Twierdzenie o inwersji Fouriera

W matematyce twierdzenie o odwróceniu Fouriera mówi, że dla wielu typów funkcji możliwe jest odzyskanie funkcji z jej transformaty Fouriera . Intuicyjnie można to postrzegać jako stwierdzenie, że znając wszystkie częstotliwości i fazie fali, możemy dokładnie zrekonstruować pierwotną falę.

$,$ że jeśli mamy funkcję spełniającą pewne warunki i Fouriera

${\ Displaystyle ({\ mathcal {F}} f) (\ xi): = \ int _ {\ mathbb {R} }e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}$

Następnie

${\ Displaystyle f (x) = \ int _ {\ mathbb {R}} e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} \, ({\ mathcal {F}} f) (\ xi) \, d \ xi.}$

Innymi słowy, twierdzenie mówi, że

${\ Displaystyle f (x) = \ iint _ {\ mathbb {R} ^ {2}} e ^ {2 \ pi ja (xy) \ cdot \ xi} \, f (y) \, dy \, d \ xi.}$

To ostatnie równanie nosi nazwę twierdzenia całkowego Fouriera .

Innym sposobem wyrażenia twierdzenia jest to, że jeśli $jest$ operatorem odwrócenia, tj. ${\ Displaystyle (Rf) (x): = f (-x$ , zatem

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {-1} = {\ mathcal {F}} R = R {\ mathcal {F}}.}$

Twierdzenie to obowiązuje, jeśli zarówno $,$$.$$i$ jego transformata Fouriera są absolutnie całkowalne (w sensie Lebesgue'a ) i są ciągłe w punkcie Jednak nawet w bardziej ogólnych warunkach zachowują się wersje twierdzenia o inwersji Fouriera. W takich przypadkach powyższe całki mogą nie być zbieżne w zwykłym sensie.

Oświadczenie

W tej sekcji zakładamy, że $jest$ funkcją ciągłą. Użyj transformaty Fouriera

${\ Displaystyle ({\ mathcal {F}} f) (\ xi): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- 2 \ pi iy \ cdot \ xi} \, f ( y)\,dy.}$

Ponadto zakładamy, że transformata Fouriera jest również całkowalna.

Odwrotna transformata Fouriera jako całka

Najczęstszym stwierdzeniem twierdzenia o inwersji Fouriera jest stwierdzenie, że transformata odwrotna jest całką. Dla dowolnej funkcji całkowalnej $\$ wszystkich zestawów $in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {-1} g (x): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} \, g (\xi )\,d\xi .}$

Wtedy dla wszystkich mamy ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ mathcal {F}} f) (x) = f (x).}$

Twierdzenie całkowe Fouriera

Twierdzenie można przekształcić jako

${\ Displaystyle f (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2 \ pi i (xy) \ cdot \ xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Jeśli f jest wartością rzeczywistą, to biorąc rzeczywistą część każdej strony powyższego, otrzymujemy

${\ Displaystyle f (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ cos (2 \ pi (xy) \ cdot \ xi) \,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Transformacja odwrotna pod względem operatora odwracania

Dla dowolnej funkcji zdefiniuj operatora odwracania przez $R}$$displaystyle$

${\ Displaystyle Rg (x): = g (-x).}$

Wtedy możemy zamiast tego zdefiniować

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {-1} f: = R {\ mathcal {F}} f = {\ mathcal {F}} Rf.}$

Z definicji transformaty Fouriera i operatora odwracania wynika bezpośrednio, że zarówno ${\ Displaystyle R {\ mathcal {F}} f},$${\ Displaystyle R {\ mathcal {F}} f$ i pasują do $1$ definicja , sobie równe ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ mathcal {F}} f) (x) = f (x)}$ .

