Aby zapoznać się z rozwiązaniem równania różniczkowego cząstkowego drugiego rzędu, zobacz metodę Charpita .

Transformacja całkowa

Transformacja całkowa może przekształcić PDE w prostszą, w szczególności w rozdzielną PDE. Odpowiada to diagonalizacji operatora.

Ważnym tego przykładem jest analiza Fouriera , która diagonalizuje równanie ciepła za pomocą podstawy własnej fal sinusoidalnych.

Jeśli dziedzina jest skończona lub okresowa, odpowiednia jest nieskończona suma rozwiązań, takich jak szereg Fouriera , ale dla dziedzin nieskończonych na ogół wymagana jest całka rozwiązań, taka jak całka Fouriera. Rozwiązanie dla źródła punktowego dla podanego powyżej równania ciepła jest przykładem zastosowania całki Fouriera.

Zmiana zmiennych

Często PDE można sprowadzić do prostszej postaci ze znanym rozwiązaniem przez odpowiednią zmianę zmiennych . Na przykład równanie Blacka – Scholesa

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe V} {\ częściowe t}} + {\ tfrac { 1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\częściowy ^{2}V}{\częściowy S^{2}}}+rS{\frac {\częściowy V}{ \częściowe S}}-rV=0}$$

sprowadza się do równania ciepła

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe \ tau}} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe x ^ {2} }}}$$

przez zmianę zmiennych

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} V (S, t) & = v (x, \ tau), \\ [5px] x & = \ ln \ lewo (S \ prawo), \\ [5px] \ tau & ={\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(Tt),\\[5px]v(x,\tau )&=e^{-\alpha x-\beta \tau }u( x,\tau ).\end{wyrównane}}}$$

Podstawowe rozwiązanie

Główny artykuł: Podstawowe rozwiązanie

Równania niejednorodne często można rozwiązać (w przypadku PDE o stałym współczynniku zawsze należy je rozwiązać) poprzez znalezienie rozwiązania podstawowego (rozwiązanie dla źródła punktowego), a następnie wykonanie splotu z warunkami brzegowymi w celu uzyskania rozwiązania.

przetwarzaniu sygnału jest to analogiczne do rozumienia filtra na podstawie jego odpowiedzi impulsowej .

Zasada superpozycji

Dalsze informacje: Zasada superpozycji

Zasada superpozycji ma zastosowanie do dowolnego układu liniowego, w tym systemów liniowych PDE. Powszechną wizualizacją tej koncepcji jest interakcja dwóch fal w fazie, które są łączone w celu uzyskania większej amplitudy, na przykład sin x + sin x = 2 sin x . Tę samą zasadę można zaobserwować w PDE, w których rozwiązania mogą być rzeczywiste lub złożone i addytywne. Jeżeli u ₁ i u ₂ są rozwiązaniami liniowych PDE w jakiejś przestrzeni funkcyjnej R , to u = c ₁ u ₁ + c ₂ u ₂ z dowolnymi stałymi c ₁ i c ₂ są również rozwiązaniem tego PDE w tej samej przestrzeni funkcyjnej.

Metody równań nieliniowych

Zobacz też: nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe

Nie ma ogólnie stosowanych metod rozwiązywania nieliniowych PDE. Mimo to wyniki istnienia i jednoznaczności (takie jak twierdzenie Cauchy'ego-Kowalewskiego ) są często możliwe, podobnie jak dowody ważnych jakościowych i ilościowych właściwości rozwiązań (uzyskanie tych wyników jest główną częścią analizy ) . Obliczeniowe rozwiązanie nieliniowych PDE, metoda dzielonego kroku , istnieje dla określonych równań, takich jak nieliniowe równanie Schrödingera .

Niemniej jednak niektóre techniki można zastosować do kilku typów równań. Zasada h równań jest najpotężniejszą metodą rozwiązywania niedookreślonych . Teoria Riquiera-Janet jest skuteczną metodą uzyskiwania informacji o wielu analitycznych systemach nadokreślonych .

Metodę charakterystyk można zastosować w bardzo szczególnych przypadkach do rozwiązywania nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych.

W niektórych przypadkach PDE można rozwiązać za pomocą analizy zaburzeń , w której rozwiązanie jest uważane za poprawkę do równania ze znanym rozwiązaniem. Alternatywami są analizy numerycznej , od prostych schematów różnic skończonych po bardziej dojrzałe metody multigrid i metody elementów skończonych . Wiele interesujących problemów w nauce i inżynierii rozwiązuje się w ten sposób za pomocą komputerów , czasem superkomputerów o dużej wydajności .

