Standardowa przestrzeń prawdopodobieństwa

W teorii prawdopodobieństwa , standardowa przestrzeń prawdopodobieństwa , zwana także przestrzenią prawdopodobieństwa Lebesgue'a-Rokhlina lub po prostu przestrzenią Lebesgue'a (to ostatnie określenie jest niejednoznaczne) to przestrzeń prawdopodobieństwa spełniająca pewne założenia wprowadzone przez Władimira Rokhlina w 1940 r. Nieformalnie jest to przestrzeń prawdopodobieństwa składająca się z interwał i/lub skończoną lub policzalną liczbę atomów .

Teorię standardowych przestrzeni prawdopodobieństwa zapoczątkował von Neumann w 1932 r., a ukształtował ją Władimir Rokhlin w 1940 r. Rokhlin wykazał, że przedział jednostkowy wyposażony w miarę Lebesgue'a ma istotne zalety w stosunku do ogólnych przestrzeni prawdopodobieństwa, ale może skutecznie zastąpić wiele z nich w teoria prawdopodobieństwa. Wymiar interwału jednostkowego nie stanowi przeszkody, co było jasne już dla Norberta Wienera . Skonstruował proces Wienera (zwany także ruchem Browna ) w postaci a mierzalna mapa od przedziału jednostkowego do przestrzeni funkcji ciągłych .

Krótka historia

Teorię przestrzeni prawdopodobieństwa standardowego zapoczątkował von Neumann w 1932 r . , a ukształtował ją Władimir Rokhlin w 1940 r. Zmodernizowane prezentacje zob . Rozdział 2) .

Obecnie standardowe przestrzenie prawdopodobieństwa mogą być (i często są) traktowane w ramach deskryptywnej teorii mnogości , poprzez standardowe przestrzenie borelowskie , patrz np. ( Kechris 1995 , rozdz. 17). Podejście to jest oparte na twierdzeniu o izomorfizmie dla standardowych przestrzeni borelowskich ( Kechris 1995 , Theorem (15.6)). Alternatywne podejście Rokhlina, oparte na teorii miary , pomija zbiory zerowe , w przeciwieństwie do opisowej teorii mnogości. Standardowe przestrzenie prawdopodobieństwa są rutynowo używane w teorii ergodycznej ,

Definicja

Jedna z kilku dobrze znanych równoważnych definicji standardowości jest podana poniżej, po pewnych przygotowaniach. Zakłada się, że wszystkie przestrzenie prawdopodobieństwa są kompletne .

izomorfizm

Izomorfizm między dwiema przestrzeniami prawdopodobieństwa $\ Omega _ {1}, {\ mathcal {F}} _ {1}, P_ {1})}$ ( , ${\ Displaystyle \ textstyle (\ Omega _ {2}, {\ mathcal {F}} _ {2}, P_ {2})}$ jest odwracalną mapą ${\ Displaystyle \ textstyle f: \ Omega _ {1} \ do \ Omega _ {2}}$ tak, że ${\ Displaystyle \ textstyle f}$ i ${\ Displaystyle \ textstyle f ^ {-1}}$ oba są (mierzalne i) mierzące zachowanie map .

Dwie przestrzenie prawdopodobieństwa są izomorficzne, jeśli istnieje między nimi izomorfizm.

Izomorfizm modulo zero

${\ Displaystyle \ textstyle (\ Omega _ {1}, {\ mathcal {F}} _ {1}, P_ {1})$ } , ${\ Displaystyle \ textstyle (\ Omega _ {2}, {\ mathcal {F}} _ {2}, P_ {2})}$ są izomorficzne ${\ Displaystyle \ textstyle \ nazwa operatora {mod} \ ,0}$ jeśli istnieją zbiory zerowe ${\ Displaystyle \ textstyle A_ {1} \ podzbiór \ Omega _ {1}}$ , ${\ Displaystyle \ textstyle A_ {2} \ podzbiór \ Omega _ {2}}$ takie, że prawdopodobieństwo spacji ${\ Displaystyle \ textstyle \ Omega _ {1} \ setminus A_ {1}}$ , ${\ Displaystyle \ textstyle \ Omega _ {2} \ setminus A_ {2}}$ są izomorficzne (będące naturalnie wyposażone z polami sigma i miarami prawdopodobieństwa).

