Twierdzenie o splotach

W matematyce twierdzenie o splotach stwierdza , że ​​w odpowiednich warunkach transformata Fouriera splotu dwóch funkcji (lub sygnałów ) jest iloczynem punktowym ich transformat Fouriera. Mówiąc bardziej ogólnie, splot w jednej dziedzinie (np. dziedzinie czasu ) jest równy punktowemu mnożeniu w innej dziedzinie (np. dziedzinie częstotliwości ). Inne wersje twierdzenia o splotach mają zastosowanie do różnych transformat związanych z Fourierem .

Funkcje zmiennej ciągłej

Rozważ dwie funkcje i ${\ displaystyle$$}$ z transformatami Fouriera i ${\ Displaystyle G}$ i ${\ displaystyle H}: sol ( x ) {\ Displaystyle G (x)$ }

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G (f) i \ trójkąt q {\ mathcal {F}} \ {g \} (f) = \int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \\H(f)&\triangleq { \mathcal {F}}\{h\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }h(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \end{wyrównane}}}$$

gdzie oznacza operator transformaty Fouriera ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ . Transformację można znormalizować na inne sposoby, w którym to przypadku $poniższym$$.$ splocie pojawią się stałe współczynniki skalowania (zwykle lub . Splot i jest $\ displaystyle g}$ przez: ${$

$${\ Displaystyle r (x) = \ {g * h \} (x) \ trójkąt q \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (\ tau) h (x- \ tau) \, d \ tau =\int _{-\infty}^{\infty}g(x-\tau)h(\tau)\,d\tau.}$$

W tym kontekście gwiazdka oznacza splot zamiast standardowego mnożenia. Zamiast $jest$ symbol iloczynu tensorowego .

Twierdzenie o splotach stwierdza, że:

$${\ Displaystyle R (f) \ trójkąt q {\ mathcal {F}} \ {r \} (f) = G (f) H (f). \ quad f \ w \ mathbb {R}}$$

 

 

 

 

()

Zastosowanie odwrotnej transformaty Fouriera daje wniosek: ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1}}$

Twierdzenie o splotach

${\ Displaystyle r (x) = \ {g * h \} (x) = {\ mathcal {F}} ^ {-1}\{G\cdot H\},}$

 

 

 

 

()

gdzie $punktowe$ mnożenie

Twierdzenie to ogólnie stosuje się również do funkcji wielowymiarowych.

Wielowymiarowe wyprowadzenie równania 1

Rozważ funkcje ${\ Displaystyle g, h}$ w L ^p -przestrzeń ${\ Displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ z transformatami Fouriera ${\ Displaystyle G, H}$ :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G (f) i \ trójkąt q {\ mathcal {F}} \ {g \} (f) = \ int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} ^{n}\\H( f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{h\}(f)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(x)e^{-i2\pi f\cdot x }\,dx,\end{wyrównane}}}$$

gdzie ${\ Displaystyle f \ cdot x}$ wskazuje iloczyn wewnętrzny ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ : ${\ Displaystyle f\cdot x=\sum _{j=1}^{n}{f}_{j}x_{j},}$ i ${\ Displaystyle dx = \ prod _ {j = 1} ^ {n} dx_ {j}.}$

Splot i jest $g$ przez: $\ displaystyle$ { }

$${\ Displaystyle r (x) \ triangleq \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g (\ tau) h (x- \ tau) \, d \ tau.}$$

Również:

$${\ Displaystyle \ iint | g (\ tau) h (x- \ tau) | \, dx \, d \ tau = \ int \ lewo (| g (\ tau) | \ int | h (x - \ tau) |\,dx\right)\,d\tau =\int |g(\tau )|\,\|h\|_{1}\,d\tau =\|g\|_{1}\| h\|_{1}.}$$

Stąd $z$ Fubiniego mamy $_$ więc _ według wzoru całkowego:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R (f) \ trójkąt q {\ mathcal {F}} \ {r \} (f) & = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} r (x) e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}} g(\tau )h(x-\tau )\,d\tau \right)\,e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx.\end{wyrównane}}}$$

Zauważ, że ${\ Displaystyle | g (\ tau) h (x- \ tau) e ^ {- i2 \ pi f \ cdot x} | = | g (\ tau) h (x- \ tau) |} i stąd przez$ argument powyżej możemy ponownie zastosować twierdzenie Fubiniego (tj. zamienić kolejność całkowania):