Metoda grupy kłamstw

Od 1870 roku praca Sophusa Liego położyła teorię równań różniczkowych na bardziej satysfakcjonującym fundamencie. Pokazał, że teorie integracyjne starszych matematyków można odnieść, wprowadzając tak zwane obecnie grupy Liego , do wspólnego źródła; i że równania różniczkowe zwyczajne, które dopuszczają te same nieskończenie małe przekształcenia, stwarzają porównywalne trudności w całkowaniu. Podkreślił także temat przemian kontaktu .

Ogólne podejście do rozwiązywania PDE wykorzystuje właściwość symetrii równań różniczkowych, ciągłe nieskończenie małe przekształcenia rozwiązań w rozwiązania ( teoria kłamstw ). Teoria grup ciągłych , algebry Liego i geometria różniczkowa są wykorzystywane do zrozumienia struktury liniowych i nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych do generowania równań całkowalnych, znajdowania par Laxa , operatorów rekurencji, transformaty Bäcklunda i wreszcie znajdowania dokładnych rozwiązań analitycznych PDE.

Metody symetrii zostały uznane za przydatne do badania równań różniczkowych pojawiających się w matematyce, fizyce, inżynierii i wielu innych dyscyplinach.

Metody półanalityczne

Metoda dekompozycji Adomiana , metoda sztucznych małych parametrów Lapunowa i jego metoda perturbacji homotopii są szczególnymi przypadkami bardziej ogólnej metody analizy homotopii . Są to metody rozszerzania szeregów i poza metodą Lapunowa są niezależne od małych parametrów fizycznych w porównaniu z dobrze znaną teorią zaburzeń , co daje tym metodom większą elastyczność i ogólność rozwiązań.

Rozwiązania numeryczne

Trzy najczęściej stosowane metody numeryczne do rozwiązywania PDE to metoda elementów skończonych (MES), metoda objętości skończonych (FVM) i metoda różnic skończonych (FDM), a także inne metody zwane metodami bez siatki , które zostały stworzone do rozwiązywania problemów, w których wyżej wymienione metody są ograniczone. Wśród tych metod znaczącą pozycję zajmuje MES, a zwłaszcza jej wyjątkowo wydajna wersja wyższego rzędu hp-MES . Inne hybrydowe wersje metod FEM i bez siatki obejmują uogólnioną metodę elementów skończonych (GFEM), rozszerzona metoda elementów skończonych (XFEM), widmowa metoda elementów skończonych (SFEM), bezsiatkowa metoda elementów skończonych , nieciągła metoda elementów skończonych Galerkina (DGFEM), bezelementowa metoda Galerkina (EFGM), interpolująca bezelementowa metoda Galerkina (IEFGM) itp. .

Metoda elementów skończonych

Główny artykuł: Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych (MES) (jej praktyczne zastosowanie jest często określane jako analiza elementów skończonych (MES)) jest techniką numeryczną służącą do znajdowania przybliżonych rozwiązań równań różniczkowych cząstkowych (PDE), jak również równań całkowych. Podejście do rozwiązania opiera się albo na całkowitym wyeliminowaniu równania różniczkowego (problemy stanu ustalonego), albo na przekształceniu PDE w przybliżony układ równań różniczkowych zwyczajnych, które są następnie całkowane numerycznie przy użyciu standardowych technik, takich jak metoda Eulera, Runge-Kutta itp.

Metoda różnic skończonych

Główny artykuł: Metoda różnic skończonych

Metody różnic skończonych to numeryczne metody aproksymacji rozwiązań równań różniczkowych przy użyciu równań różnic skończonych do aproksymacji pochodnych.

Metoda objętości skończonej

Główny artykuł: Metoda objętości skończonej

Podobnie jak w przypadku metody różnic skończonych lub metody elementów skończonych, wartości są obliczane w dyskretnych miejscach geometrii siatkowej. „Skończona objętość” odnosi się do małej objętości otaczającej każdy punkt węzłowy na siatce. W metodzie objętości skończonej całki powierzchniowe w równaniu różniczkowym cząstkowym, które zawierają składnik rozbieżny, są przekształcane na całki objętościowe za pomocą twierdzenia o dywergencji . Terminy te są następnie oceniane jako strumienie na powierzchniach każdej skończonej objętości. Ponieważ strumień wchodzący do danej objętości jest identyczny z strumieniem opuszczającym sąsiednią objętość, metody te z założenia zapewniają zachowanie masy.