Standardowa przestrzeń prawdopodobieństwa

Przestrzeń prawdopodobieństwa jest standardowa , jeśli jest izomorficzna $miarą$ Lebesgue'a, skończonym lub policzalnym zbiorem atomów lub kombinacją (rozłączny związek) obu.

Patrz ( Rokhlin 1952 , rozdz. 2.4 (s. 20)), ( Haezendonck 1973 , Twierdzenie 6 (s. 249) i Uwaga 2 (s. 250)) oraz ( de la Rue 1993 , Twierdzenie 4-3). Patrz także ( Kechris 1995 , rozdz. 17.F) oraz ( Itô 1984 , zwłaszcza rozdz. 2.4 i ćwiczenie 3.1(v)). W ( Petersen 1983 , definicja 4.5 na stronie 16) zakłada się, że miara jest skończona, niekoniecznie probabilistyczna. W ( Sinai 1994 , definicja 1 na stronie 16) atomy są niedozwolone.

Przykłady niestandardowych przestrzeni prawdopodobieństwa

Naiwny biały szum

Przestrzeń wszystkich funkcji można traktować jako iloczyn fa $R}} ^ {\ mathbb {R}}}$$} \ do \ mathbb {$ kontinuum kopii linii rzeczywistej ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {R}}$ . Można wyposażyć miarę prawdopodobieństwa, powiedzmy, standardowy rozkład normalny ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ gamma = N (0,1)}$ i traktuj przestrzeń funkcji jako iloczyn ${\ Displaystyle \ textstyle (\ mathbb {R}, \ gamma) ^ {\ mathbb {R}}}$ kontinuum identycznych przestrzeni prawdopodobieństwa ${\ Displaystyle \ textstyle (\ mathbb {R}, \ gamma)}$ . Miara iloczynu jest miarą prawdopodobieństwa na ${\ Displaystyle \ textstyle \ gamma ^ {\ mathbb {R}}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {R}}}$ . $opisuje$ mogłoby się wydawać, że szum .

Jednak całka funkcji białego szumu od 0 do 1 powinna być zmienną losową o rozkładzie N (0, 1). Natomiast całka (od 0 do 1) z ${\ Displaystyle \ textstyle f \ in \ textstyle (\ mathbb {R}, \ gamma) ^ {\ mathbb {R}}$ } nieokreślony. ƒ również nie jest prawie na pewno mierzalny, a prawdopodobieństwo mierzalnego ƒ jest nieokreślone. Rzeczywiście, jeśli X jest zmienną losową rozłożoną (powiedzmy) równomiernie na (0, 1) i niezależną od ƒ , to ƒ ( X ) wcale nie jest zmienną losową (brakuje jej mierzalności).

Perforowany interwał

Niech $zewnętrzna$ zbiorem, którego wewnętrzna miara Lebesgue'a równa 0, ale Lebesgue'a jest równa 1 (a więc $Z}$$\ displaystyle$ jest niemierzalne do skrajności). Istnieje miara prawdopodobieństwa taka , że $}$${\ displaystyle \ textstyle$${\ Displaystyle \ textstyle m (Z \ cap A) = \ operatorname {mes} (A)}$ dla każdego mierzalnego Lebesgue'a ${\ Displaystyle \ textstyle A \ podzbiór (0,1) }$ . (Tutaj $miarą$ Lebesgue'a.) Zdarzenia i zmienne losowe w przestrzeni prawdopodobieństwa ${\ Displaystyle \ textstyle (Z, m)}$ (traktowany ${\ Displaystyle \ textstyle \ operatorname {mod} \, 0}$ ) są w naturalnej korespondencji jeden do jednego ze zdarzeniami i zmiennymi losowymi w przestrzeni prawdopodobieństwa ${\ Displaystyle \ textstyle ((0 ,1),\nazwa_operatora {mes} )}$ . Mogłoby się $,$ przestrzeń prawdopodobieństwa tak ${\ Displaystyle \ textstyle ((0,1), \ operatorname {mes})}$ .

