Przybliżenie diofantyczne

Najlepsze wymierne przybliżenia dla π (zielone kółko), e (niebieski romb), ϕ (różowy podłużny), (√3)/2 (szary sześciokąt), 1/√2 (czerwony ośmiokąt) i 1/√3 (pomarańczowy trójkąt) obliczone z ich ciągłych rozwinięć ułamkowych, wykreślone jako nachylenia y / x z błędami ich prawdziwych wartości (czarne kreski)

W teorii liczb badanie aproksymacji diofantycznej zajmuje się aproksymacją liczb rzeczywistych przez liczby wymierne . Jej nazwa pochodzi od Diofantusa z Aleksandrii .

Pierwszym problemem było ustalenie, jak dobrze liczba rzeczywista może być aproksymowana przez liczby wymierne. Dla tego problemu liczba wymierna a / b jest „dobrym” przybliżeniem liczby rzeczywistej α , jeśli wartość bezwzględna różnicy między a / b i α może się nie zmniejszyć, jeśli a / b zostanie zastąpiona inną liczbą wymierną o mniejszej mianownik. Problem ten został rozwiązany w XVIII wieku za pomocą ułamków ciągłych .

Znając „najlepsze” przybliżenia danej liczby, głównym problemem dziedziny jest znalezienie ostrych górnych i dolnych granic powyższej różnicy, wyrażonych w funkcji mianownika . Wydaje się, że granice te zależą od natury liczb rzeczywistych, które mają być przybliżone: dolna granica przybliżenia liczby wymiernej przez inną liczbę wymierną jest większa niż dolna granica liczb algebraicznych, która sama w sobie jest większa niż dolna granica dla wszystkie liczby rzeczywiste. Tak więc liczba rzeczywista, którą można przybliżyć lepiej niż granica dla liczb algebraicznych, jest z pewnością liczbą przestępną .

Ta wiedza umożliwiła Liouville'owi w 1844 roku stworzenie pierwszej wyraźnej liczby przestępnej. Później podobną metodą uzyskano dowody na to, że π i e są transcendentalne.

Przybliżenia diofantyczne i transcendentalna teoria liczb to bardzo bliskie obszary, które mają wiele wspólnych twierdzeń i metod. Przybliżenia diofantyczne mają również ważne zastosowania w badaniu równań diofantycznych .

Medal Fieldsa 2022 został przyznany Jamesowi Maynardowi za jego pracę nad aproksymacją diofantyczną.

Najlepsze przybliżenia diofantyczne liczby rzeczywistej

Główny artykuł: ułamek ciągły § Najlepsze racjonalne przybliżenia

Biorąc pod uwagę liczbę rzeczywistą α , istnieją dwa sposoby na zdefiniowanie najlepszego przybliżenia diofantycznego α . Dla pierwszej definicji liczba wymierna p / q jest najlepszym przybliżeniem diofantycznym α if

${\ Displaystyle \ lewo |\ alfa - {\ Frac {p} {q}} \ prawo | <\ lewo | \ alfa - {\ Frac {p'} {q'}} \ prawo |,}$

dla każdej liczby wymiernej p' / q' różnej od p / q takiej, że 0 < q ′ ≤ q .

W przypadku drugiej definicji powyższa nierówność zostaje zastąpiona przez

${\ Displaystyle \ lewo | q \ alfa -p \ prawo | <\ lewo | q ^ {\ liczba pierwsza} \ alfa -p ^ {\ liczba pierwsza} \ prawo |.}$

Najlepsze przybliżenie dla drugiej definicji jest również najlepszym przybliżeniem dla pierwszej, ale odwrotność nie jest generalnie prawdziwa.

Teoria ułamków ciągłych pozwala nam obliczyć najlepsze przybliżenia liczby rzeczywistej: dla drugiej definicji są to zbieżności jej wyrażenia jako ułamka regularnego ciągłego. Dla pierwszej definicji należy wziąć pod uwagę również półzbieżności .