Oparte na danych rozwiązanie równań różniczkowych cząstkowych

$\displaystyle\lambda}$ danych rozwiązanie PDE oblicza stan ukryty $lub$ , biorąc pod uwagę dane brzegowe $i$$oraz$ modelu . My rozwiązujemy:

${\ Displaystyle u_ {t} + N [u] = 0, \ quad x \ w \ Omega, \ quad t \ w [0, T]}$ .

Definiując resztę jako ${\ Displaystyle f (t, x)$ }

${\ Displaystyle f: = u_ {t} + N [u] = 0}$ ,

i $_$ _ Ta sieć może być różnicowana za pomocą automatycznego różnicowania. U ${\ Displaystyle u (t, x)}$ i ${\ Displaystyle f (t, x)} można się następnie$ , minimalizując następującą funkcję straty ${\ displaystyle L_ {całkowita}}$ :

${\ Displaystyle L_ {całkowita} = L_ {u} + L_ {f}}$ .

gdzie ${\ Displaystyle L_ {u} = \ Vert uz \ Vert _ {\ Gamma}}$ jest błędem między PINN ${\ Displaystyle u (t, x) }$ oraz zbiór warunków brzegowych i zmierzonych danych na zbiorze punktów, $w których zdefiniowane są$ brzegowe i dane, oraz ${\ Displaystyle L_ {f} = \ Vert f \ Vert _ {\ Gamma}}$ jest błędem średniokwadratowym funkcji resztkowej. Ten drugi termin zachęca PINN do uczenia się informacji strukturalnych wyrażonych przez równanie różniczkowe cząstkowe podczas procesu szkolenia.

Podejście to zostało wykorzystane do uzyskania wydajnych obliczeniowo modeli zastępczych z zastosowaniami w prognozowaniu procesów fizycznych, modelowaniu sterowania predykcyjnego, modelowaniu wielofizycznym i wieloskalowym, symulacji oraz kwantyfikacji niepewności.

Zobacz też

Niektóre typowe PDE

• Równanie ciepła
• Równanie falowe
• Równanie Laplace'a
• Równanie Helmholtza
• Równanie Kleina-Gordona
• Równanie Poissona
• Równanie Naviera-Stokesa
• Równanie hamburgerów

Rodzaje warunków brzegowych

• Warunek brzegowy Dirichleta
• Warunek brzegowy Neumanna
• Warunek brzegowy Robina
• Problem Cauchy'ego

Różne tematy

• Pakiet odrzutowy
• Transformacja Laplace'a zastosowana do równań różniczkowych
• Lista tematów układów dynamicznych i równań różniczkowych
• Macierzowe równanie różniczkowe
• Numeryczne równania różniczkowe cząstkowe
• Równanie algebraiczne różniczkowe cząstkowe
• Relacja powtarzalności
• Procesy stochastyczne i zagadnienia brzegowe