${\ Displaystyle Rf = R {\ mathcal {F}} ^ {- 1} {\ mathcal {F}} f = RR {\ mathcal {FF$ fa mamy i ${2}}$ ^

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {-1} = {\ mathcal {F}} ^ {3}.}$

Dwustronny odwrotny

Postać twierdzenia o inwersji Fouriera, o którym mowa powyżej, jest powszechna

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ mathcal {F}} f) (x) = f (x).}$

Innymi słowy, $odwrotnością$ Fouriera. Jednak jest to również prawo odwrotne do transformaty Fouriera, tj

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ({\ mathcal {F}} ^ {- 1} f) (\ xi) = f (\ xi).}$

Ponieważ $Fouriera$ tak podobny do , wynika to bardzo $łatwo$ z twierdzenia o inwersji ${\ Displaystyle \ zeta: = - \ zeta}$ ):

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f & = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ mathcal {F}} f) (x) \\ [6pt] & = \ int _ {\ mathbb { R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,e^{-2\pi iy\cdot \xi }\, f(y)\,dy\,d\xi \\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ -2\pi ix\cdot \zeta }\,e^{2\pi iy\cdot \zeta }\,f(y)\,dy\,d\zeta \\[6pt]&={\mathcal {F }}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x).\end{wyrównane}}}$

Alternatywnie, można to zobaczyć na podstawie relacji między operatorem odwracania i łącznością składu funkcji , ponieważ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} f}$

${\ Displaystyle f = {\ mathcal {F}} ^ {-1} ({\ mathcal {F}} f) = {\ mathcal {F}} R {\ mathcal {F}} f = {\ mathcal {F} }}({\mathcal {F}}^{-1}f).}$

Warunki dotyczące funkcji

W fizyce i inżynierii twierdzenie o inwersji Fouriera jest często używane przy założeniu, że wszystko „zachowuje się ładnie”. W matematyce takie argumenty heurystyczne są niedozwolone, a twierdzenie o odwróceniu Fouriera zawiera wyraźną specyfikację tego, jaka klasa funkcji jest dozwolona. Jednak nie ma „najlepszej” klasy funkcji do rozważenia, więc istnieje kilka wariantów twierdzenia o inwersji Fouriera, aczkolwiek z zgodnymi wnioskami.

funkcje Schwartza

Twierdzenie o odwróceniu Fouriera obowiązuje dla wszystkich funkcji Schwartza (z grubsza mówiąc, gładkich funkcji, które szybko się rozpadają i których wszystkie pochodne szybko się rozpadają). Warunek ten ma tę zaletę, że jest to elementarne bezpośrednie stwierdzenie dotyczące funkcji (w przeciwieństwie do nakładania warunku na jej transformatę Fouriera), a całka definiująca transformatę Fouriera i jej odwrotność są całkowicie całkowalne. Ta wersja twierdzenia jest używana w dowodzie twierdzenia o inwersji Fouriera dla rozkładów temperowanych (patrz poniżej).

Funkcje całkowalne z całkowalną transformatą Fouriera

$z$ absolutnie całkowalne (tj. absolutnie całkowalną transformatą Fouriera Obejmuje to wszystkie funkcje Schwartza, więc jest ściślejszą formą twierdzenia niż poprzednia wspomniana. Ten warunek jest użyty powyżej w sekcji instrukcji .

Niewielkim wariantem jest porzucenie warunku, że funkcja $,$ ale nadal wymaga, aby ona i jej transformata Fouriera były całkowicie całkowalne. Wtedy ${\ Displaystyle f = g}$ prawie wszędzie , gdzie g jest funkcją ciągłą i ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1 }({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)}$ dla każdego ${\ Displaystyle x \ w \ mathbb {R} ^ {n}}$ .

Funkcje całkowalne w jednym wymiarze

Kawałki gładkie; jeden wymiar

Jeśli funkcja jest absolutnie całkowalna w jednym wymiarze ( $,$ to wersja twierdzenia o inwersji Fouriera posiada. W tym przypadku definiujemy

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {-1} g (x): = \ lim _ {R \ do \ infty} \ int _ {-R} ^ {R} e ^ {2 \ pi ix \ xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

Wtedy dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ mathcal {F}} f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),}$

tj. ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ mathcal {F}} f) (x)}$ równa się średniej lewej i prawej granicy ${\ displaystyle f}$ w ${\ displaystyle x}$ . W punktach, w których $Displaystyle f (x)}$ równa się to po prostu $\$ .

Wyższa wymiarowa analogia tej formy twierdzenia również się utrzymuje, ale według Follanda (1992) jest „raczej delikatna i niezbyt użyteczna”.