Na przykład stała e = 2,718281828459045235... ma (regularną) ciągłą reprezentację ułamkową

${\ Displaystyle [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1, \ ldots \;].}$

Jego najlepszymi przybliżeniami dla drugiej definicji są

${\ Displaystyle 3, {\ tfrac {8} {3}}, {\ tfrac {11} {4}}, {\ tfrac {19} 7}},{\tfrac {87}{32}},\ldots \,,}$

podczas gdy dla pierwszej definicji są

${\ Displaystyle 3, {\ tfrac {5} {2}}, {\ tfrac {8} {3}}, {\ tfrac {11} {4}}, {\ tfrac {19} {7}}, { \tfrac {49}{18}},{\tfrac {68}{25}},{\tfrac {87}{32}},{\tfrac {106}{39}},\ldots \,.}$

Miara dokładności przybliżeń

Oczywistą miarą dokładności diofantycznego przybliżenia liczby rzeczywistej α przez liczbę wymierną p / q jest ${\textstyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|.}$ Jednak wielkość tę można zawsze dowolnie zmniejszyć, zwiększając wartości bezwzględne p i q ; dlatego dokładność przybliżenia jest zwykle szacowana przez porównanie tej wielkości z pewną funkcją φ mianownika q , zwykle jej ujemną potęgą.

Do takiego porównania można chcieć określić górne lub dolne granice dokładności. Dolna granica jest zwykle opisana przez twierdzenie typu „dla każdego elementu α pewnego podzbioru liczb rzeczywistych i każdej liczby wymiernej p / q , mamy ${\ textstyle \ lewo |\ alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\phi (q)}$ ". W niektórych przypadkach „każdą liczbę wymierną” można zastąpić „wszystkimi liczbami wymiernymi z wyjątkiem ich skończonej liczby”, co jest równoznaczne z pomnożeniem φ przez pewną stałą zależną od α .

W przypadku górnych granic należy wziąć pod uwagę, że nie wszystkie „najlepsze” przybliżenia diofantyczne dostarczone przez zbieżności mogą mieć pożądaną dokładność. Dlatego twierdzenia przybierają postać „dla każdego elementu α pewnego podzbioru liczb rzeczywistych istnieje nieskończenie wiele liczb wymiernych p / q takich, że ${\ textstyle \ lewo | \ alfa -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)}$ ".

Źle przybliżone liczby

Źle aproksymowana liczba to x , dla którego istnieje dodatnia stała c taka, że ​​dla wszystkich wymiernych p / q mamy

${\ Displaystyle \ lewo | {x - {\ Frac {p} {q}}} \ prawo |> {\ Frac {c} {q ^ {2}}} \ .}$

Źle aproksymowalne liczby to właśnie te z ograniczonymi ilorazami cząstkowymi .

Równoważnie, liczba jest źle przybliżona wtedy i tylko wtedy, gdy jej stała Markowa jest ograniczona.

Dolne granice przybliżeń diofantycznych

Aproksymacja wymiernego przez inne wymierne

Liczba wymierna $= ja$$p_ {i }}{q_{i}}}={\frac {i\,a}{i\,b}}}$ i doskonale przybliżona przez dla każdej dodatniej liczby całkowitej i .

Jeśli ${\ textstyle {\ Frac {p} {q}} \ not = \ alfa = {\ Frac {a} {b}} \,,}$ mamy

${\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {a} {b}} - {\ Frac {p} {q}} \ prawo | = \ lewo | {\ Frac {aq-bp} {bq} }\right|\geq {\frac {1}{bq}},}$

ponieważ ${\ displaystyle | aq-bp |}$ jest dodatnią liczbą całkowitą, a zatem nie jest mniejsza niż 1. Zatem dokładność przybliżenia jest zła w stosunku do liczb niewymiernych (patrz następne sekcje).

Można zauważyć, że poprzedni dowód wykorzystuje wariant zasady przegródki : nieujemna liczba całkowita, która nie jest równa 0, nie jest mniejsza niż 1. Ta pozornie trywialna uwaga jest używana w prawie każdym dowodzie dolnych granic przybliżeń diofantycznych, nawet te najbardziej wyrafinowane.

Podsumowując, liczba wymierna jest doskonale aproksymowana sama w sobie, ale jest źle aproksymowana przez jakąkolwiek inną liczbę wymierną.

Aproksymacja liczb algebraicznych, wynik Liouville'a

Główny artykuł: liczba Liouville

W latach czterdziestych XIX wieku Joseph Liouville uzyskał pierwszą dolną granicę przybliżenia liczb algebraicznych : jeśli x jest niewymierną liczbą algebraiczną stopnia n nad liczbami wymiernymi, to istnieje stała c ( x ) > 0 taka, że

${\ Displaystyle \ lewo | x - {\ Frac {p} {q}} \ prawo |> {\ Frac {c (x)} {q ^ {n}}}}$

dotyczy wszystkich liczb całkowitych p i q , gdzie q > 0 .