Jednak tak nie jest. Zmienna losowa zdefiniowana przez $Displaystyle$$\ textstyle X (\ omega) = \ omega}$ jest równomiernie rozłożona na $)}$${\ Displaystyle \ textstyle (0,1) X {\ Displaystyle \ textstyle X$ . miara warunkowa tylko pojedynczy atom ( $w ),$$warunkiem$ że $_$ . Jeśli jednak zamiast tego użyto miary warunkowej, wtedy miara warunkowa nie istnieje, gdy $x$$x \ notin Z$ }

Perforowane koło jest zbudowane podobnie. Jego zdarzenia i zmienne losowe są takie same jak w zwykłym kole. Grupa rotacji działa na nie w sposób naturalny. Jednak nie działa na perforowane koło.

Zobacz także ( Rudolf 1990 , strona 17).

Zbędny mierzalny zestaw

Niech ${\ Displaystyle \ textstyle Z \ podzbiór (0,1)}$ będzie jak w poprzednim przykładzie. Zestawy postaci ${\ Displaystyle \ textstyle (A \ cap Z) \ kubek (B \ setminus Z)}$ gdzie ${\ Displaystyle \ textstyle A}$ i ${\ displaystyle \textstyle B}$ są dowolnymi zbiorami mierzalnymi Lebesgue'a, są σ-algebrą ${\ Displaystyle \ textstyle {\ mathcal {F}};}$ zawiera σ-algebrę Lebesgue'a i ${\ displaystyle \ textstyle Z.}$ Formuła

${\ Displaystyle \ Displaystyle m {\ duży (} (A \ czapka Z) \ cup (B\setminus Z){\big )}=p\,\operatorname {mes} (A)+(1-p)\operatorname {mes} (B)}$

daje ogólną postać miary prawdopodobieństwa $\$ ( $big )}}$$\ Displaystyle \ textstyle {\ duży (} (0,1), {\ mathcal {F}} {$ rozszerzający miarę Lebesgue'a; tutaj ${\ Displaystyle \ textstyle p \ w [0,1]}$ jest parametrem. Aby być konkretnym, wybieramy ${\ displaystyle \ textstyle p = 0,5.}$ Mogłoby się wydawać, że takie rozszerzenie miary Lebesgue'a jest co najmniej nieszkodliwe.

Jest to jednak perforowany interwał w przebraniu. Mapa

${\ Displaystyle f (x) = {\ rozpocząć {przypadki} 0,5x i {\ tekst {dla}} x \in Z,\\0,5+0,5x&{\text{for }}x\in (0,1)\setminus Z\end{przypadki}}}$

jest izomorfizmem między ${\ Displaystyle \ textstyle {\ duży (} (0,1), {\ mathcal {F}}, m {\ duży)}}$ a perforowanym interwałem odpowiadającym do zestawu

$\ Displaystyle \ Displaystyle Z_ {1} = \ {0,5x: x \ w Z \} \ filiżanka \{0,5+0,5x:x\in (0,1)\zbiórminus Z\}\,,}$

inny zestaw wewnętrznej miary Lebesgue'a 0, ale zewnętrznej miary Lebesgue'a 1.

Zobacz także ( Rudolph 1990 , Ćwiczenie 2.11 na stronie 18).

Kryterium standardowości

Standardowość danej przestrzeni prawdopodobieństwa $jest równoważna$ mapy $}$${\$ od ${\ Displaystyle \ textstyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ do mierzalnej przestrzeni ${\ Displaystyle \ textstyle (X, \ Sigma).}$$($ ) nie zależy od wyboru i $\ displaystyle \ textstyle$ } Ten fakt jest całkiem użyteczny; wybór i $textstyle f}$$Displaystyle \$ danego ${\ displaystyle \ textstyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P).}$ Nie trzeba badać wszystkich przypadków. $\ Omega \ do \ mathbb {R} ^ {n}}$ zbadanie zmiennej losowej losowego fa $f$$\ textstyle$ losowa sekwencja ${\ Displaystyle \ textstyle f: \ Omega \ do \ mathbb {R} ^ {\ infty},}$ lub sekwencja zdarzeń ${\ Displaystyle \ textstyle (A_ {1}, A_ {2}, \ kropki)}$ traktowana jako sekwencja dwuwartościowych zmiennych losowych, ${\ Displaystyle \ textstyle f: \ Omega \ do \ {0,1 \} ^ {\ infty}.}$

$Zostaną$ nałożone dwa warunki być iniekcyjnym i generować). Poniżej zakłada się, że podano takie ${\ displaystyle \ textstyle f} .$ Kwestia jego istnienia zostanie omówiona później.