Fragmentarycznie ciągły; jeden wymiar

Jeśli funkcja jest absolutnie całkowalna w jednym wymiarze ( $ale$ twierdzenia o inwersji Fouriera nadal trzyma. W tym przypadku całka w odwrotnej transformacie Fouriera jest definiowana za pomocą gładkiej, a nie ostrej funkcji odcięcia; konkretnie określamy

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {-1} g (x): = \ lim _ {R \ do \ infty} \ int _ {\ mathbb {R}} \ varphi (\ xi / R) \ ,e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi):=e^{-\xi ^{2}}.}$

Konkluzja twierdzenia jest zatem taka sama, jak w omówionym powyżej przypadku odcinkowo gładkim.

Ciągły; dowolna ilość wymiarów

Jeśli jest ciągła i absolutnie całkowalna na $Displaystyle$$\ mathbb {R} ^ {n}},$ to twierdzenie o odwróceniu Fouriera nadal obowiązuje, o ile ponownie zdefiniujemy transformatę odwrotną za pomocą gładkiej funkcji tj

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {-1} g (x): = \ lim _ {R \ do \ infty} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ varphi (\ xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi):=e^{-\vert \xi \vert ^{2}}.}$

Wniosek jest teraz po prostu taki, że dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ mathcal {F}} f) (x) = f (x).} Brak warunku regularności$

; dowolna ilość wymiarów

Jeśli odrzucimy wszystkie założenia dotyczące (fragmentarycznie) ciągłości $założymy$ jedynie, że jest ona całkowicie całkowalna, wówczas wersja twierdzenia nadal obowiązuje. Transformata odwrotna jest ponownie definiowana z gładkim odcięciem, ale z wnioskiem, że

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} ({\ mathcal {F}} f) (x) = f (x)}$

dla prawie każdego ${\ Displaystyle x \ w \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Kwadratowe funkcje całkowalne

W tym przypadku transformata Fouriera nie może być zdefiniowana bezpośrednio jako całka, ponieważ może nie być absolutnie zbieżna, więc zamiast tego jest definiowana przez argument gęstości (patrz artykuł o transformacji Fouriera ). Na przykład stawianie

${\ Displaystyle g_ {k} (\ xi): = \ int _ {\ {y \ w \ mathbb {R} ^ {n}:\left\vert y\right\vert \leq k\}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,\qquad k\in \mathbb { N} ,}$

fa fa $\ infty} g_ {k}}$ do ${\ Displaystyle L ^ {2}}$ - norma. Transformatę odwrotną można zdefiniować za pomocą gęstości w ten sam sposób lub definiując ją za pomocą transformaty Fouriera i operatora odwracania. Mamy wtedy

${\ Displaystyle f (x) = {\ mathcal {F}} ({\ mathcal {F}} ^ {-1}f)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$

w normie średniokwadratowej . W jednym wymiarze (i tylko w jednym) można też pokazać, że jest zbieżny dla prawie każdego x ∈ℝ - to jest twierdzenie Carlesona , ale znacznie trudniejsze do udowodnienia niż zbieżność w normie średniokwadratowej.

Rozkłady temperowane

Transformatę Fouriera można zdefiniować w przestrzeni rozkładów temperowanych przez dualność transformaty Fouriera w przestrzeni ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n})}$ funkcji Schwartza. W szczególności dla ${\ Displaystyle f \ in {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n})}$ i dla wszystkich funkcji testowych ${\ Displaystyle \ varphi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ ustawiamy

${\ Displaystyle \ langle {\ mathcal {F}} f, \ varphi \ rangle: = \ langle f, {\ mathcal {F}} \ varphi \ rangle ,}$

gdzie jest zdefiniowany za pomocą wzoru całkowego. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ varphi}$ fa ${\ Displaystyle f \ w L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ czapka L ^ {2} (\ mathbb {$ to zgadza się ze zwykłą definicją. Możemy zdefiniować transformatę odwrotną ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ okrężnica {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {n}) \ do {\ mathcal {S}}' (\mathbb {R} ^{n})}$ , albo przez dualność z odwrotnej transformacji na funkcjach Schwartza w ten sam sposób, albo przez zdefiniowanie jej w kategoriach operatora odwracania (gdzie operator odwracania jest zdefiniowany przez dualność). Mamy wtedy

