analiza p -adyczna

3-adyczne liczby całkowite z wybranymi odpowiadającymi im znakami z ich podwójnej grupy Pontryagina

W matematyce analiza p -adyczna jest gałęzią teorii liczb , która zajmuje się matematyczną analizą funkcji liczb p -adycznych .

Teoria funkcji liczbowych o wartościach zespolonych na liczbach p -adycznych jest częścią teorii grup lokalnie zwartych . Zwyczajowym znaczeniem przyjętym dla p -adycznej jest teoria funkcji p -adycznych w interesujących nas przestrzeniach.

Zastosowania analizy p -adycznej były głównie w teorii liczb , gdzie odgrywa ona znaczącą rolę w geometrii diofantycznej i aproksymacji diofantycznej . Niektóre zastosowania wymagały opracowania analizy funkcjonalnej i teorii spektralnej . Pod wieloma względami p -adyczna jest mniej subtelna niż analiza klasyczna , ponieważ nierówność ultrametryczna oznacza na przykład, że zbieżność nieskończonych szeregów p -adyczne są znacznie prostsze. Topologiczne przestrzenie wektorowe nad polami p -adycznymi wykazują charakterystyczne cechy; na przykład aspekty związane z wypukłością i twierdzeniem Hahna – Banacha są różne.

Ważne wyniki

Twierdzenie Ostrowskiego

Twierdzenie Ostrowskiego, pochodzące od Aleksandra Ostrowskiego (1916), stwierdza, że każda nietrywialna wartość bezwzględna na liczbach wymiernych Q jest równoważna albo zwykłej rzeczywistej wartości bezwzględnej, albo $p$ -adycznej wartości bezwzględnej.

Twierdzenie Mahlera

Twierdzenie Mahlera , wprowadzone przez Kurta Mahlera , wyraża ciągłe funkcje p -adyczne za pomocą wielomianów.

W dowolnym polu o charakterystyce 0 mamy następujący wynik. Pozwalać

{\ Displaystyle (\ Delta f) (x) = f (x + 1) -f (x)}

być przednim operatorem różnicowym . Wtedy dla funkcji wielomianowych f mamy szereg Newtona :

{\ Displaystyle f (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} (\ Delta ^ {k} f )(0){x \wybierz k},}

Gdzie

{\ Displaystyle {x \ wybierz k} = {\ Frac {x (x-1) (x-2) \ cdots (xk + 1)} {k!}}}

jest wielomianem k- tego współczynnika dwumianu.

W polu liczb rzeczywistych założenie, że funkcja f jest wielomianem, można osłabić, ale nie można go osłabić aż do zwykłej ciągłości .

Mahler udowodnił następujący wynik:

Twierdzenie Mahlera : Jeśli f jest ciągłą funkcją p-adyczną na liczbach całkowitych p -adic, to zachodzi ta sama tożsamość.

Lemat Hensela

Lemat Hensla, znany również jako lemat Hensela, nazwany na cześć Kurta Hensla , jest wynikiem arytmetyki modularnej , stwierdzającym, że jeśli równanie wielomianowe ma prosty pierwiastek modulo liczbę pierwszą $p$ , to ten pierwiastek odpowiada unikalnemu pierwiastkowi tego samego równania modulo dowolnej wyższej potęgi $p$ , którą można znaleźć iteracyjnie „ podnosząc ” rozwiązanie modulo kolejnych potęg $p$ . Bardziej ogólnie jest używany jako ogólna nazwa dla analogów dla kompletności pierścienie przemienne (w tym zwłaszcza pola p -adyczne) metody Newtona do rozwiązywania równań. Ponieważ p -adyczna jest pod pewnymi względami prostsza niż analiza rzeczywista , istnieją stosunkowo łatwe kryteria gwarantujące pierwiastek wielomianu.