Zakłada się, że przestrzeń prawdopodobieństwa jest $kompletna$ ( w standardowa

Pojedyncza zmienna losowa

Mierzalna funkcja ${\ Displaystyle \ textstyle f: \ Omega \ do \ mathbb {R}}$ indukuje miarę pushforward ${\ Displaystyle f_ {*} P}$ - miara prawdopodobieństwa ${\ displaystyle \ textstyle \ mu}$ na ${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbb {R},}$ zdefiniowane przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mu (B) = (f_ {*} P) (B) = P {\ duży ( }f^{-1}(B){\big )}}$ dla zbiorów borelowskich ${\ Displaystyle \ textstyle B \ podzbiór \ mathbb {R}.}$

tj. rozkład zmiennej losowej ${\ displaystyle f}$ . Obraz jest zawsze zbiorem pełnej miary zewnętrznej, ${\ Displaystyle \ textstyle f (\ Omega)}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mu ^ {*} \ duży (} f (\ Omega) {\ duży)} = \ inf _ {B \ supset f (\ Omega)} \ mu (B) = \ inf _ { B\supset f(\Omega )}P(f^{-1}(B))=P(\Omega )=1,}$

ale jego wewnętrzna miara może się różnić (patrz perforowany interwał ). Innymi słowy $miary$${\ Displaystyle \ textstyle \ mu.}$ musi pełnej

Mierzalna funkcja jest nazywana generowaniem , jeśli jest uzupełnieniem względem ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle \ textstyle f: \ Omega \ to \ mathbb$$R}}}$ σ-algebry obrazów odwrotnych ${\ Displaystyle \ textstyle f ^ {- 1} (B)}$ gdzie ${\ displaystyle \ textstyle B \ subset \ mathbb {R}}$ działa na wszystkich zbiorach borelowskich.

Ostrożność. Poniższy warunek nie jest wystarczający $Borela$$\$ : dla $każdego$ zbiór $displaystyle \ textstyle B \ subset \ mathbb {R}}$ takie, że ${\ Displaystyle \ textstyle P (A {\ mathbin {\ Delta}} f ^ {- 1} (B))=0.}$ ( ${\ Displaystyle \ textstyle \ Delta}$ oznacza różnicę symetryczną ).

Twierdzenie. Niech mierzalna funkcja będzie iniekcyjna i generująca, wtedy następujące dwa warunki są równoważne: ${\ displaystyle \ textstyle f: \ omega \ to \ mathbb {R}}$

• ${\ Displaystyle \ mu (\ textstyle f (\ Omega)) = 1}$ (tj. miara wewnętrzna ma również pełną miarę, a obraz ${\ Displaystyle \ textstyle f ( \Omega )}$ jest mierzalne w odniesieniu do ukończenia);
• ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P) \,}$ jest standardową przestrzenią prawdopodobieństwa.

Patrz także ( Itô 1984 , rozdz. 3.1).

Losowy wektor

$)$$twierdzenie$ dotyczy ( zamiast Mierzalna funkcja ${\ Displaystyle X_ {1}, \ kropki, X_ {n}: \ Omega \ do \ mathbb {R}, \,}$$jako$ traktowana i ${\ displaystyle f \,}$ generuje wtedy i tylko wtedy, ${\ Displaystyle X_ {1}, \ kropki, X_ {n}. \,}$$jest$ zakończeniem σ-algebry generowanej przez

Losowa sekwencja

Twierdzenie nadal obowiązuje dla $nieskończonych$ sekwencji Mierzalną funkcję można traktować jako nieskończoną sekwencję zmiennych losowych ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ kropki: \ Omega \ do \ mathbb {R}, \,}$${\ Displaystyle f: \ Omega \ do \ mathbb {R} ^ {\ infty} \,}$ i ${\ Displaystyle f \,}$ generuje wtedy i tylko wtedy $gdy$ jest uzupełnieniem σ-algebry generowanej przez ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ kropki. \,}$