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} R (f) & = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g (\ tau) \ underbrace {\ lewo (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}}h(x-\tau )\ e^{-i2\pi f\cdot x}\,dx\right)} _{H(f)\ e^{-i2\pi f\cdot \tau }}\,d\tau \\&=\underbrace {\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\tau )\ e^{-i2\pi f\cdot \tau} \,d\tau \right)} _{G(f)}\ H(f).\end{wyrównane}}}$$

Twierdzenie to obowiązuje również dla transformaty Laplace'a , dwustronnej transformaty Laplace'a oraz, po odpowiedniej modyfikacji, dla transformacji Mellina i transformaty Hartleya (patrz twierdzenie Mellina o inwersji ). Można go rozszerzyć na transformatę Fouriera abstrakcyjnej analizy harmonicznej zdefiniowanej na lokalnie zwartych grupach abelowych .

Splot okresowy (współczynniki szeregu Fouriera)

Rozważmy -funkcje okresowe $}$ , można wyrazić jako sumy okresowe sol $P.$$displaystyle P$

$${\ Displaystyle g_ {_ {P}} (x) \ \ trójkątq \ suma _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} g(x-mP)}$$

I

$${\ Displaystyle h_ {_ {P}} (x) \ \ trójkąt q \ suma _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h (x-MP).}$$

W praktyce niezerowa część składowych $wymaga$ jest $często$ ograniczona do czasu trwania $.$ twierdzeniu tego nie Współczynniki szeregu Fouriera to:

$${\ Displaystyle {\ begin{aligned}G[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{g_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}g_ {_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} ;\quad \quad \scriptstyle {\text{całkowanie w dowolnym przedziale długość }}P\\H[k]&\triangleq {\mathcal {F}}\{h_{_{P}}\}[k]={\frac {1}{P}}\int _{P }h_{_{P}}(x)e^{-i2\pi kx/P}\,dx,\quad k\in \mathbb {Z} \end{wyrównane}}}$$

gdzie oznacza całkę szeregu Fouriera . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

• Iloczyn punktowy: ${\ Displaystyle g_ {_ {P}} (x) \ cdot h_ {_ {P}} (x)} jest$ również ${\ Displaystyle P}$ - okresowy $H}$ a jego współczynniki szeregu Fouriera są określone przez dyskretny splot sekwencji i H. $displaystyle$
  $${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {g_ {_ {P}} \ cdot h_ {_ {P}} \} [k] = \ {G * H \} [k].}$$
• splot:
  $${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ {g_ {_ {P}} * h \} (x) \ & \ triangleq \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g_ {_{P}}(x-\tau )\cdot h(\tau )\ d\tau \\&\equiv \int _{P}g_{_{P}}(x-\tau )\cdot h_ {_{P}}(\tau )\ d\tau ;\quad \quad \scriptstyle {\text{całkowanie na dowolnym przedziale długości}}P\end{wyrównane}}}$$
  jest również $splotem$ i nazywany jest okresowym . Odpowiednie twierdzenie o splocie to:

$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {g_ {_ {P}} * h \} [k] = \ P \ cdot G [k] \ H [k].}$$

 

 

 

 

()

Wyprowadzenie równania 2

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathcal {F}} \ {g_ {_ {P}} * h \} [k] & \ triangleq {\ Frac {1} {P}} \ int _ {P }\left(\int _{P}g_{_{P}}(\tau )\cdot h_{_{P}}(x-\tau )\ d\tau \right)e^{-i2\pi kx/P}\,dx\\&=\int _{P}g_{_{P}}(\tau )\left({\frac {1}{P}}\int _{P}h_{_ {P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi kx/P}dx\right)\,d\tau \\&=\int _{P}g_{_{P}}(\ tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}\underbrace {\left({\frac {1}{P}}\int _{P}h_{_{P}}(x-\tau )\ e^{-i2\pi k(x-\tau )/P}dx\right)} _{H[k],\quad {\text{ze względu na okresowość}}}\,d\tau \\ &=\underbrace {\left(\int _{P}\ g_{_{P}}(\tau )\ e^{-i2\pi k\tau /P}d\tau \right)} _{P \cdot G[k]}\ H[k].\end{wyrównane}}}$$

