Równo rozłożona sekwencja

W matematyce ciąg ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) liczb rzeczywistych jest równo rozłożony lub równomiernie rozłożony , jeśli proporcja wyrazów wchodzących w podprzedział jest proporcjonalna do długości tego podprzedziału . Takie sekwencje są badane w teorii aproksymacji diofantycznej i mają zastosowanie w integracji Monte Carlo .

Definicja

, że ciąg ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) liczb rzeczywistych jest równomiernie rozłożony na niezdegenerowanym przedziale [ a , b ], jeśli dla każdego podprzedziału [ c , d ] z [ a , b ] mamy

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ lewo | \ {\, s_ {1}, \ kropki, s_ {n} \, \} \ czapka [c, d] \ prawo | \ponad n}={dc \ponad ba}.}

(Tutaj notacja |{ s ₁ ,..., s _n } ∩ [ c , d ]| oznacza liczbę elementów z pierwszych n elementów sekwencji, które znajdują się między c a d .)

Na przykład, jeśli sekwencja jest równo rozłożona w [0, 2], ponieważ przedział [0,5, 0,9] zajmuje 1/5 długości przedziału [0, 2], gdy n staje się duże, część pierwszego n elementy sekwencji, które mieszczą się między 0,5 a 0,9, muszą zbliżać się do 1/5. Luźno mówiąc, można powiedzieć, że każdy element sekwencji ma takie samo prawdopodobieństwo, że spadnie w dowolnym miejscu w swoim zakresie. Nie oznacza to jednak, że ( _sn ) jest ciągiem zmiennych losowych ; jest to raczej określona sekwencja liczb rzeczywistych.

Rozbieżność

Definiujemy rozbieżność DN dla ciągu ( s ₁ , s ₂ , _s₃ , ...) względem przedziału [ a , b ] jako

{\ Displaystyle D_ {N} = \ sup _ {a \ równoważnik c \ równoważnik d \ równoważnik b} \ lewo \ vert {\ Frac {\ lewo | \ {\, s_ {1}, \ kropki, s_ {N} \,\}\cap [c,d]\right|}{N}}-{\frac {dc}{ba}}\right\vert .}

Sekwencja jest zatem równomiernie rozłożona, jeśli rozbieżność DN dąży do zera, gdy N dąży _do nieskończoności.

Ekwidystrybucja jest raczej słabym kryterium do wyrażenia faktu, że sekwencja wypełnia segment, nie pozostawiając luk. Na przykład rysunki zmiennej losowej jednorodnej na odcinku będą równo rozłożone w segmencie, ale będą duże luki w porównaniu z sekwencją, która najpierw wylicza wielokrotności ε w segmencie, dla pewnego małego ε, w odpowiednio dobrany sposób , a następnie kontynuuje to dla coraz mniejszych wartości ε. Aby uzyskać silniejsze kryteria i konstrukcje sekwencji, które są bardziej równomiernie rozmieszczone, zobacz sekwencja o niskiej rozbieżności .

Całkowe kryterium Riemanna dla równego rozkładu

Przypomnijmy, że jeśli f jest funkcją mającą całkę Riemanna w przedziale [ a , b ], to jej całka jest granicą sum Riemanna pobranych przez próbkowanie funkcji f w zbiorze punktów wybranych z dokładnego podziału przedziału. Dlatego, jeśli jakiś ciąg jest równomiernie rozłożony w [ a , b ], oczekuje się, że ten ciąg może być użyty do obliczenia całki funkcji całkowalnej Riemanna. Prowadzi to do następującego kryterium równo rozłożonej sekwencji:

Załóżmy, że ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) jest ciągiem zawartym w przedziale [ a , b ]. Wtedy następujące warunki są równoważne:

Sekwencja jest równo rozłożona na [ a , b ].
funkcji całkowalnej Riemanna ( o wartościach zespolonych ) fa : [ za , b ] → ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ , obowiązuje następująca granica:

Displaystyle \ lim _ {N \ do \ infty} {\ Frac {1} N}}\suma _{n=1}^{N}f\left(s_{n}\right)={\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x )\,dx}

Dowód

Po pierwsze zauważmy, że definicja równo rozłożonego ciągu jest równoważna kryterium całki, ilekroć f jest funkcją wskaźnika przedziału: Jeśli f = 1 _{[ c , d ]} , to lewa strona jest proporcją punktów ciągu przedział [ c , d ], a prawa strona to dokładnie

{\ Displaystyle \ textstyle {\ Frac {dc} {ba}}.}

Oznacza to 2 ⇒ 1 (ponieważ funkcje wskaźnikowe są całkowalne Riemanna) i 1 ⇒ 2 dla f będącego funkcją wskaźnikową przedziału. Pozostaje założyć, że kryterium całkowe obowiązuje dla funkcji wskaźnikowych i udowodnić, że obowiązuje również dla ogólnych funkcji całkowalnych Riemanna.