Aby podać wynik, niech będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych ( lub p -adic $)$ i niech , k będzie liczbami całkowitymi takimi, że m ≤ k Jeśli r jest liczbą całkowitą taką, że

{\ Displaystyle f (r) \ równoważnik 0 {\ pmod {p ^ {k}}}}

i

{\ Displaystyle f '(r )\not \równoważnik 0{\pmod {p}}}

wtedy istnieje liczba całkowita s taka, że

{\ Displaystyle f (s) \ równoważnik 0 {\ pmod {p ^ {k + m}}}}

i

{\ displaystyle r \ równoważnik s {\ pmod {p ^ {k}}}.}

Co więcej, to s jest unikalnym modulo p ^{k + m} i może być obliczone jawnie jako

{\ Displaystyle s = r + tp ^ {k}}

gdzie

{\ Displaystyle t = - {\ Frac {f (r)} {p ^ {k}}} \ cdot (f' (r) ^ {-1}).}

Aplikacje

P-adyczna mechanika kwantowa

P-adyczna mechanika kwantowa to stosunkowo nowe podejście do zrozumienia natury fizyki fundamentalnej. Jest to zastosowanie analizy p-adycznej do mechaniki kwantowej . Liczby p-adyczne to intuicyjny system arytmetyczny (ale geometrycznie sprzeczny z intuicją), który został odkryty przez niemieckiego matematyka Kurta Hensela około 1899 roku i przez niemieckiego matematyka Ernsta Kummera (1810-1893) wcześniej w elementarnej formie. Blisko spokrewnione adele i idele zostały wprowadzone w latach trzydziestych XX wieku przez Claude'a Chevalleya i Andrzej Weil . Ich badania przekształciły się teraz w główną gałąź matematyki. Od czasu do czasu stosowano je w naukach fizycznych, ale dopiero publikacja rosyjskiego matematyka Wołowicza w 1987 roku sprawiła, że w świecie fizyki temat ten został potraktowany poważnie. Istnieją obecnie setki artykułów naukowych na ten temat, a także czasopisma międzynarodowe.

Istnieją dwa główne podejścia do tematu. Pierwsza dotyczy cząstek w studni o potencjale p-adic, a celem jest znalezienie rozwiązań o płynnie zmieniających się funkcjach falowych o wartościach zespolonych. Tutaj rozwiązania mają mieć pewną dozę znajomości ze zwykłego życia. Drugi dotyczy cząstek w studniach potencjału p-adic, a celem jest znalezienie funkcji falowych o wartościach p-adycznych. W tym przypadku fizyczna interpretacja jest trudniejsza. Jednak matematyka często wykazuje uderzające cechy, dlatego ludzie nadal ją badają. Sytuacja została podsumowana w 2005 roku przez jednego naukowca w następujący sposób: „Po prostu nie mogę myśleć o tym wszystkim jako o sekwencji zabawnych wypadków i odrzucić to jako„ model zabawkowy ”. Myślę, że więcej pracy nad tym jest zarówno potrzebne, jak i warte zachodu”.

Zasada lokalno-globalna

Helmuta Hassego , znana również jako zasada Hassego, polega na tym, że można znaleźć rozwiązanie równania w postaci liczb całkowitych , używając chińskiego twierdzenia o resztach do złożenia razem rozwiązań potęg modulo każdej innej liczby pierwszej . Jest to obsługiwane przez zbadanie równania w uzupełnieniach liczb wymiernych : liczb rzeczywistych i liczb p -adycznych . Bardziej formalna wersja zasady Hassego stwierdza, że pewne typy równań mają racjonalne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy mają rozwiązanie w liczbach rzeczywistych i liczbach p -adycznych dla każdej liczby pierwszej p .

Zobacz też

Dalsza lektura

Koblitz, Neal (1980). analiza p-adic: krótki kurs na temat ostatnich prac . Seria notatek z wykładów London Mathematical Society. Tom. 46. Cambridge University Press . ISBN 0-521-28060-5 . Zbl 0439.12011 .
Cassels, JWS (1986). Pola lokalne . Teksty studenckie London Mathematical Society. Tom. 3. Cambridge University Press . ISBN 0-521-31525-5 . Zbl 0595.12006 .
Chistow, Aleksander; Karpiński, Marek (1997). „Złożoność decydowania o rozwiązywalności równań wielomianowych na liczbach całkowitych p-adic” . Uniw. Sprawozdania Bonn CS 85183 . S2CID 120604553 .
Karpiński, Marek ; van der Poorten, Alf; Szparliński, Igor (2000). „Testowanie zerowe wielomianów p-adycznych i modularnych” . Informatyka teoretyczna . 233 (1–2): 309–317. doi : 10.1016/S0304-3975(99)00133-4 . ( preprint )
Kurs analizy p-adycznej, Alain Robert, Springer, 2000, ISBN 978-0-387-98669-2
Rachunek ultrametryczny: wprowadzenie do analizy P-Adic , WH Schikhof, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-03287-2
P-adyczne równania różniczkowe, Kiran S. Kedlaya, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-76879-5