Ten wynik pozwolił mu stworzyć pierwszy sprawdzony przykład liczby przestępnej, stałą Liouville'a

${\ Displaystyle \ suma _ {j = 1} ^ {\ infty} 10 ^ {-j!} = 0,110001000000000000000001000 \ ldots \,,}$

co nie spełnia twierdzenia Liouville'a, niezależnie od wybranego stopnia n .

Ten związek między przybliżeniami diofantycznymi a transcendentalną teorią liczb trwa do dnia dzisiejszego. Wiele technik dowodowych jest wspólnych dla tych dwóch obszarów.

Aproksymacja liczb algebraicznych, twierdzenie Thue-Siegel-Roth

Główny artykuł: Twierdzenie Thue – Siegela – Rotha

W ciągu ponad wieku podejmowano wiele wysiłków, aby ulepszyć twierdzenie Liouville'a: każde ulepszenie granicy pozwala nam udowodnić, że więcej liczb jest przestępnych. Główne ulepszenia są zasługą Axela Thue ( 1909 ), Siegela ( 1921 ), Freemana Dysona ( 1947 ) i Klausa Rotha ( 1955 ), co ostatecznie prowadzi do twierdzenia Thue-Siegel-Roth: Jeśli x jest niewymierną liczbą algebraiczną i ε (mała) dodatnia liczba rzeczywista, to istnieje dodatnia stała c ( x , ε ) taka, że

${\ Displaystyle \ lewo | x - {\ Frac {p} {q}} \ prawo |> {\ Frac {c (x, \ varepsilon)} {q ^ {2 +\varepsilon }}}}$

zachodzi dla każdej liczby całkowitej p i q takiej, że q > 0 .

W pewnym sensie wynik ten jest optymalny, ponieważ twierdzenie byłoby fałszywe przy ε = 0. Jest to bezpośrednia konsekwencja opisanych poniżej górnych granic.

Jednoczesne przybliżenia liczb algebraicznych

Główny artykuł: Twierdzenie o podprzestrzeni

Następnie Wolfgang M. Schmidt uogólnił to na przypadek równoczesnych przybliżeń, dowodząc, że: Jeżeli x ₁ , ..., x _n są liczbami algebraicznymi takimi, że 1, x ₁ , ..., x _n są liniowo niezależne od wymiernej a ε jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, to istnieje tylko skończenie wiele wymiernych n -krotek ( p ₁ / q , ..., p _n / q ) takich, że

${\ Displaystyle \ lewo | x_ {i} - {\ Frac {p_ {i}}} {q}} \ prawo | <q ^ {- (1 + 1 / n + \ varepsilon)}, \ quad i = 1, \ ldots, rz.}$

Ponownie, ten wynik jest optymalny w tym sensie, że nie można usunąć ε z wykładnika.

Efektywne granice

Wszystkie poprzednie dolne granice nie są skuteczne w tym sensie, że dowody nie dają żadnego sposobu na obliczenie stałej implikowanej w stwierdzeniach. Oznacza to, że nie można wykorzystać wyników ani ich dowodów do uzyskania granic wielkości rozwiązań powiązanych równań diofantycznych. Jednak te techniki i wyniki często można wykorzystać do ograniczenia liczby rozwiązań takich równań.

Niemniej jednak udoskonalenie twierdzenia Bakera przez Feldmana zapewnia efektywne ograniczenie: jeśli x jest liczbą algebraiczną stopnia n nad liczbami wymiernymi, to istnieją efektywnie obliczalne stałe c ( x ) > 0 i 0 < d ( x ) < n takie To

${\ Displaystyle \ lewo | x - {\ Frac {p} {q}} \ prawo |> {\ Frac {c (x)}} {| q | ^ {d (x)}}}}$

zachodzi dla wszystkich liczb całkowitych wymiernych.

Jednak, jak w każdej efektywnej wersji twierdzenia Bakera, stałe d i 1/ c są tak duże, że ten efektywny wynik nie może być wykorzystany w praktyce.