Należy zauważyć, że obie strony równania kryterium całkowego są liniowe w f , a zatem kryterium to obowiązuje dla liniowych kombinacji wskaźników przedziałowych, czyli funkcji schodkowych .

Aby pokazać, że f jest ogólną funkcją całkowalną Riemanna, najpierw załóżmy, że f ma wartość rzeczywistą. Następnie, korzystając z całki Darboux , mamy dla każdego ε > 0 dwustopniowe funkcje f ₁ i f ₂ takie, że f ₁ ≤ f ≤ f ₂ i ${\ Displaystyle \ textstyle \ int _ {a} ^ {b} (f_ {2} (x) -f_ {1} (x)} \, dx \ równoważnik \ varepsilon (ba).} Zauważ, że$ :

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f_ {1} (x) \, dx = \ lim _ {N \ do \ infty} {\ frac {1} {N}}\sum _{n=1}^{N}f_{1}(s_{n})\leq \liminf _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(s_{n})}

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f_ {2} (x) \, dx=\lim _{N\to \infty}{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f_{2}(s_{n})\geq \limsup _{ N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(s_{n})}

Odejmując, widzimy, że granica wyższa i niższa od ${\ Displaystyle \ textstyle {\ Frac {1} {N}} \ suma _ {n = 1} ^ { N}f(s_{n})}$ różnią się co najwyżej o ε. Ponieważ ε jest dowolne, mamy istnienie granicy i zgodnie z definicją całki Darboux jest to poprawna granica.

Wreszcie, dla funkcji całkowalnych Riemanna o wartościach zespolonych, wynik ponownie wynika z liniowości oraz z faktu, że każdą taką funkcję można zapisać jako f = u + vi , gdzie u , v mają wartości rzeczywiste i są całkowalne Riemanna. ∎

Kryterium to prowadzi do idei integracji Monte-Carlo , gdzie całki są obliczane przez próbkowanie funkcji na sekwencji zmiennych losowych równomiernie rozłożonych w przedziale.

Nie jest możliwe uogólnienie kryterium całkowego na klasę funkcji większą niż tylko funkcje całkowalne Riemanna. Na przykład, jeśli weźmiemy pod uwagę całkę Lebesgue'a i przyjmiemy , że f jest w L ¹ , to kryterium to zawodzi. Jako kontrprzykład przyjmijmy, f jest funkcją wskaźnika pewnej równo rozłożonej sekwencji. Wtedy w kryterium lewa strona jest zawsze równa 1, podczas gdy prawa strona jest zerowa, ponieważ ciąg jest policzalny , więc f prawie wszędzie wynosi zero .

W rzeczywistości twierdzenie de Bruijna – Posta stanowi odwrotność powyższego kryterium: Jeśli f jest taką funkcją, że powyższe kryterium zachodzi dla dowolnej równo rozłożonej sekwencji w [ a , b ], to f jest całkowalne Riemanna w [ a , b ].

Ekwidystrybucja modulo 1

_, że ciąg ( a ₁ , a ₂ , a ₃ , ...) liczb rzeczywistych jest równomiernie rozłożony modulo 1 lub równomiernie rozłożony modulo 1, jeśli ciąg części ułamkowych n , oznaczony przez ( a _n ) lub przez a _n - ⌊ a _n ⌋, jest równo rozłożone w przedziale [0, 1].

Przykłady

Ilustracja wypełnienia przedziału jednostkowego ( oś x ) przy użyciu pierwszych n wyrazów ciągu Van der Corputa, dla n od 0 do 999 ( oś y ). Gradacja kolorów wynika z aliasingu.

Twierdzenie o równym rozkładzie : Sekwencja wszystkich wielokrotności irracjonalnej α , ,

0, α, 2α, 3α, 4α, ...

is equidistributed modulo 1.

More generally, if p is a polynomial with at least one coefficient other than the constant term irrational then the sequence p(n) is uniformly distributed modulo 1.

Zostało to udowodnione przez Weyla i jest zastosowaniem twierdzenia różnicowego van der Corputa.

Logarytm sekwencji ( n ) nie jest równomiernie rozłożony modulo 1. Fakt ten jest związany z prawem Benforda .
Sekwencja wszystkich wielokrotności niewymiernej α przez kolejne liczby pierwsze ,

2 α , 3 α , 5 α , 7 α , 11 α , ...

jest równomiernie rozłożone modulo 1. Jest to słynne twierdzenie analitycznej teorii liczb , opublikowane przez IM Vinogradova w 1948 r.

Sekwencja van der Corput jest równo rozłożona.

