Metoda krokowa

W analizie numerycznej metoda dzielonego kroku ( Fouriera ) jest pseudospektralną metodą numeryczną stosowaną do rozwiązywania nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych, takich jak nieliniowe równanie Schrödingera . Nazwa powstaje z dwóch powodów. Po pierwsze, metoda polega na obliczaniu rozwiązania w małych krokach i oddzielnym traktowaniu kroków liniowych i nieliniowych (patrz poniżej). Po drugie, konieczna jest transformacja Fouriera tam iz powrotem, ponieważ krok liniowy jest wykonywany w dziedzinie częstotliwości podczas gdy krok nieliniowy jest wykonywany w dziedzinie czasu .

Przykładem zastosowania tej metody jest dziedzina propagacji impulsów świetlnych w światłowodach, gdzie wzajemne oddziaływanie mechanizmów liniowych i nieliniowych utrudnia znalezienie ogólnych rozwiązań analitycznych. Jednak metoda dzielonych kroków zapewnia numeryczne rozwiązanie problemu. Innym zastosowaniem metody krokowej, która zyskuje dużą popularność od 2010 roku, jest symulacja grzebienia częstotliwości Kerra w mikrorezonatorach optycznych . Względna łatwość implementacji równania Lugiato – Lefevera przy rozsądnym koszcie numerycznym, wraz z jego sukcesem w odtwarzaniu widm eksperymentalnych, a także przewidywaniu solitonów w tych mikrorezonatorach sprawiło, że metoda ta stała się bardzo popularna.

Opis metody

Rozważmy na przykład nieliniowe równanie Schrödingera

${\ Displaystyle {\ częściowe A \ ponad \ częściowe z} = - {i \ beta _ {2} \ ponad 2} {\ częściowe ^ {2} A \ ponad \ częściowe t^{2}}+i\gamma |A|^{2}A=[{\kapelusz {D}}+{\kapelusz {N}}]A,}$

gdzie opisuje obwiednię impulsu w czasie $,$$)}$ przestrzennej. $ZA ( t , z )$ z Równanie można podzielić na część liniową,

${\ Displaystyle {\ częściowe A_ {D} \ ponad \ częściowe z} = - {i \ beta _ {2} \ ponad 2}{\częściowy ^{2}A \ponad \częściowy t^{2}}={\kapelusz {D}}A,}$

i część nieliniowa,

${\ Displaystyle {\ częściowe A_ {N} \ ponad \ częściowe z} = i \ gamma | A | ^ {2} A = {\ kapelusz {N}} A.}$

Zarówno część liniowa, jak i nieliniowa mają rozwiązania analityczne, ale nieliniowe równanie Schrödingera zawierające obie części nie ma ogólnego rozwiązania analitycznego.

$.$ zostanie wykonany tylko $„$ mały” krok wówczas te dwie części można traktować oddzielnie z „małym” błędem numerycznym Można zatem najpierw zrobić mały nieliniowy krok,

${\ Displaystyle A_ {N} (t, z + h) = \ exp \ lewo [i \ gamma | A (t, z) | ^ {2} h \ prawo] A (t,z),}$

za pomocą rozwiązania analitycznego. Zauważ, że ten ansatz nakłada ${\ Displaystyle | A (z) | ^ {2} = const.}$ iw konsekwencji ${\ Displaystyle \ gamma \ in \ mathbb {R}}$ .

${\ displaystyle A_ {N}}$ dyspersji ma rozwiązanie analityczne w dziedzinie częstotliwości , więc najpierw należy przeprowadzić transformację Fouriera za pomocą ZA

${\ Displaystyle {\ tylda {A}} _ {N} (\ omega ,z)=\int _{-\infty }^{\infty }A_{N}(t,z)\exp[i(\omega -\omega _{0})t]dt}$ ,

gdzie $.$ środkową częstotliwością impulsu Można wykazać, że stosując powyższą definicję transformaty Fouriera , analityczne rozwiązanie kroku liniowego, komutowane rozwiązaniem w dziedzinie częstotliwości dla kroku nieliniowego, wynosi

${\ Displaystyle {\ tylda {A}} (\ omega, z + h) = \ exp \ lewo [{i \ beta _ {2} \ ponad 2} (\ omega - \ omega _ {0}) ^ {2 }h\right]{\tylda {A}}_{N}(\omega,z).}$

Biorąc odwrotną transformatę Fouriera z ${\ Displaystyle {\ tylda {A}} (\ omega, z + h)}$ otrzymuje się ${\ Displaystyle A \ lewo(t,z+h\prawo)}$ ; impuls został w ten sposób rozpropagowany o $mały$ . Powtarzając powyższe $długości$ , impuls może być propagowany na ${\ displaystyle Nh}$ .