Górne granice przybliżeń diofantycznych

Ogólna górna granica

Główny artykuł: twierdzenie Hurwitza (teoria liczb)

Pierwszym ważnym wynikiem dotyczącym górnych granic przybliżeń diofantycznych jest twierdzenie Dirichleta o przybliżeniu , z którego wynika, że ​​dla każdej liczby niewymiernej α istnieje nieskończenie wiele ułamków takich, że p $\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}} \;}$

${\ Displaystyle \ lewo | \ alfa - {\ Frac {p} {q}} \ prawo | <{\ Frac {1} {q ^ {2}}} \,.}$

Oznacza to od razu, że nie można pominąć ε w stwierdzeniu twierdzenia Thue-Siegela-Rotha.

Adolf Hurwitz (1891) wzmocnił ten wynik, udowadniając, że dla każdej liczby niewymiernej α istnieje nieskończenie wiele ułamków takich, że ${\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}} \;}$

${\ Displaystyle \ lewo | \ alfa - {\ Frac {p} {q}} \ prawo | < {\ Frac {1} {{\ sqrt {5}} q ^ {2}}} \,.}$

Dlatego $jest$ diofantycznych dowolnej liczby niewymiernej Stałej w tym wyniku nie można dalej poprawiać bez wykluczenia niektórych liczb niewymiernych (patrz poniżej).

Émile Borel (1903) wykazał, że w rzeczywistości, mając dowolną liczbę niewymierną α i trzy kolejne zbieżności α , przynajmniej jedna musi spełniać nierówność podaną w twierdzeniu Hurwitza.

Równoważne liczby rzeczywiste

Definicja : $rzeczywiste$$za$ nazywane równoważnymi istnieją ${\ Displaystyle ad-bc = \ pm 1 \;}$ z takie, że:

${\ Displaystyle y = {\ Frac {ax + b} {cx + d}} \,.}$

Tak więc równoważność jest definiowana przez całkowitą transformację Möbiusa na liczbach rzeczywistych lub przez członka grupy modułowej ${\ Displaystyle {\ tekst {SL}} _ {2} ^ {\ pm} (\ mathbb {Z} )}$ , zbiór odwracalnych macierzy 2 × 2 na liczbach całkowitych. Każda liczba wymierna jest równoważna 0; zatem liczby wymierne są klasą równoważności dla tej relacji.

Równoważność można odczytać na regularnej reprezentacji ułamka ciągłego, jak pokazuje następujące twierdzenie Serreta :

Twierdzenie : Dwie liczby niewymierne x i y są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją dwie dodatnie liczby całkowite h i k takie, że reprezentacje x i y w ułamkach regularnych

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = [u_ {0}; u_ {1}, u_ {2}, \ ldots] \, \\ y & = [v_ {0} };v_{1},v_{2},\ldots ]\,,\end{wyrównane}}}$

usatysfakcjonować

${\ Displaystyle u_ {h + i} = v_ {k + i}}$

dla każdej nieujemnej liczby całkowitej i .

Zatem, z wyjątkiem skończonej sekwencji początkowej, liczby równoważne mają tę samą ciągłą reprezentację ułamkową.

Liczby równoważne są przybliżalne w tym samym stopniu, w tym sensie, że mają tę samą stałą Markowa .

Widmo Lagrange'a

Główny artykuł: widmo Markowa

Jak powiedziano powyżej, stałej w twierdzeniu Borela nie można poprawić, jak wykazał Adolf Hurwitz w 1891 r. Niech ${\ Displaystyle \ phi = {\ tfrac {1 + {\ sqrt {5}}} 2}}}$ być złotym podziałem . Wtedy dla dowolnej stałej rzeczywistej c z istnieje tylko skończona liczba liczb wymiernych p / q takich, że do ${\ displaystyle c> {\ sqrt {5}} \;$

${\ Displaystyle \ lewo | \ phi - {\ Frac {p} {q}} \ prawo | <{\ Frac {1} {c \, q ^ {2}}}.}$

wykluczy się liczby równoważne ${\ displaystyle \ phi} .$ Dokładniej: dla każdej liczby niewymiernej $,$ nie jest równoważna , istnieje nieskończenie wiele ułamków $; }$${\ Displaystyle {\ tfrac {p} {q}}$ takie, że

${\ Displaystyle \ lewo | \ alfa - {\ Frac {p} {q}} \ prawo | < {\ Frac {1} {{\ sqrt {8}} q ^ {2}}}.}$

$należy$ wykluczyć liczby odpowiadające - większej liczbie klas równoważności, dolną granicę można jeszcze bardziej powiększyć. Wartości, które można w ten sposób wygenerować, to liczby Lagrange'a , które są częścią widma Lagrange'a . Zbiegają się one do liczby 3 i są powiązane z liczbami Markowa .