Kryterium Weyla

Kryterium Weyla stwierdza, że sekwencja an jest równomiernie rozłożona modulo 1 wtedy i tylko wtedy _, gdy dla wszystkich niezerowych liczb całkowitych ℓ,

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {j = 1}^{n}e^{2\pi i\ell a_{j}}=0.}

Kryterium nosi imię i zostało po raz pierwszy sformułowane przez Hermanna Weyla . Pozwala zredukować pytania dotyczące równej dystrybucji do granic sum wykładniczych , co jest podstawową i ogólną metodą.

Szkic dowodu

Jeśli sekwencja jest równomiernie rozłożona modulo 1, to możemy zastosować kryterium całki Riemanna (opisane powyżej) do funkcji

{\ Displaystyle \ textstyle f (x) = e ^ {2 \ pi i\ell x},}

która ma całkowite zero w przedziale [0, 1]. Daje to natychmiast kryterium Weyla.

I odwrotnie, załóżmy, że spełnione jest kryterium Weyla. Wtedy kryterium całkowe Riemanna obowiązuje dla funkcji f jak powyżej, a dzięki liniowości kryterium zachodzi dla f będącego dowolnym wielomianem trygonometrycznym . Zgodnie z twierdzeniem Stone'a-Weierstrassa i argumentem aproksymacyjnym rozciąga się to na dowolną funkcję ciągłą f .

Na koniec niech f będzie funkcją wskaźnika przedziału. Możliwe jest ograniczenie f z góry iz dołu przez dwie ciągłe funkcje na przedziale, których całki różnią się o dowolne ε. Za pomocą argumentu podobnego do dowodu kryterium całkowego Riemanna możliwe jest rozszerzenie wyniku na dowolną funkcję wskaźnika przedziału f , dowodząc w ten sposób równego rozkładu modulo 1 danego ciągu. ∎

Uogólnienia

Ilościową postać kryterium Weyla daje nierówność Erdősa – Turána .
Kryterium Weyla rozciąga się naturalnie na wyższe wymiary , zakładając naturalne uogólnienie definicji równości dystrybucji modulo 1:

Sekwencja v _n wektorów w R ^k jest równomiernie rozłożona modulo 1 wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego niezerowego wektora ℓ ∈ Z ^k ,

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ Frac {1} {n}} \ suma _ { j=0}^{n-1}e^{2\pi i\ell \cdot v_{j}}=0.}

Przykład użycia

Kryterium Weyla można łatwo wykorzystać do udowodnienia twierdzenia o równym rozkładzie , stwierdzającego, że ciąg wielokrotności 0, α , 2 α , 3 α , ... pewnej liczby rzeczywistej α jest równomiernie rozłożony modulo 1 wtedy i tylko wtedy, gdy α jest niewymierne.

Załóżmy, że _{α jest niewymierne i oznaczmy nasz ciąg przez j} = jα ( gdzie j zaczyna się od 0, aby później uprościć wzór). Niech ℓ ≠ 0 będzie liczbą całkowitą. Ponieważ α jest irracjonalne, ℓα nigdy nie może być liczbą całkowitą, więc ${\ textstyle e ^ {2 \ pi i \ ell \ alpha}}$ nigdy nie może wynosić 1. Korzystając ze wzoru na sumę skończonej geometrycznej seria ,

{\ Displaystyle \ lewo | \ suma _ {j = 0} ^ {n-1} e ^ {2 \ pi ja \ j \ alfa} \ prawo | = \ lewo | \ suma _ {j = 0} ^ {n-1}\left(e^{2\pi i\ell \alpha }\right)^{j}\right|=\left|{\frac {1-e^{2\pi i\ell n \alpha }}{1-e^{2\pi i\ell \alpha }}}\right|\leq {\frac {2}{\left|1-e^{2\pi i\ell \alpha} \prawo|}},}

skończona granica, która nie zależy od n . Dlatego po podzieleniu przez n i pozostawieniu n dążącego do nieskończoności lewa strona dąży do zera, a kryterium Weyla jest spełnione.

I odwrotnie, zauważ, że jeśli α jest wymierne , to ten ciąg nie jest równomiernie rozłożony modulo 1, ponieważ istnieje tylko skończona liczba opcji dla części ułamkowej a _j = jα .

Pełna równomierna dystrybucja

$się, że$ rzeczywistych jest mod 1, tylko sekwencja części $\ Displaystyle a_ {n} ': = a_ {n} - [a_ {n}]}$ jest równomiernie rozłożony w ${\ Displaystyle [0,1] }$ ale także sekwencja $Displaystyle$ gdzie ${$ ${\ Displaystyle b_ {n}: = (a'_ {n + 1}, \ kropki, a'_ {n + k}) \ w [0,1] ^ {k}}$ $b_{n}:=(a'_{n+1},\dots ,a'_{n+k})\in [0,1]^{k}$ jako , jest równomiernie rozłożony w ${\ Displaystyle [0,1] ^ {k}}$ .