Sekwencja wydarzeń

W szczególności, jeśli zmienne losowe $fa$ tylko dwie wartości 0 i 1, mamy do czynienia z mierzalną funkcją $displaystyle f: \ Omega \to \{0,1\}^{\infty }\,}$ i ciąg zbiorów ${\ Displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots \ in {\ mathcal {F}}. \,}$ Funkcja ${\ Displaystyle f \,}$ generuje wtedy i tylko wtedy $gdy$ jest uzupełnieniem σ-algebry generowanej przez ${\ Displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ kropki. \,}$

W pionierskiej pracy ( Rokhlin 1952 ) sekwencje , które odpowiadają iniekcji, generując, $}$ są ${\ Displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots \,$ podstawy przestrzeni prawdopodobieństwa $)$ patrz , Baza nazywana jest modą zupełną 0, jeśli ${\ Displaystyle f (\ Omega) \,}$ ma pełną miarę ${\ Displaystyle \ mu, \,}$ patrz ( Rokhlin 1952 , rozdz. 2.2). W tej samej sekcji Rokhlin udowodnił, że jeśli przestrzeń prawdopodobieństwa jest zupełna mod 0 w odniesieniu do jakiejś bazy, to jest zupełna mod 0 w odniesieniu do każdej innej bazy i definiuje przestrzenie Lebesgue'a za pomocą tej własności zupełności. Zobacz także ( Haezendonck 1973 , Twierdzenie 4 i Def. 7) oraz ( Rudolph 1990 , Rozdz. 2.3, zwłaszcza Twierdzenie 2.2).

Dodatkowe uwagi

Cztery opisane powyżej przypadki są wzajemnie równoważne i można je połączyć, ponieważ mierzalne przestrzenie ${\ Displaystyle \ mathbb {R}, \,}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}, \, }$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ infty} \,}$ i ${\ Displaystyle \ {0,1 \} ^ {\ infty} \,}$ są wzajemnie izomorficzne; wszystkie są standardowymi mierzalnymi przestrzeniami (innymi słowy, standardowymi przestrzeniami borelowskimi).

$X,\Sigma )}$ iniekcyjnej mierzalnej funkcji od mierzalnej przestrzeni $\ Displaystyle \ textstyle (\ Omega, {\ mathcal {F}$$}$ nie zależy od wyboru ${\ Displaystyle \ textstyle (X, \ Sigma).}$ Biorąc ${\ displaystyle \ textstyle (X, \ Sigma) = \ {0,1 \} ^ {\ infty}}$ otrzymujemy właściwość dobrze znaną jako przeliczalnie rozdzieloną (ale nazwaną rozdzielną w Itô 1984 ).

Istnienie generującej mierzalnej funkcji od $X,\Sigma )}$ mierzalnej przestrzeni $Displaystyle \ textstyle (\ Omega, {\ mathcal {F}$$,$ również nie zależy od wyboru ${\ Displaystyle \ textstyle (X, \ Sigma).}$ Biorąc ${\ Displaystyle \ textstyle (X, \ Sigma) = \ {0,1 \} ^ {\ infty}}$ otrzymujemy właściwość dobrze znaną jako generowaną policzalnie (mod 0), patrz ( Durrett 1996 , Exer. I .5).

Przestrzeń prawdopodobieństwa	Przeliczalnie rozdzielone	Generowane policzalnie	Standard
Przedział z miarą Lebesgue'a	Tak	Tak	Tak
Naiwny biały szum	NIE	NIE	NIE
Interwał perforowany	Tak	Tak	NIE

Generowana jest każda iniekcyjna mierzalna funkcja od standardowej przestrzeni prawdopodobieństwa do standardowej mierzalnej przestrzeni. Patrz ( Rokhlin 1952 , rozdz. 2.5), ( Haezendonck 1973 , wniosek 2 na stronie 253), ( de la Rue 1993 , twierdzenia 3-4 i 3-5). Ta właściwość nie obowiązuje dla niestandardowej przestrzeni prawdopodobieństwa, o której mowa w podrozdziale „Zbędny mierzalny zbiór” powyżej.

