Twierdzenie o dezintegracji

W matematyce twierdzenie o dezintegracji jest wynikiem teorii miary i teorii prawdopodobieństwa . Rygorystycznie definiuje ideę nietrywialnego „ograniczenia” miary do podzbioru miary zerowej danej przestrzeni miary . Jest to związane z istnieniem miar prawdopodobieństwa warunkowego . W pewnym sensie „dezintegracja” jest procesem odwrotnym do budowy miary produktu .

Motywacja

Rozważmy kwadrat jednostkowy na płaszczyźnie euklidesowej R ² , S = [0, 1] × [0, 1] . Rozważmy miarę prawdopodobieństwa μ zdefiniowaną na S przez ograniczenie dwuwymiarowej miary Lebesgue'a λ ² do S . Oznacza to, że prawdopodobieństwo zdarzenia E ⊆ S jest po prostu polem E . Zakładamy, że E jest mierzalnym podzbiorem S .

Rozważmy jednowymiarowy podzbiór S , taki jak odcinek linii L _x = { x } × [0, 1]. L _x ma μ-miarę zero; każdy podzbiór L _x jest zbiorem μ-zerowym ; ponieważ przestrzeń miary Lebesgue'a jest zupełną przestrzenią miary ,

$${\ Displaystyle E \ subseteq L_ {x} \ implikuje \ mu (E) = 0.}$$

Chociaż to prawda, jest to nieco niezadowalające. Miło byłoby powiedzieć, że μ „ograniczone do” L _x jest jednowymiarową miarą Lebesgue'a λ ¹ , a nie miarą zerową . Prawdopodobieństwo „dwuwymiarowego” zdarzenia E można wówczas otrzymać jako całkę jednowymiarowych prawdopodobieństw pionowych „przekrojów” E ∩ L _x : bardziej formalnie, jeśli μ _x oznacza jednowymiarową miarę Lebesgue'a na L _x , Następnie

$${\ Displaystyle \ mu (E) = \ int _ {[0,1]} \ mu _ {x} (E \ czapka L_ {x})\,\mathrm {d} x}$$

dla dowolnego „miłego” E ⊆ S . Twierdzenie o dezintegracji czyni ten argument rygorystycznym w kontekście miar w przestrzeniach metrycznych .

Stwierdzenie twierdzenia

(W dalszej części P ( X ) będzie oznaczać zbiór miar prawdopodobieństwa Borela w przestrzeni topologicznej ( X , T ).) Założenia twierdzenia są następujące:

• Niech Y i X będą dwiema przestrzeniami Radona (tj. przestrzenią topologiczną taką, że każda miara prawdopodobieństwa Borela na M jest regularna wewnętrzna , np. oddzielne przestrzenie metryczne, w których każda miara prawdopodobieństwa jest miarą Radona ).
• Niech μ ∈ P ( Y ).
• Niech π : Y → X będzie funkcją borelowsko-mierzalną . Tutaj należy myśleć o π jako o funkcji „rozpadu” Y , w sensie podziału Y na ${\ Displaystyle \ {\ pi ^ {- 1} (x) \ |\ x \ w X \}}$ . Na przykład dla motywującego przykładu powyżej można zdefiniować $}$${\ Displaystyle \ pi ((a, b)) = a, (a, b) \ w [0,1] \ razy [0,1$$_$ co _
• Niech ${\ Displaystyle \ nu}$ ∈ P. ( X ) będzie miarą pushforward ν = π _∗ (μ) = μ ∘ π ^-1 . Ta miara zapewnia rozkład x (co odpowiada wydarzeniom). ${\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} (x)}$ ).

Wniosek z twierdzenia: Istnieje $prawie$ wszędzie jednoznacznie określona rodzina miar prawdopodobieństwa {μ _x } _{x ∈ X} ⊆ P ( Y ), która zapewnia „dezintegrację” ${\ displaystyle \ mu}$ w ${\ Displaystyle \ {\ mu _ {x} \} _ {x \ w X}}$ , że: tak