Funkcje zmiennej dyskretnej (ciągi)

Przez wyprowadzenie podobne do równania 1 istnieje analogiczne twierdzenie dla sekwencji, takich jak próbki dwóch funkcji ciągłych, gdzie teraz oznacza operator transformacji Fouriera w czasie dyskretnym (DTFT) ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ . Rozważmy dwie sekwencje i ${ \ displaystyle$$}$ z transformacjami i $n ] {\ displaystyle G}$ i ${\ displaystyle H}$ :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G (f) i \ trójkąt q {\ mathcal {F}} \ {g \} (f) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} g[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;,\quad f\in \mathbb {R} \\H(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{h\}( f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot e^{-i2\pi fn}\;.\quad f\in \mathbb {R} \end{wyrównane }}}$$

§ Dyskretny splot i jest zdefiniowany przez: $displaystyle$$g}$

$${\ Displaystyle r [n] \ triangleq (g * h) [n] = \ suma _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} g [m] \ cdot h [nm] = \ suma _ {m = -\infty }^{\infty }g[nm]\cdot h[m].}$$

Twierdzenie o splotach dla ciągów dyskretnych to:

$${\ Displaystyle R (f) = {\ mathcal {F}} \ {g * h \} (f) = \ G (f) H (f).}$$

 

 

 

 

()

Splot okresowy

${\ Displaystyle G (f)}$ i ${\ Displaystyle H (f)},$ jak zdefiniowano powyżej, są okresowe, z okresem 1. Rozważmy -okresowe sekwencje ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle g_ {_ {N}}}$ i ${\ Displaystyle h_ {_ {N}}}$ :

$${\ Displaystyle g_ {_ {N}} [n] \ \ trójkątq \ suma _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} g[n-mN]}$$

I

$${\ Displaystyle h_ {_ {N}} [n] \ \ trójkąt q \ suma _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} h [n-mN], \ quad n \ w \ mathbb {Z}.}$$

Funkcje te występują w wyniku próbkowania i ${$$\ Displaystyle H}$ w odstępach ${\ Displaystyle 1/N}$ i wykonywania odwrotnej dyskretnej transformaty Fouriera DFT) na ${\ displaystyle N} }$ próbek (patrz § Próbkowanie DTFT ). Splot dyskretny:

$${\ styl wyświetlania \{g_{_{N}}*h\}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }g_{_{N}}[m]\cdot h[nm ]\równoważnik \suma _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]\cdot h_{_{N}}[nm]}$$

jest również $splotem$ i nazywany jest okresowym . Ponowne zdefiniowanie $długości$ jako DFT, odpowiadające twierdzenie to: ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {g_ {_ {N}} * h \} [k] = \ \ underbrace {{\ mathcal {F}} \ {g_ {_ {N}} \} [ k]} _{G(k/N)}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{h_{_{N}}\}[k]} _{H(k/N)},\ quad k\in \mathbb {Z} .}$$

 

 

 

 

()

I dlatego:

$${\ Displaystyle \ {g_ {_ {N}} * h \} [n] = \ {\ mathcal {F}} ^ {-1} \ {{\ mathcal {F}} \ {g_ {_ {N} }\}\cdot {\mathcal {F}}\{h_{_{N}}\}\}.}$$

 

 

 

 

()

W odpowiednich warunkach ta sekwencja o długości N może zawierać pozbawiony zniekształceń segment splotu ${\ displaystyle g * h}$ . Ale kiedy niezerowa część sekwencji $\$ h $Displaystyle h (n)}$ dłuższa niż ${\ Displaystyle N,}$ pewne zniekształcenie jest nieuniknione. Tak $DTFT$ w przypadku, gdy sekwencja nieskończenie długiej § Hilberta odpowiedzi impulsowej

Dla $h$ i ${\ displaystyle g}$$}$ , których niezerowy czas trwania jest mniejszy lub równy uproszczeniu: sol

Splot kołowy

${\ Displaystyle \ {g_ {_ {N}} * h \} [n] = \ {\ mathcal {F}} ^ {-1} \ {{\ mathcal {F}} \ {g \} \ cdot { \mathcal {F}}\{h\}\}.}$

 

 

 

 

()

Ta forma jest często używana do wydajnego wykonywania splotu numerycznego przez komputer . (patrz § Algorytmy szybkiego splotu i § Przykład )

Jako częściową odwrotność wykazano, że każda transformacja liniowa, która zamienia splot w iloczyn punktowy, to DFT (aż do permutacji współczynników).