Ostrożność. Właściwość bycia policzalnie generowanym jest niezmienna w przypadku izomorfizmów mod 0, ale właściwość bycia policzalnie rozdzielonym nie jest. W rzeczywistości standardowa przestrzeń prawdopodobieństwa $jest$ przeliczalnie oddzielona wtedy i tylko $gdy$ liczność $\Omega }$ nie przekracza kontinuum (patrz Itô 1984 , Ekser. 3.1(v)). Standardowa przestrzeń prawdopodobieństwa może zawierać zbiór zerowy o dowolnej liczności, dlatego nie musi być przeliczalnie rozdzielona. Jednak zawsze zawiera policzalnie oddzielony podzbiór pełnej miary.

Równoważne definicje

Niech ${\ Displaystyle \ textstyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ będzie kompletną przestrzenią prawdopodobieństwa taką, że liczność nie przekracza ${\ Displaystyle \ textstyle \ Omega}$ kontinuum (ogólny przypadek sprowadza się do tego szczególnego przypadku, patrz uwaga powyżej).

Poprzez bezwzględną mierzalność

  Definicja. ${\ Displaystyle \ textstyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ jest standardem, jeśli jest policzalnie oddzielone, wygenerowane policzalnie i absolutnie mierzalne.

Patrz ( Rokhlin 1952 , koniec rozdziału 2.3) i ( Haezendonck 1973 , Uwaga 2 na stronie 248). „Absolutnie mierzalny” oznacza: mierzalny w każdej przeliczalnie oddzielonej, przeliczalnie wygenerowanej przestrzeni prawdopodobieństwa, która go zawiera.

Przez doskonałość

  Definicja. ${\ Displaystyle \ textstyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ jest standardem, jeśli jest policzalnie oddzielone i doskonałe.

Patrz ( Itô 1984 , sekcja 3.1). „Doskonałe” oznacza, że ​​dla każdej mierzalnej funkcji od $\ Displaystyle \ textstyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ \ $,}$ miara obrazu jest regularna . (Tutaj miara obrazu $jest$ zdefiniowana na wszystkich zestawach, których odwrotne obrazy należą do , niezależnie struktury $)$ .

Poprzez topologię

  Definicja. ${\ Displaystyle \ textstyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ jest standardem, jeśli istnieje topologia ${\ Displaystyle \ textstyle \ tau}$ na ${\ Displaystyle \ textstyle \Omega}$ takie, że

• przestrzeń topologiczna jest metryzowalna ${\ Displaystyle \ textstyle (\ Omega, \ tau)$ }
• ${F}}}$$mathcal$ jest uzupełnieniem σ-algebry generowanej przez (czyli przez wszystkie zbiory otwarte);
• dla każdego $\$ zwarty zbiór $\ Displaystyle \ textstyle ($ ( $Omega, \ tau)}$ taki, ${\ Displaystyle \ textstyle P (K) \ geq 1- \ varepsilon.}$

Patrz ( de la Rue 1993 , rozdz. 1).

Weryfikacja standardowości

$zamienia$ przestrzeni go w standardową przestrzeń prawdopodobieństwa (Tutaj rozkład prawdopodobieństwa oznacza miarę prawdopodobieństwa zdefiniowaną początkowo na sigma-algebrze Borela i uzupełnioną.)

To samo dotyczy każdej polskiej przestrzeni , zob. ( Rokhlin 1952 , Rozdz. 2.7 (s. 24)), ( Haezendonck 1973 , Przykład 1 (s. 248)), ( de la Rue 1993 , Twierdzenie 2-3) i ( Itô 1984 , Twierdzenie 2.4.1).

Na przykład miara Wienera zamienia polską przestrzeń $∞$$)\to \mathbb {R} ,}$ funkcji ciągłych $\ Displaystyle \ textstyle [0,$ wyposażony w topologię lokalnej zbieżności jednostajnej ) w standardową przestrzeń prawdopodobieństwa.

Inny przykład: dla każdej sekwencji zmiennych losowych ich łączny rozkład zamienia przestrzeń polską (sekwencji; obdarzoną topologią iloczynu ) w standardową przestrzeń prawdopodobieństwa ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {R} ^ {\ infty}}$ .

(Tak więc idea wymiaru , bardzo naturalna dla przestrzeni topologicznych , jest całkowicie nieodpowiednia dla standardowych przestrzeni prawdopodobieństwa).