Twierdzenie Chinczina o metrycznym przybliżeniu i rozszerzeniach diofantycznych

Niech $będzie dodatnią$$sekwencją$ ) taką, że nie rośnie Liczba rzeczywista x (niekoniecznie algebraiczna) nazywana jest - przybliżoną , jeśli istnieje nieskończenie wiele liczb wymiernych p / q takich, że ${\ displaystyle \ psi}$

${\ Displaystyle \ lewo | x - {\ Frac {p} {q}} \ prawo | <{\ Frac {\ psi (q)} {| q |}}.}$

Aleksandr Khinchin udowodnił w 1926 r $.,$ Że jeśli szereg jest $\ psi}$ w sensie Lebesgue'a ) jest ${\$$-w$ przybliżeniu, a jeśli szereg jest zbieżny, to prawie każda liczba rzeczywista nie jest . Krąg idei otaczających to twierdzenie i jego pokrewnych jest znany jako metryczne przybliżenie diofantyczne lub metryczna teoria przybliżenia diofantycznego (nie mylić z „metrykami” wysokości w geometrii diofantycznej ) lub metryczna teoria liczb .

Duffin i Schaeffer (1941) $sekwencji$ uogólnienie wyniku Khinchina i postawili to, co jest obecnie znane jako hipoteza Duffina-Schaeffera na temat analogii dychotomii Khinchina dla ogólnych, niekoniecznie malejących, . Beresnevich i Velani (2006) udowodnili, że analog miary Hausdorffa hipotezy Duffina-Schaeffera jest równoważny oryginalnej hipotezie Duffina-Schaeffera, która jest a priori słabsza. W lipcu 2019 roku Dimitris Koukoulopoulos i James Maynard ogłosili dowód hipotezy.

Wymiar Hausdorffa wyjątkowych zbiorów

${\ Displaystyle \ psi _ {c} (q) = q ^ {-c }}$ przykładem funkcji, do której można zastosować twierdzenie Khinchina $,$ jest funkcja , gdzie c > 1 jest liczbą rzeczywistą. $jest$ zbieżny, więc twierdzenie Khinchina mówi nam, że prawie każdy punkt nie jest . Zatem zbiór liczb, które są $przybliżone,$ rzeczywistej linii miary Lebesgue'a zero. Twierdzenie Jarníka-Besicovitcha, na podstawie V. Jarníka i AS Besicovitcha , stwierdza, że ​​​​wymiar Hausdorffa tego zbioru jest równy ${\ displaystyle 1/c}$ . W szczególności zbiór liczb, które są przybliżone dla niektórych $}$ znany jako zbiór liczb bardzo dobrze przybliżonych ) ma Hausdorffa jeden ${\ displaystyle \ psi _ {c$$)$ zbiór liczb, które są $.$ wszystkich znany jako zbiór liczb Liouville'a wymiar Hausdorffa zero

Innym ważnym przykładem jest funkcja $q ^ {-1}}$$}$ varepsilon } (q) = \ $varepsilon$ jest liczbą rzeczywistą. Dla tej funkcji odpowiedni szereg $jest$ rozbieżny, więc twierdzenie Khinchina mówi nam, że prawie każda liczba . To tak samo, jak powiedzieć, że każda taka liczba jest dobrze przybliżona , gdzie liczbę nazywamy dobrze przybliżoną, jeśli nie jest źle przybliżona. Odpowiedni odpowiednik twierdzenia Jarníka-Besicovitcha powinien więc dotyczyć wymiaru Hausdorffa zbioru liczb źle aproksymowalnych. I rzeczywiście, V. Jarník udowodnił, że wymiar Hausdorffa tego zbioru jest równy jeden. $jest$ poprawił WM Schmidt , który że zbiór liczb źle aproksymowanych jest co oznacza, ciągiem mapy bi-Lipschitza , a następnie zbiór liczb x , dla których wszystkie są ${\ Displaystyle f_ {1} (x), f_ {2} (x), \ ldots}$ źle aproksymowalny ma wymiar Hausdorffa jeden. Schmidt uogólnił również twierdzenie Jarníka na wyższe wymiary, co jest znaczącym osiągnięciem, ponieważ argument Jarníka jest zasadniczo jednowymiarowy, zależny od aparatu ułamków ciągłych.