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} {\ mathcal {F}} ^ {-1} = {\ mathcal {F}} ^ {-1} {\ mathcal {F}} = \ operatorname {Id} _ { {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.}$

Związek z szeregiem Fouriera

$π$ funkcji, zwykle przeskalowuje się go tak, aby działał na ) 2 $Displaystyle 2 \ pi}$ . W tej sekcji zamiast tego używamy nieco nietypowej konwencji, biorąc pod uwagę $.$ na ${\ displaystyle [0,1]}$ , ponieważ odpowiada to konwencji zastosowanej tutaj transformaty Fouriera

Twierdzenie o inwersji Fouriera jest analogiczne do zbieżności szeregu Fouriera . W przypadku transformaty Fouriera mamy

${\ Displaystyle f \ dwukropek \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {C} \ quad {\ kapelusz {f}} \ dwukropek \ mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {f}} (\ xi): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- 2 \ pi iy \ cdot \ xi} \, f (y) \ dy,}$

${\ Displaystyle f (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} \, {\ kapelusz {f}} (\ xi) \, d \xi.}$

Zamiast tego mamy szereg Fouriera

${\ Displaystyle f \ dwukropek [0,1] ^ {n} \ do \ mathbb {C} \ quad {\ kapelusz {f}} \colon \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

$\ Displaystyle {\ kapelusz {f}} (k): = \ int _ {[0,1] ^ {n}} e ^ {- 2 \ pi iy \ cdot k} \, f (y) \, dy,}$

${\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {k \ in \ mathbb {Z} ^ {n}} e ^ {2 \ pi ix \ cdot k} \, {\ kapelusz {f}} (k).}$

W szczególności w jednym wymiarze, $wynosi$ od $infty}$ do ${\ Displaystyle \ infty}$ .

Aplikacje

Niektóre problemy, takie jak pewne równania różniczkowe, stają się łatwiejsze do rozwiązania po zastosowaniu transformaty Fouriera. W takim przypadku rozwiązanie pierwotnego problemu jest odzyskiwane przy użyciu odwrotnej transformaty Fouriera.

W zastosowaniach transformaty Fouriera twierdzenie o inwersji Fouriera często odgrywa kluczową rolę. W wielu sytuacjach podstawową strategią jest zastosowanie transformaty Fouriera, wykonanie pewnej operacji lub uproszczenia, a następnie zastosowanie odwrotnej transformaty Fouriera.

Mówiąc bardziej abstrakcyjnie, twierdzenie o odwróceniu Fouriera jest stwierdzeniem o transformacie Fouriera jako operatorze (patrz transformata Fouriera w przestrzeniach funkcyjnych ). Na przykład twierdzenie o odwróceniu Fouriera na pokazuje, że transformata Fouriera jest operatorem jednostkowym na ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ Displaystyle f \ w L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n})$ .

Własności transformacji odwrotnej

Odwrotna transformata Fouriera jest bardzo podobna do oryginalnej transformaty Fouriera: jak omówiono powyżej, różni się jedynie zastosowaniem operatora odwracania. Z tego powodu właściwości transformaty Fouriera obowiązują dla odwrotnej transformaty Fouriera, takiej jak twierdzenie o splocie i lemat Riemanna – Lebesgue'a .

Tabele transformat Fouriera można z łatwością wykorzystać do odwrotnej transformaty Fouriera, łącząc wyszukiwaną funkcję z operatorem odwracania. Na przykład, patrząc na transformatę Fouriera funkcji rect, widzimy to

$${\ Displaystyle f (x) = \ nazwa operatora {prosto} (ax) \ quad \ Strzałka w prawo \ quad ({\ mathcal {F}} f) (\ xi) = {\ Frac {1} {|a|}}\operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right),}$$

więc odpowiednim faktem dla odwrotnej transformacji jest

$${\ Displaystyle g (\ xi) = \ nazwa operatora {prosto} (a \ xi) \ quad \ strzałka w prawo \ quad ({\ mathcal {F}} ^ {-1} g) (x) = {\ frac {1} {|a|}}\operatorname {sinc} \left(-{\frac {x}{a}}\right).}$$

Dowód

$Displaystyle {\$ wykorzystuje kilka faktów, biorąc pod $uwagę$ i .

