Suma wykładnicza

W matematyce sumą wykładniczą może być skończony szereg Fouriera (tzn. wielomian trygonometryczny ) lub inna skończona suma utworzona za pomocą funkcji wykładniczej , zwykle wyrażana za pomocą funkcji

${\ displaystyle e (x) = \ exp (2 \ pi ix). \,}$

Dlatego typowa suma wykładnicza może przybrać formę

${\ Displaystyle \ suma _ {n} e (x_ {n}),}$

zsumowane po skończonym ciągu liczb rzeczywistych x _n .

Sformułowanie

Jeśli pozwolimy na pewne rzeczywiste współczynniki a _n , otrzymamy postać

${\ Displaystyle \ suma _ {n} a_ {n} e (x_ {n})}$

jest to to samo, co dopuszczenie wykładników, które są liczbami zespolonymi . Obie formy są z pewnością przydatne w aplikacjach. Duża część XX-wiecznej analitycznej teorii liczb była poświęcona znalezieniu dobrych szacunków dla tych sum, trendowi zapoczątkowanemu przez podstawowe prace Hermanna Weyla dotyczące aproksymacji diofantycznej .

Szacunki

Głównym celem tematu jest to, że suma

${\ Displaystyle S = \ suma _ {n} e (x_ {n})}$

jest trywialnie szacowana przez liczbę N wyrazów. Czyli wartość bezwzględna

${\ Displaystyle | S | \ równoważnik N \,}$

przez nierówność trójkąta , ponieważ każda suma ma wartość bezwzględną 1. W zastosowaniach chciałoby się robić lepiej. Wymaga to udowodnienia, że ​​ma miejsce jakieś anulowanie, czyli innymi słowy, że ta suma liczb zespolonych na okręgu jednostkowym nie składa się z liczb o tym samym argumencie . Najlepsze, na co można mieć nadzieję, to oszacowanie formy

${\ Displaystyle | S | = O ({\ sqrt {N}}) \,}$

co oznacza, aż do domniemanej stałej w notacji dużego O , że suma przypomina błądzenie losowe w dwóch wymiarach.

Takie oszacowanie można uznać za idealne; jest nieosiągalny w wielu głównych problemach i szacunkach

${\ Displaystyle | S | = o (N) \,}$

muszą być użyte, gdzie funkcja o( N ) reprezentuje tylko niewielką oszczędność w stosunku do trywialnego oszacowania. Typowa „mała oszczędność” może być na przykład współczynnikiem log( N ). Nawet tak pozornie niewielki wynik we właściwym kierunku musi być odniesiony aż do struktury początkowej sekwencji x _n , aby pokazać pewien stopień przypadkowości . Zastosowane techniki są pomysłowe i subtelne.

Wariant „różnicowania Weyla” badany przez Weyla, obejmujący generowanie sumy wykładniczej

${\ Displaystyle G (\ tau) = \ suma _ {n} e ^ {iaf (x) + ia \ tau n}}$

${\ displaystyle G (0)}$ wcześniej badany przez samego Weyla, opracował metodę wyrażania sumy jako wartości, gdzie „ ” można zdefiniować za pomocą liniowego równania różniczkowego podobnego do równania Dysona uzyskanego przez sumowanie przez sol ( Części.

Historia

Jeśli suma jest postaci

${\ Displaystyle S (x) = e ^ {iaf (x)}}$

gdzie ƒ jest funkcją gładką, moglibyśmy użyć wzoru Eulera-Maclaurina do przekształcenia szeregu w całkę, plus pewne poprawki dotyczące pochodnych S ( x ), wtedy dla dużych wartości a można by użyć metody „fazy stacjonarnej” do obliczenia całkę i podaj przybliżoną ocenę sumy. Największym postępem w tej dziedzinie była metoda Van der Corputa (ok. 1920 r.), związana z zasadą fazy stacjonarnej , oraz późniejsza metoda Vinogradowa (ok. 1930 r.).

wielkiego sita (ok. 1960 r.), praca wielu badaczy, jest stosunkowo przejrzystą ogólną zasadą; ale żadna metoda nie ma ogólnego zastosowania.