Iloczyn dwóch standardowych przestrzeni prawdopodobieństwa jest standardową przestrzenią prawdopodobieństwa.

To samo dotyczy iloczynu przeliczalnie wielu przestrzeni, patrz ( Rokhlin 1952 , rozdz. 3.4), ( Haezendonck 1973 , Twierdzenie 12) i ( Itô 1984 , Twierdzenie 2.4.3).

Mierzalny podzbiór standardowej przestrzeni prawdopodobieństwa jest standardową przestrzenią prawdopodobieństwa. Zakłada się, że zbiór nie jest zbiorem pustym i jest wyposażony w miarę warunkową. Patrz ( Rokhlin 1952 , rozdz. 2.3 (s. 14)) i ( Haezendonck 1973 , twierdzenie 5).

Każda miara prawdopodobieństwa w standardowej przestrzeni borelowskiej zamienia ją w standardową przestrzeń prawdopodobieństwa.

Korzystanie ze standardowości

Regularne prawdopodobieństwa warunkowe

W układzie dyskretnym prawdopodobieństwo warunkowe jest kolejną miarą prawdopodobieństwa, a oczekiwanie warunkowe można traktować jako (zwykłe) oczekiwanie w odniesieniu do miary warunkowej, patrz oczekiwanie warunkowe . W konfiguracji niedyskretnej warunkowanie jest często traktowane pośrednio, ponieważ warunek może mieć prawdopodobieństwo 0, patrz oczekiwanie warunkowe . W rezultacie wiele dobrze znanych faktów ma specjalne „warunkowe” odpowiedniki. Na przykład: liniowość oczekiwań; nierówność Jensena (patrz oczekiwanie warunkowe ); nierówność Höldera ; the twierdzenie o zbieżności monotonicznej itp.

Biorąc pod uwagę zmienną losową w przestrzeni prawdopodobieństwa $\$$)$ naturalne jest, aby spróbować skonstruować Y miara warunkowa $Displaystyle \ textstyle \ omega \ in$ to znaczy rozkład warunkowy $Omega}$ dany ${\ Displaystyle \ textstyle Y (\ omega) = y}$ . Na ogół jest to niemożliwe (zob. Durrett 1996 , sekcja 4.1(c)). Jednak dla standardowej przestrzeni prawdopodobieństwa $to$ możliwe i dobrze znane patrz 1952 , Rozdz. 3.1), co jest w zasadzie tym samym, co miary prawdopodobieństwa warunkowego (patrz Itô 1984 , Rozdz. 3.5), dezintegracja miary (zob. Kechris 1995 , Ćwiczenie (17.35)) oraz regularne prawdopodobieństwa warunkowe (zob. Durrett 1996 , rozdz. 4.1(c)).

Warunkowa nierówność Jensena to po prostu (zwykła) nierówność Jensena zastosowana do miary warunkowej. To samo dotyczy wielu innych faktów.

Miara zachowująca przekształcenia

Biorąc pod uwagę dwie przestrzenie prawdopodobieństwa ${\ Displaystyle \ textstyle (\ Omega _ {1}, {\ mathcal {F}} _ {1}, P_ {1})}$ , ${\ Displaystyle \ textstyle (\ Omega _ {2}, {\ mathcal {F}} _ {2}, P_ {2})}$ i miara zachowująca mapę ${ \displaystyle \textstyle f:\Omega _{1}\do \Omega _{2}}$ , obraz ${1})}$$_$ nie musi obejmować całego może brakować zestawu zerowego. Może się wydawać, $że$ , Miara zewnętrzna ${\ Displaystyle \ textstyle f (\ Omega _ {1})}$ jest równa 1, ale miara wewnętrzna może się różnić. Jeśli jednak przestrzenie prawdopodobieństwa ${\ Displaystyle \ textstyle (\ Omega _ {1}, {\ mathcal {F}} _ {1}, P_ {1})}$ , ${\ Displaystyle \ textstyle (\ Omega _ {2}, {\ mathcal {F}} _ {2}, P_ {2})}$ są standardowe , a następnie ${\ Displaystyle \ textstyle P_ {2} (f (\ Omega _ {1})) = 1$ , patrz ( de la Rue 1993 , Twierdzenie 3-2). Jeśli ${\ displaystyle \ textstyle f}$ jest również jeden do jednego, to każdy ${\ Displaystyle \ textstyle A \ in {\ mathcal {F}} _ {1}}$ spełnia ${\ Displaystyle \ textstyle f (A) \ w {\ mathcal {F}} _ {2}}$ , ${\ Displaystyle \ textstyle P_ {2} (f (A)) = P_ {1} (A)}$ . Dlatego $.$ (i zachowuje miarę Patrz ( Rokhlin 1952 , rozdz. 2.5 (s. 20)) i ( de la Rue 1993 , twierdzenie 3-5). Zobacz także ( Haezendonck 1973 , Twierdzenie 9 (i uwaga po nim)).