1. x $^ {n}}$${\ Displaystyle g (\ xi) = e ^ { 2\pi \mathrm {i} x\cdot \xi }\psi (\xi )}$ i , wtedy ${\ Displaystyle ({\ mathcal {F}} g) (y) = ({\ mathcal {F}} \ psi) (yx)}$ .
2. ${\ Displaystyle \ varepsilon \ in \ mathbb {R}}$ i ${\ Displaystyle \ psi (\ xi) = \ varphi (\ varepsilon \ xi)}$ , to ${\ Displaystyle ({\ mathcal {F}} \ psi) (y) = ({\ mathcal {F}} \ varphi) (y / \ varepsilon) / | \ varepsilon |}$ .
3. fa $f, g \ w L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ twierdzenie Fubiniego implikuje, że ${\ Displaystyle \ textstyle \ int g (\ xi) \ cdot ({\ mathcal {F}} f) (\ xi) \, d \ xi = \ int ({\ mathcal {F}} g) (y) \ cdot f(y)\,dy}$ .
4. Zdefiniuj ${\ Displaystyle \ varphi (\ xi) = e ^ {- \ pi \ vert \ xi \ vert ^ {2}}}$ ; wtedy ${\ Displaystyle ({\ mathcal {F}} \ varphi) (y) = \ varphi (y)}$ .
5. ${\ Displaystyle \ varphi _ {\ varepsilon} (y) = \ varphi (y / \ varepsilon) / \ varepsilon ^ {n}$ } . Wtedy z ${\ displaystyle \ ast}$ splot , jest $przybliżeniem$ tożsamości : dla dowolnego ${\ Displaystyle f \ w L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n}}}$ i punkt ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ } ${\ Displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ do 0} (\ varphi _ {\ varepsilon} \ ast f) (x) = f (x)} ($ gdzie zbieżność jest punktowa).

Ponieważ z założenia ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} f \ in L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ zdominowane twierdzenie o zbieżności, że

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} ({\ mathcal {F}} f) (\ xi) \, d \ xi = \ lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi}({\mathcal {F}}f)(\xi)\,d\xi.}$

Zdefiniuj ${\ Displaystyle g_ {x} (\ xi) = e ^ {- \ pi \ varepsilon ^ {2} \ vert \ xi \ vert ^ {2} + 2 \ pi \ operatorname {i } x\cdot \xi }}$ . Stosując fakty 1, 2 i 4, wielokrotnie dla całek wielokrotnych, jeśli to konieczne, otrzymujemy

${\ Displaystyle ({\ mathcal {F}} g_ {x}) (y) = {\ Frac {1} {\ varepsilon ^ {n}}} e ^ {- {\ Frac {\ pi} {\ varepsilon ^ {2}}}|xy|^{2}}=\varphi _{\varepsilon}(xy).}$

Korzystając z faktu 3 na i ${\$$Displaystyle g_ {x}}$ , dla każdego mamy $Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- \ pi \ varepsilon ^ {2} | \ xi | ^ {2} + 2 \ pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi)\,d\xi =\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}e^{-{\frac {\pi}}{\varepsilon ^{2}}}|xy|^{2}}f(y)\,dy=(\varphi _{\varepsilon} *f)(x),}$

splot $tożsamością$ . Ale ponieważ fakt 5 mówi, że ${\ Displaystyle f \ w L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

${\ Displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ do 0} (\ varphi _ {\ varepsilon} * f) (x) = f (x).}$

Łącząc powyższe wykazaliśmy, że

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} ({\ mathcal {F}} f) (\ xi) \, d \ xi = f(x).\qquad \kwadrat }$

Notatki

•   Folland, Wielka Brytania (1992). Analiza Fouriera i jej zastosowania . Belmont, Kalifornia, USA: Wadsworth. ISBN 0-534-17094-3 .
•   Folland, Wielka Brytania (1995). Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych (wyd. 2). Princeton, Stany Zjednoczone: Princeton Univ. Naciskać. ISBN 978-0-691-04361-6 .