$się, że$ rzeczywistych jest mod 1 to $k$ - równomiernie rozłożony dla każdej liczby naturalnej ${\ Displaystyle k \ geq 1}$ .

Na przykład sekwencja jest równomiernie rozłożona mod $1 (lub 1$ dla dowolnej liczby niewymiernej $displaystyle$ , ale nigdy nie jest nawet 2-jednolicie rozłożony. $\ alpha > 1}$ $_$ sekwencja wszystkich $Displaystyle$ (tj. dla wszystkich wyjątkiem zestawu miary 0).

Twierdzenie różnicowe van der Corputa

Twierdzenie Johannesa van der Corputa stwierdza, że jeśli dla każdego h ciąg s _{n + h} - s _n jest równomiernie rozłożony modulo 1, to także s _n .

Zbiór van der Corput jest zbiorem H liczb całkowitych takich, że jeśli dla każdego h w H sekwencja s _{n + h} - s _n jest równomiernie rozłożona modulo 1, to także s _n .

Twierdzenia metryczne

Twierdzenia metryczne opisują zachowanie sparametryzowanego ciągu dla prawie wszystkich wartości jakiegoś parametru α , czyli dla wartości α nieleżących w jakimś wyjątkowym zbiorze miary Lebesgue'a zero.

Dla dowolnej sekwencji różnych liczb całkowitych bn , sekwencja ( bnα ) jest równomiernie _{rozłożona mod 1 dla} prawie wszystkich wartości α _.
Sekwencja ( α ⁿ ) jest równomiernie rozłożona mod 1 dla prawie wszystkich wartości α > 1.

Nie wiadomo, czy ciągi ( ^en ) czy ( $πn$ ) są równomiernie rozłożone mod 1. Wiadomo jednak, że ciąg ( ^αn ) nie jest równorozłożony mod 1, jeśli α jest liczbą ^PV .

Dobrze rozłożona sekwencja

że ciąg ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) liczb rzeczywistych jest dobrze rozłożony na [ a , b ], jeśli dla dowolnego podprzedziału [ c , d ] z [ a , b ] mamy

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} {\ lewo|\ {\, s_ {k + 1}, \ kropki, s_ {k + n} \, \} \ cap [c,d]\prawo| \over n}={dc \over ba}}

równomiernie w k . Oczywiście każda dobrze rozłożona sekwencja jest równomiernie rozłożona, ale sytuacja odwrotna nie zachodzi. Definicja dobrze rozłożonego modulo 1 jest analogiczna.

Sekwencje równo rozłożone w odniesieniu do dowolnej miary

$miary$ dowolnej przestrzeni $,$ $\ displaystyle \ mu}$ punktów $równo$ względem , jeśli średnia miar punktowych zbiega się słabo do ${\ displaystyle \ mu}$ :

{\ Displaystyle {\ Frac {\ suma _ {k = 1} ^ {n} \ delta _ {x_ {k}}} {n}} \ Strzałka w prawo \ mu \.}

W dowolnej mierze prawdopodobieństwa Borela na rozdzielnej , metryzowalnej przestrzeni istnieje równo rozłożony ciąg w odniesieniu do miary; w istocie wynika to bezpośrednio z faktu, że taka przestrzeń jest standardowa .

Ogólne zjawisko równodystrybucji często pojawia się w układach dynamicznych związanych z grupami Liego , na przykład w rozwiązaniu Margulisa do hipotezy Oppenheima .

Zobacz też

Notatki

Kuipers, L.; Niederreiter, H. (2006) [1974]. Jednolity rozkład sekwencji . Publikacje Dover. ISBN 0-486-45019-8 .
Kuipers, L.; Niederreiter, H. (1974). Jednolity rozkład sekwencji . John Wiley & Sons Inc. ISBN 0-471-51045-9 . Zbl 0281.10001 .
Montgomery, Hugh L. (1994). Dziesięć wykładów na temat styku analitycznej teorii liczb i analizy harmonicznej . Regionalna seria konferencji z matematyki. Tom. 84. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 0-8218-0737-4 . Zbl 0814.11001 .

Dalsza lektura

Granville, Andrew; Rudnick, Zeev, wyd. (2007). Ekwidystrybucja w teorii liczb, wprowadzenie. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute na temat równej dystrybucji w teorii liczb, Montreal, Kanada, 11–22 lipca 2005 r . NATO Science Series II: matematyka, fizyka i chemia. Tom. 237. Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4020-5403-7 . Zbl 1121.11004 .
Tao, Terence (2012). Analiza Fouriera wyższego rzędu . Studia podyplomowe z matematyki . Tom. 142. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 978-0-8218-8986-2 . Zbl 1277.11010 .

Linki zewnętrzne