Wyprowadzenie równania 4

Wyprowadzenie w dziedzinie czasu przebiega w następujący sposób:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ scriptstyle {\ rm {DFT}}} \ {g_ {_ {N}} * h \} [k] i \ trójkąt q \ suma _ {n = 0} ^ {N -1}\left(\suma _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]\cdot h_{_{N}}[nm]\right)e^{-i2 \pi kn/N}\\&=\suma _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]\left(\suma _{n=0}^{N-1 }h_{_{N}}[nm]\cdot e^{-i2\pi kn/N}\right)\\&=\sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N }}[m]\cdot e^{-i2\pi km/N}\underbrace {\left(\sum _{n=0}^{N-1}h_{_{N}}[nm]\cdot e^{-i2\pi k(nm)/N}\right)} _ {{\scriptstyle {\rm {DFT}}}\{h_{_{N}}\}[k]\quad \scriptstyle { \text{ze względu na okresowość}}}\\&=\underbrace {\left(\sum _{m=0}^{N-1}g_{_{N}}[m]\cdot e^{-i2 \pi km/N}\right)} _ {{\scriptstyle {\rm {DFT}}}\{g_{_{N}}\}[k]}\left({\scriptstyle {\rm {DFT} }}\{h_{_{N}}\}[k]\right).\end{aligned}}}$$

Wyprowadzenie w dziedzinie częstotliwości wynika z § Dane okresowe , co wskazuje, że DTFT można zapisać jako:

$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {g_ {_ {N}} * h \} (f) = {\ Frac {1} {N}} \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty }\lewo({\scriptstyle {\rm {DFT}}}\{g_{_{N}}*h\}[k]\right)\cdot \delta \left(fk/N\right).}$$

 

 

 

 

()

$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {g_ {_ {N}} \} (f) = {\ Frac {1} {N}} \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \left({\scriptstyle {\rm {DFT}}}\{g_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \delta \left(fk/N\right).}$$

Produkt z jest w ten sposób zredukowany do funkcji o częstotliwości dyskretnej: ${\ Displaystyle H (f)}$

$${\ Displaystyle {\ zacząć { wyrównane}{\mathcal {F}}\{g_{_{N}}*h\}(f)&=G_{_{N}}(f)H(f)\\&={\frac {1 }{N}}\sum _{k=-\infty}^{\infty}\left({\scriptstyle {\rm {DFT}}}\{g_{_{N}}\}[k]\right )\cdot H(f)\cdot \delta \left(fk/N\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\ left({\scriptstyle {\rm {DFT}}}\{g_{_{N}}\}[k]\right)\cdot H(k/N)\cdot \delta \left(fk/N\right) )\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left({\scriptstyle {\rm {DFT}}}\{g_{_{ N}}\}[k]\right)\cdot \left({\scriptstyle {\rm {DFT}}}\{h_{_{N}}\}[k]\right)\cdot \delta \left (fk/N\right), \ quad \ scriptstyle {\ mathsf {(Równanie 5b)}} \ koniec {wyrównane}}}$$

gdzie równoważność i $) {\ Displaystyle$$\{h_{_{N}}\}[k]\right)}$$}}$ wynika z § Próbkowanie DTFT . Dlatego równoważność ( 5a ) i ( 5b ) wymaga:

$${\ Displaystyle {\ scriptstyle {\ rm {DFT}}} {\ {g_ {_ {N}} * h \} [k]} = \ lewo ({\ scriptstyle {\ rm {DFT}}} \ {g_ {_{N}}\}[k]\right)\cdot \left({\scriptstyle {\rm {DFT}}}\{h_{_{N}}\}[k]\right).}$$

Możemy również zweryfikować odwrotność DTFT (5b):