Bibliografia

•   Courant, R. & Hilbert, D. (1962), Metody fizyki matematycznej , tom. II, Nowy Jork: Wiley-Interscience, ISBN 9783527617241 .
•   Evans, LC (1998), Równania różniczkowe cząstkowe , Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 .
•   Drabek, Paweł; Holubová, Gabriela (2007). Elementy równań różniczkowych cząstkowych (red. Online). Berlin: de Gruyter. ISBN 9783110191240 .
•   Ibragimov, Nail H. (1993), CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, tom. 1-3 , Providence: CRC-Press, ISBN 0-8493-4488-3 .
•   John, F. (1982), Równania różniczkowe cząstkowe (wyd. 4), Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6 .
•   Jost, J. (2002), Równania różniczkowe cząstkowe , Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 0-387-95428-7 .
• Olver, PJ (1995), Równoważność, niezmienniki i symetria , Cambridge Press .
• Petrovskii, IG (1967), Równania różniczkowe cząstkowe , : WB Saunders Co. Filadelfia
•   Pinchover, Y. & Rubinstein, J. (2005), Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych , Nowy Jork: Cambridge University Press, ISBN 0-521-84886-5 .
•   Polyanin, AD (2002), Podręcznik liniowych równań różniczkowych cząstkowych dla inżynierów i naukowców , Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9 .
•   Polyanin, AD & Zaitsev, VF (2004), Podręcznik nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych , Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-355-3 .
•   polianina, AD ; Zajcew, VF i Moussiaux, A. (2002), Podręcznik równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu , Londyn: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X .
•    Roubíček, T. (2013), Nieliniowe równania różniczkowe cząstkowe z zastosowaniami (PDF) , International Series of Numerical Mathematics, tom. 153 (wyd. 2), Bazylea, Boston, Berlin: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-3-0348-0513-1 , ISBN 978-3-0348-0512-4 , MR 3014456
• Stephani, H. (1989), MacCallum, M. (red.), Równania różniczkowe: ich rozwiązanie za pomocą symetrii , Cambridge University Press .
•   Wazwaz, Abdul-Majid (2009). Równania różniczkowe cząstkowe i teoria fal samotnych . Prasa dla szkolnictwa wyższego. ISBN 978-3-642-00251-9 .
•   Wazwaz, Abdul-Majid (2002). Metody i zastosowania równań różniczkowych cząstkowych . AA Balkema. ISBN 90-5809-369-7 .
•   Zwillinger, D. (1997), Handbook of Differential Equations (wyd. 3), Boston: Academic Press, ISBN 0-12-784395-7 .
•   Gershenfeld, N. (1999), The Nature of Mathematical Modeling (wyd. 1), New York: Cambridge University Press, New York, NY, USA, ISBN 0-521-57095-6 .
•   Krasil'shchik, IS & Vinogradov, AM, wyd. (1999), Symetrie i prawa zachowania równań różniczkowych fizyki matematycznej , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, Providence, Rhode Island, USA, ISBN 0-8218-0958-X .
•   Krasil'shchik, IS; Lychagin, VV & Vinogradov, AM (1986), Geometry of Jet Spaces and Nonlinear Partial Differential Equations , Gordon and Breach Science Publishers, Nowy Jork, Londyn, Paryż, Montreux, Tokio, ISBN 2-88124-051-8 .
•   Vinogradov, AM (2001), Analiza kohomologiczna równań różniczkowych cząstkowych i rachunku wtórnego , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, Providence, Rhode Island, USA, ISBN 0-8218-2922-X .
•   Gustafsson, Bertil (2008). Metody różnic wysokiego rzędu dla PDE zależnych od czasu . Seria Springera w matematyce obliczeniowej. Tom. 38. Springera. doi : 10.1007/978-3-540-74993-6 . ISBN 978-3-540-74992-9 .

Dalsza lektura

•   Cajori, Florian (1928). „Wczesna historia równań różniczkowych cząstkowych oraz różniczkowania i całkowania cząstkowego” (PDF) . Amerykański miesięcznik matematyczny . 35 (9): 459–467. doi : 10.2307/2298771 . JSTOR 2298771 . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 2018-11-23 . Źródło 2016-05-15 .
• Nirenberg, Louis (1994). „Równania różniczkowe cząstkowe w pierwszej połowie wieku”. Rozwój matematyki 1900–1950 (Luksemburg, 1992), 479–515, Birkäuser, Bazylea.
• Brezis, Haïm ; Browder, Felix (1998). „Równania różniczkowe cząstkowe w XX wieku” . Postępy w matematyce . 135 (1): 76–144. doi : 10.1006/aima.1997.1713 .

Linki zewnętrzne

• „Równanie różniczkowe cząstkowe” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Równania różniczkowe cząstkowe: dokładne rozwiązania w EqWorld: The World of Mathematical Equations .
• Równania różniczkowe cząstkowe: indeks w EqWorld: The World of Mathematical Equations .
• Równania różniczkowe cząstkowe: metody w EqWorld: Świat równań matematycznych .
• Przykładowe problemy z rozwiązaniami na stronie exampleproblems.com
• Równania różniczkowe cząstkowe na stronie mathworld.wolfram.com
• Równania różniczkowe cząstkowe z Mathematica
• Równania różniczkowe cząstkowe w Cleve Moler: obliczenia numeryczne w programie MATLAB
• Równania różniczkowe cząstkowe na stronie nag.com
• Sanderson, Grant (21 kwietnia 2019). „Ale co to jest równanie różniczkowe cząstkowe?” . 3Niebieski1Brązowy . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2021-11-02 – przez YouTube .