Rodzaje sumy wykładniczej

Do formułowania poszczególnych problemów używa się wielu rodzajów sum; aplikacje wymagają zwykle sprowadzenia do jakiegoś znanego typu, często przez pomysłowe manipulacje. a _n można zastosować częściowe sumowanie .

Podstawowe rozróżnienie dotyczy pełnej sumy wykładniczej , która zazwyczaj jest sumą wszystkich klas reszt modulo pewną liczbę całkowitą N (lub ogólniej skończonego pierścienia ), a niepełną sumą wykładniczą , w której zakres sumowania jest ograniczony przez pewną nierówność . Przykładami całkowitych sum wykładniczych są sumy Gaussa i sumy Kloostermana ; są to w pewnym sensie skończonego pola lub skończonego pierścienia odpowiednio funkcji gamma i pewnego rodzaju funkcji Bessela i mają wiele właściwości „strukturalnych”. Przykładem sumy niepełnej jest suma częściowa kwadratowej sumy Gaussa (w istocie przypadek badany przez Gaussa ). Tutaj istnieją dobre oszacowania sum w krótszych przedziałach niż cały zestaw klas reszt, ponieważ w kategoriach geometrycznych sumy cząstkowe są zbliżone do spirali Cornu ; oznacza to masowe anulowanie.

W teorii występują pomocnicze typy sum, np. sumy znakowe ; wracając do tezy Harolda Davenporta . Hipotezy Weila miały główne zastosowania do pełnych sum z dziedziną ograniczoną przez warunki wielomianowe (tj. wzdłuż rozmaitości algebraicznej w ciele skończonym).

Sumy Weyla

Jednym z najbardziej ogólnych rodzajów sumy wykładniczej jest suma Weyla z wykładnikami 2π, jeśli ( n ) gdzie f jest dość ogólną funkcją gładką o wartościach rzeczywistych . Są to sumy zaangażowane w dystrybucję wartości

ƒ ( n ) modulo 1,

zgodnie z kryterium równej dystrybucji Weyla . Podstawowym postępem była nierówność Weyla dla takich sum, dla wielomianu f .

Istnieje ogólna teoria par wykładników , która formułuje oszacowania. Ważnym przypadkiem jest sytuacja, w której f jest logarytmiczne w odniesieniu do funkcji zeta Riemanna . Zobacz także twierdzenie o równej dystrybucji .

Przykład: kwadratowa suma Gaussa

Niech p będzie nieparzystą liczbą pierwszą i niech ${\ Displaystyle \ xi = e ^ {2 \ pi i/p}}$ . Wtedy kwadratowa suma Gaussa jest dana przez

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {p-1} \ xi ^ {n ^ { 2}}={\begin{przypadki}{\sqrt {p}},&p=1\mod 4\\i{\sqrt {p}},&p=3\mod 4\end{przypadki}}}$

gdzie przyjmuje się, że pierwiastki kwadratowe są dodatnie.

Jest to idealny stopień anulowania, na jaki można liczyć bez znajomości a priori struktury sumy, ponieważ odpowiada on skalowaniu błądzenia losowego .

Zobacz też

• Lemat Hua

•    Montgomery, Hugh L. (1994). Dziesięć wykładów na temat styku analitycznej teorii liczb i analizy harmonicznej . Regionalna seria konferencji z matematyki. Tom. 84. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 0-8218-0737-4 . Zbl 0814.11001 .
•    Sandor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borysław, wyd. (2006). Podręcznik teorii liczb I. Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9 . Zbl 1151.11300 .

Dalsza lektura

•    Korobov, NM (1992). Sumy wykładnicze i ich zastosowania . Matematyka i jej zastosowania . seria radziecka. Tom. 80. Z rosyjskiego przełożył Yu. N. Szachow. Dordrecht: wydawcy akademiccy Kluwer. ISBN 0-7923-1647-9 . Zbl 0754.11022 .

Linki zewnętrzne

• Krótkie wprowadzenie do sum Weyla w Mathworld