• funkcja $jest borelowska$${\ Displaystyle x \ mapsto \ mu _ {x} ($ w tym sensie, że jest funkcją borelowsko-mierzalną dla każdego zbioru borelowsko-mierzalnego B ⊆ Y ;
• μ _x $„$ żyje” na włóknie π ⁻¹ ( x ): dla prawie wszystkie x ∈ X ,
  $${\ Displaystyle \ mu _ {x} \ lewo (Y \ setminus \ pi ^ {- 1} (x) \ prawej) = 0,}$$
  więc μ _x ( mi ) = μ _x ( mi ∩ π ^-1 ( x ));
• dla każdej funkcji borelowsko-mierzalnej f : Y → [0, ∞],
  $${\ Displaystyle \ int _ {Y} f (y) \ \ operatorname {d} \ mu (y) = \ int _ {X} \ int _ {\ pi ^ {-1} (x)} f (y )\,\mathrm {d} \mu _{x}(y)\mathrm {d} \nu (x).}$$
  W szczególności dla dowolnego zdarzenia E ⊆ Y , przyjmując f za funkcję wskaźnika E ,
  $${\ Displaystyle \ mu (E) = \ int _ {X} \ mu _ {x} \ lewo (E \ prawo) \ \ operatorname {d} \ nu (x).}$$

Aplikacje

Przestrzenie produktów

Oryginalny przykład był szczególnym przypadkiem problemu przestrzeni produktowych, do którego stosuje się twierdzenie o dezintegracji.

Gdy Y jest zapisane jako iloczyn kartezjański Y = X ₁ × X ₂ i π _i : Y → X _{i jest} odwzorowaniem naturalnym , to każde włókno π ₁ ⁻¹ ( x ₁ ) może być kanonicznie utożsamiane z X ₂ i istnieje Borelowska rodzina miar prawdopodobieństwa ${\ Displaystyle \ {\ mu _ {x_ {1}} \} _ {x_ {1} \ w X_ {1}}}$ w P ( X ₂ ) (czyli (π ₁ ) _∗ (μ )-prawie wszędzie jednoznacznie określone) takie, że

$${\ Displaystyle \ mu = \ int _ {X_ {1}} \ mu _ {x_ {1}} \ \ mu \ lewo (\ pi _ {1} ^ {-1} (\ operatorname {d} x_ { 1})\right)=\int _{X_{1}}\mu _{x_{1}}\,\mathrm {d} (\pi _{1})_{*}(\mu )(x_ {1}),}$$

co jest w szczególności

$${\ Displaystyle \ int _ {X_ {1} \ razy X_ {2}} f (x_ {1}, x_ {2}) \ \ mu (\ operatorname {d} x_ {1},\mathrm {d} x_{2})=\int _{X_{1}}\left(\int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu (\mathrm {d} x_{2}|x_{1})\right)\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right)}$$

I

$${\ Displaystyle \ mu (A \ razy B) = \ int _ {A} \ mu \ lewo (B | x_ {1} \ prawo) \ \ mu \ lewo (\ pi _ {1} ^ {-1} (\ operatorname {d} x_ {1}) \ prawo).}$$

Związek z oczekiwaniem warunkowym jest określony przez tożsamości

$${\ Displaystyle \ operatorname {E} (f | \ pi _ {1 })(x_{1})=\int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu (\mathrm {d} x_{2}|x_{1}),}$$

$${\ Displaystyle \ mu (A \ razy B | \ pi _ {1}) (x_ {1}) = 1_ {A} (x_ {1}) \ cdot \ mu (B | x_ {1}).}$$

Rachunek wektorowy

Twierdzenie o dezintegracji można również postrzegać jako uzasadniające użycie „ograniczonej” miary w rachunku wektorowym . Na przykład, w twierdzeniu Stokesa zastosowanym do pola wektorowego przepływającego przez zwartą powierzchnię Σ ⊂ R ³ , zakłada się, że „poprawną” miarą na Σ jest rozpad trójwymiarowej miary Lebesgue'a λ ³ na Σ i że rozpad tej miary na ∂Σ jest taki sam jak rozpad λ ³ na ∂Σ.

Rozkłady warunkowe

Twierdzenie o dezintegracji można zastosować do rygorystycznego traktowania rozkładów prawdopodobieństwa warunkowego w statystyce, unikając jednocześnie czysto abstrakcyjnych sformułowań prawdopodobieństwa warunkowego.

Zobacz też

• Twierdzenie Ionescu-Tulcea
• Wspólny rozkład prawdopodobieństwa - Rodzaj rozkładu prawdopodobieństwa
• Copula (statystyka) – Rozkład statystyczny zależności między zmiennymi losowymi Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowania
• Oczekiwanie warunkowe – oczekiwana wartość zmiennej losowej, przy założeniu, że znane są pewne warunki
• Regularne prawdopodobieństwo warunkowe