„Istnieje spójny sposób ignorowania zbiorów miar 0 w przestrzeni miar” ( Petersen 1983 , strona 15). Dążąc do pozbycia się zbiorów zerowych, matematycy często stosują klasy równoważności zbiorów mierzalnych lub funkcji. Klasy równoważności mierzalnych podzbiorów przestrzeni prawdopodobieństwa tworzą znormalizowaną kompletną algebrę Boole'a zwaną algebrą miar (lub strukturą metryczną). Każda miara zachowująca mapę ${\ Displaystyle \ textstyle f: \ Omega _ {1} \ do \ Omega _ {2}}$ prowadzi do homomorfizmu ${\ displaystyle \ textstyle F}$ algebr miar; $\ textstyle F (B) = f ^ {- 1} (B)}$ Displaystyle dla ${\ Displaystyle \ textstyle B \ w {\ mathcal { F}}_{2}}$ .

Mogłoby się wydawać, że każdemu homomorfizmowi algebr miar musi odpowiadać jakaś mapa zachowująca miarę, ale tak nie jest. Jednak dla $textstyle f$ { \ displaystyle $}$ . Patrz ( Rokhlin 1952 , rozdz. 2.6 (s. 23) i 3.2), ( Kechris 1995 , rozdz. 17.F), ( Petersen 1983 , twierdzenie 4.7 na str. 17).

Zobacz też

* (2001) [1994], „Standardowa przestrzeń prawdopodobieństwa” , Encyklopedia matematyki , EMS Press {{ cytat }} : CS1 maint: nazwy numeryczne: lista autorów ( link )

Notatki

• Rokhlin, VA (1952), O podstawowych ideach teorii miary (PDF) , Tłumaczenia, tom. 71, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, s. 1–54 . Przetłumaczone z rosyjskiego: Рохлин, В. А. (1949), "Об основных понятиях теории меры", Математический Сборник (Новая Серия) , 25 (67): 107–150 .
• von Neumann, J. (1932), „Einige Sätze über messbare Abbildungen”, Annals of Mathematics , druga seria, 33 : 574–586, doi : 10.2307/1968536 .
•   Halmos, PR ; von Neumann, J. (1942), „Metody operatorskie w mechanice klasycznej, II”, Annals of Mathematics , Second Series, Annals of Mathematics, 43 (2): 332–350, doi : 10.2307/1968872 , JSTOR 1968872 .
• Haezendonck, J. (1973), "Streszczenie przestrzeni Lebesgue'a-Rohlina", Bulletin de la Société Mathématique de Belgique , 25 : 243–258 .
• de la Rue, T. (1993), "Espaces de Lebesgue", Séminaire de Probabilités XXVII , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 1557, Springer, Berlin, s. 15–21 .
• Petersen, K. (1983), Teoria ergodyczna , Cambridge Univ. Naciśnij .
• Itô, K. (1984), Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa , Cambridge Univ. Naciśnij .
• Rudolph, DJ (1990), Podstawy mierzalnej dynamiki: Ergodyczna teoria przestrzeni Lebesgue'a , Oxford: Clarendon Press .
• Synaj, Ja. G. (1994), Tematy teorii ergodycznej , Princeton Univ. Naciśnij .
• Kechris, AS (1995), Klasyczna opisowa teoria mnogości , Springer .
• Durrett, R. (1996), Prawdopodobieństwo: teoria i przykłady (wyd. Drugie) .
• Wiener, N. (1958), Problemy nieliniowe w teorii losowości , MIT Press .