Jednolita dystrybucja

Innym tematem, który doczekał się gruntownego rozwoju, jest teoria rozkładu jednostajnego mod 1 . Weźmy ciąg a ₁ , a ₂ , ... liczb rzeczywistych i rozważmy ich części ułamkowe . To znaczy, $abstrakcyjnie$ , spójrz na sekwencję w , która okręgiem Dla dowolnego przedziału I na okręgu patrzymy na proporcję elementów ciągu, które leżą w nim, aż do pewnej liczby całkowitej N , i porównujemy to z proporcją obwodu zajmowanego przez I . Jednolity rozkład oznacza, że ​​w limicie, wraz ze wzrostem N , proporcja trafień w przedziale dąży do wartości „oczekiwanej”. Hermann Weyl udowodnił podstawowy wynik pokazujący, że jest to równoważne granicom sum wykładniczych utworzonych z ciągu. Pokazało to, że wyniki przybliżenia diofantycznego były ściśle związane z ogólnym problemem anulowania w sumach wykładniczych, który występuje w analitycznej teorii liczb w zakresie granic błędów.

Z rozkładem jednostajnym związany jest temat nieregularności rozkładu, który ma charakter kombinatoryczny .

Nierozwiązane problemy

W przybliżeniu diofantycznym nadal istnieją proste, nierozwiązane problemy, na przykład hipoteza Littlewooda i hipoteza samotnego biegacza . Nie wiadomo również, czy istnieją liczby algebraiczne z nieograniczonymi współczynnikami w ich dalszym rozwinięciu ułamkowym.

Ostatnie zmiany

W swoim przemówieniu plenarnym na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w Kioto (1990) Grigory Margulis nakreślił szeroki program zakorzeniony w teorii ergodycznej , który pozwala udowodnić wyniki teorii liczb przy użyciu dynamicznych i ergodycznych właściwości działań podgrup półprostych grup Liego . Prace D. Kleinbocka, G. Margulisa i ich współpracowników pokazały siłę tego nowatorskiego podejścia do klasycznych problemów w aproksymacji diofantycznej. Wśród jego godnych uwagi sukcesów jest dowód istniejącej od dziesięcioleci hipotezy Oppenheima Margulisa, z późniejszymi rozszerzeniami dokonanymi przez Daniego i Margulisa oraz Eskina – Margulisa –Mozesa, a także dowód hipotez Bakera i Sprindzhuka w przybliżeniach diofantycznych na rozmaitościach autorstwa Kleinbocka i Margulis. W ramach tych uzyskano również różne uogólnienia powyższych wyników Aleksandra Chinczina w przybliżeniu metrycznym diofantycznym.

Zobacz też

• Twierdzenie Davenporta-Schmidta
• Hipoteza Duffina-Schaeffera
• Zestaw Heilbronn
• Sekwencja o niskiej rozbieżności