Powyższe pokazuje, jak użyć tej metody do propagacji rozwiązania w przestrzeni; jednak wiele zastosowań fizycznych, takich jak badanie ewolucji pakietu fal opisującego cząstkę, wymaga propagacji rozwiązania w czasie, a nie w przestrzeni. Nieliniowe równanie Schrödingera, używane do regulowania ewolucji funkcji falowej w czasie, przyjmuje postać

${\ Displaystyle i \ hbar {\ częściowe \ psi \ nad \ częściowe t} = - {{\ hbar} ^ {2} \ ponad {2m}} {\ częściowe ^ {2}\psi \over \częściowy x^{2}}+\gamma |\psi |^{2}\psi =[{\kapelusz {D}}+{\kapelusz {N}}]\psi ,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ psi (x, t)}$ opisuje funkcję falową w pozycji $displaystyle$ czasie $t}$ . Zauważ to

${\ Displaystyle {\ kapelusz {D}} = - {{\ hbar} ^ {2} \ ponad {2m}} {\ częściowe ^ {2} \ ponad \ częściowe x^{2}}}$ i ${\ Displaystyle {\ hat {N}} = \ gamma |\ psi | ^ {2}}$ i to $Displaystyle$ masa cząstki i jest stałą Plancka nad m $m}$${\ Displaystyle 2 \ pi}$ .

Formalne rozwiązanie tego równania to zespolona wykładnicza, więc mamy to

${\ Displaystyle \ psi (x, t) = e ^ {- to ({\ kapelusz {D}} + {\kapelusz {N}})/\hbar}\psi (x,0)}$ .

Ponieważ i $operatorami ,$$na$ nie dojeżdżają do Można jednak zastosować wzór Bakera-Hausdorffa, aby pokazać, że błąd wynikający z traktowania ich tak, jakby to robił, będzie w porządku, jeśli podejmiemy mały, ale skończony krok w czasie ${\ displaystyle dt}$$\ displaystyle dt ^ {2}$ . Możemy zatem pisać

${\ Displaystyle \ psi (x, t + dt) \ około e ^ {-idt{\kapelusz {D}}/\hbar}e^{-idt{\kapelusz {N}}/\hbar}\psi (x,t)}$ .

Część tego równania obejmującą można obliczyć bezpośrednio za pomocą funkcji falowej w czasie $,$$Displaystyle$ obliczyć wykładniczą z udziałem $}}$$\ hat {D$$}$ wykorzystujemy fakt, że w przestrzeni częstotliwości operator pochodnej cząstkowej można przekształcić w liczbę, zastępując , gdzie k $ik$${\ displaystyle k}$ to częstotliwość (a właściwie liczba falowa, ponieważ mamy do czynienia ze zmienną przestrzenną, a tym samym transformacją do przestrzeni częstotliwości przestrzennych - tj. Liczb falowych) związaną z transformatą Fouriera tego, na czym się operuje. W ten sposób bierzemy transformatę Fouriera z

${\ Displaystyle e ^ {-idt {\ kapelusz {N}} / \ hbar} \ psi (x, t)}$ ,

odzyskać powiązany numer fali, obliczyć ilość

${\ Displaystyle e ^ {idtk ^ {2}}}$ ,

i użyj go, aby znaleźć iloczyn złożonych wykładników obejmujących i re $D}}}$$\ displaystyle {\ kapelusz {$ w przestrzeni częstotliwości, jak poniżej:

${\ Displaystyle e ^ {idtk ^ {2}} F [e ^ {-idt {\ kapelusz {N}}} \ psi (x,t)]}$ ,

gdzie $.$ transformatę Fouriera Następnie dokonujemy odwrotnej transformacji Fouriera tego wyrażenia, aby znaleźć ostateczny wynik w przestrzeni fizycznej, uzyskując końcowe wyrażenie

${\ Displaystyle \ psi (x, t + dt) = F^{-1}[e^{idtk^{2}}F[e^{-idt{\hat {N}}}\psi (x,t)]]}$ .

Odmianą tej metody jest symetryczna metoda Fouriera z podziałem na pół kroku, która zajmuje pół kroku przy użyciu jednego operatora, następnie wykonuje krok w pełnym wymiarze tylko z drugim, a następnie ponownie wykonuje drugi krok w połowie czasu tylko z pierwszym. Ta metoda jest ulepszeniem ogólnej metody Fouriera z podziałem kroku, ponieważ jej błąd jest rzędu $}$ czasu $\ displaystyle dt ^ {3}$ . Transformaty Fouriera tego algorytmu można obliczyć stosunkowo szybko za pomocą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) . Metoda Fouriera z podziałem kroków może być zatem znacznie szybsza niż typowe metody różnic skończonych .

Referencje zewnętrzne

• Thomas E. Murphy, oprogramowanie, http://www.photonics.umd.edu/software/ssprop/
• Andrés A. Rieznik, Oprogramowanie, http://www.freeopticsproject.org
• Prof. G. Agrawal, Oprogramowanie, http://www.optics.rochester.edu/workgroups/agrawal/grouphomepage.php?pageid=software
• Thomas Schreiber, Oprogramowanie, http://www.fiberdesk.com
• Edward J. Grace, oprogramowanie, http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/24016