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (g_ {_ {N}} * h) [n] & = \ int _ {0} ^ {1} \ lewo ({\ Frac {1} {N}} \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ scriptstyle {\ rm {DFT}}} \ {g_ {_ {N}} \} [k] \ cdot {\ scriptstyle {\ rm {DFT}} }\{h_{_{N}}\}[k]\cdot \delta \left(fk/N\right)\right)\cdot e^{i2\pi fn}df\\&={\frac { 1}{N}}\sum _{k=-\infty}^{\infty}{\scriptstyle {\rm {DFT}}}\{g_{_{N}}\}[k]\cdot {\ scriptstyle {\rm {DFT}}}\{h_{_{N}}\}[k]\cdot \underbrace {\left(\int _{0}^{1}\delta \left(fk/N\ po prawej)\cdot e^{i2\pi fn}df\po prawej)} _{{\text{0, for}}\ k\ \notin \ [0,\ N)}\\&={\frac {1 }{N}}\sum _{k=0}^{N-1}{\bigg (}{\scriptstyle {\rm {DFT}}}\{g_{_{N}}\}[k]\ cdot {\scriptstyle {\rm {DFT}}}\{h_{_{N}}\}[k]{\bigg)}\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k }\\&=\ {\scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}}{\bigg (}{\scriptstyle {\rm {DFT}}}\{g_{_{N}}\}\ cdot {\scriptstyle {\rm {DFT}}}\{h_{_{N}}\}{\bigg)}.\end{wyrównane}}}$$

Twierdzenie o splotach dla odwrotnej transformaty Fouriera

Zauważ, że w poniższym przykładzie " ${\textstyle \cdot }$ " reprezentuje iloczyn Hadamarda , a " ${\textstyle *}$ " reprezentuje splot między dwiema macierzami. Istnieje również twierdzenie o splocie dla odwrotnej transformaty Fouriera

$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {g * h \} = {\ mathcal {F}} \ {g \} \ cdot {\ matematyka {F}}\{h\}}$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {g \ cdot h \} = {\ mathcal {F}} \ {g \} * {\ matematyka {F}}\{h\}}$$

aby

$${\ Displaystyle g * h = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ lewo \ {{\ mathcal {F}} \ { g\}\cdot {\mathcal {F}}\{h\}\right\}}$$

$${\ Displaystyle g \ cdot h = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ lewo \ {{\ mathcal {F}} \ {g\}*{\mathcal {F}}\{h\}\right\}}$$

Twierdzenie o splotach dla rozkładów temperowanych

Twierdzenie o splotach rozciąga się na rozkłady temperowane . Tutaj jest to dowolny rozkład temperowany (np. grzebień Diraca ) ${\ displaystyle g}$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f * g \} = {\ mathcal {F}} \ {f \} \ cdot {$$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {\ alfa \ cdot g \} = {\ mathcal {F}} \ {\ alfa \} * {\mathcal {F}}\{g\}}$$

ale ${\ Displaystyle f = F \ {\ alfa \}}$ musi „szybko maleć” w kierunku i $+ \ infty}$$Displaystyle$ zagwarantować istnienie zarówno splotu, jak i iloczynu mnożenia. $.$ , jeśli istnienie zarówno iloczynu mnożenia .

W szczególności każda kompaktowo obsługiwana temperowana dystrybucja, taka jak Delta Diraca , „szybko maleje”. Równoważnie funkcje o ograniczonym paśmie , takie jak funkcja, która jest stale $są$ gładkimi „powoli rosnącymi” zwykłymi funkcjami. Jeśli, na przykład, $delta }$$Diraca,$ dają wzór sumowania Poissona , a ponadto ≡ δ ${\ Displaystyle f \ równoważnik$ to delta Diraca, to $jest$ jednością i te równania dają tożsamość Diraca

Zobacz też

• Funkcja generująca moment zmiennej losowej

Notatki

Dalsza lektura

•   Katznelson, Yitzhak (1976), Wprowadzenie do analizy harmonicznej , Dover, ISBN 0-486-63331-4
•   Li, Bing; Babu, G. Jogesh (2019), „Twierdzenie o splocie i wydajność asymptotyczna”, kurs dla absolwentów wnioskowania statystycznego , Nowy Jork: Springer, s. 295–327, ISBN 978-1-4939-9759-6
• Crutchfield, Steve (9 października 2010), „The Joy of Convolution” , Johns Hopkins University , pobrane 19 listopada 2010

Dodatkowe zasoby

Aby zapoznać się z wizualną reprezentacją zastosowania twierdzenia o splotach w przetwarzaniu sygnału , zobacz:

• językiem Java Uniwersytetu Johnsa Hopkinsa : http://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html