Notatki

•    Beresniewicz, Wiktor; Velani, Sanju (2006). „Zasada przeniesienia masy i hipoteza Duffina-Schaeffera dla miar Hausdorffa”. Roczniki matematyki . 164 (3): 971–992. arXiv : matematyka/0412141 . doi : 10.4007/annals.2006.164.971 . S2CID 14475449 . Zbl 1148.11033 .
•    Bernik V.; Beresnevich, V.; Gotze, F.; Kukso, O. (2013). „Dystrybucja liczb algebraicznych i teoria metryczna przybliżenia diofantycznego”. W Eichelsbacher, Piotr; Elsner, Guido; Kösters, Holger; Löwe, Matthias; Merkl Franz; Rolles, Silke (red.). Twierdzenia graniczne w prawdopodobieństwie, statystyce i teorii liczb: na cześć Friedricha Götze . Springer Proceedings w matematyce i statystyce . Tom. 42. Heidelberg: Springer. s. 23–48. doi : 10.1007/978-3-642-36068-8_2 . MR 3079136 . S2CID 55652124 .
•    Bugeaud, Yann (2012). Dystrybucja modulo jeden i aproksymacja diofantyczna . Traktaty Cambridge z matematyki. Tom. 193. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-11169-0 . Zbl 1260.11001 .
• Cassels, JWS (1957). Wprowadzenie do aproksymacji diofantycznej . Traktaty Cambridge z matematyki i fizyki matematycznej . Tom. 45. Cambridge University Press .
•    Duffin, RJ; Schäffer, AC (1941). „Problem Chinczynyna w metrycznym przybliżeniu diofantycznym”. Dziennik matematyczny Duke'a . 8 (2): 243–255. doi : 10.1215/s0012-7094-41-00818-9 . ISSN 0012-7094 . Zbl 0025.11002 .
•     Dyson, Freeman J. (1947). „Zbliżenie do liczb algebraicznych przez wymierne” . Acta Mathematica . 79 : 225–240. doi : 10.1007/BF02404697 . ISSN 0001-5962 . MR 0023854 . Zbl 0030.02101 .
•    Hardy, GH ; Wright, EM (1979). Wprowadzenie do teorii liczb (wyd. 5). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853170-8 . MR 0568909 .
•    Hurwitz, A. (1891). „Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch ratione Brüche” [O przybliżonej reprezentacji liczb niewymiernych przez ułamki wymierne]. Mathematische Annalen (w języku niemieckim). 39 (2): 279–284. doi : 10.1007/BF01206656 . MR 1510702 . S2CID 119535189 .
•   Khinchin, A. Ya. (1997) [1964]. Ciąg dalszy ułamków . Dover. ISBN 0-486-69630-8 .
•      Kleinbock, DY; Margulis, GA (1998). „Przepływy w przestrzeniach jednorodnych i przybliżenie diofantyczne na rozmaitościach”. Ann. matematyka _ 148 (1): 339–360. arXiv : matematyka/9810036 . Bibcode : 1998math.....10036K . doi : 10.2307/120997 . JSTOR 120997 . MR 1652916 . S2CID 8471125 . Zbl 0922.11061 .
•    Lang, Serge (1995). Wprowadzenie do przybliżeń diofantycznych (nowe rozszerzone wydanie). Springer-Verlag . ISBN 0-387-94456-7 . Zbl 0826.11030 .
•    Margulis, GA (2002). „Aproksymacja diofantyczna, kraty i przepływy w jednorodnych przestrzeniach”. W Wüstholz, Gisbert (red.). Panorama teorii liczb lub widok z ogrodu Bakera . Cambridge: Cambridge University Press . s. 280–310. ISBN 0-521-80799-9 . MR 1975458 .
• Perron, Oskar (1913). Die Lehre von den Kettenbrüchen [ Teoria ułamków ciągłych ] (w języku niemieckim). Lipsk: BG Teubner.
• Perron, Oskar (1929). Die Lehre von den Kettenbrüchen [ Teoria ułamków ciągłych ] (w języku niemieckim) (wyd. 2). Chelsea.
•     Roth, Klaus Friedrich (1955). „Racjonalne przybliżenia liczb algebraicznych”. Matematyka . 2 : 1–20, 168. doi : 10.1112/S0025579300000644 . ISSN 0025-5793 . MR 0072182 . Zbl 0064.28501 .
•    Schmidt, Wolfgang M. (1980). Przybliżenie diofantyczne . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 785 (wyd. 1996). Berlin-Heidelberg-Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 3-540-09762-7 . Zbl 0421.10019 .
•    Schmidt, Wolfgang M. (1996). Przybliżenia diofantyczne i równania diofantyczne . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 1467 (wyd. 2). Springer-Verlag . ISBN 3-540-54058-X . Zbl 0754.11020 .
•    Siegel, Carl Ludwig (1921). „Aproksymacja algebraiczna Zahlen” . Mathematische Zeitschrift . 10 (3): 173–213. doi : 10.1007/BF01211608 . ISSN 0025-5874 . S2CID 119577458 .
•     Sprindzuk, Władimir G. (1979). Metryczna teoria przybliżeń diofantycznych . Seria Scripta w matematyce. Tłumacz. z rosyjskiego i wyd. przez Richarda A. Silvermana. Z przedmową Donalda J. Newmana. John Wiley & Synowie. ISBN 0-470-26706-2 . MR 0548467 . Zbl 0482.10047 .
•    Czw, A. (1909). „Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen” . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1909 (135): 284–305. doi : 10.1515/crll.1909.135.284 . ISSN 0075-4102 . S2CID 125903243 .

Linki zewnętrzne

• Aproksymacja diofantyczna: badanie historyczne . Z kursu „Wprowadzenie do metod diofantycznych” Michela Waldschmidta .
• „Przybliżenia diofantyczne” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]