Zestaw niemierzalny

W matematyce zbiór niewymierny to zbiór , któremu nie można przypisać znaczącej „objętości”. Matematyczne istnienie takich zbiorów ma dostarczać informacji o pojęciach długości , powierzchni i objętości w formalnej teorii mnogości. W teorii mnogości Zermelo-Fraenkla aksjomat wyboru oznacza, że istnieją niewymierne podzbiory ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ .

Pojęcie zbioru niemierzalnego było źródłem wielkich kontrowersji od czasu jego wprowadzenia. Historycznie doprowadziło to Borela i Kołmogorowa do sformułowania teorii prawdopodobieństwa na zbiorach, które są ograniczone, aby były mierzalne. Zbiory mierzalne na linii to iterowane sumy i przecięcia przedziałów (zwane zbiorami borelowskimi ) plus-minus null . Zbiory te są wystarczająco bogate, aby objąć każdą możliwą definicję zbioru, jaka pojawia się w standardowej matematyce, ale wymagają dużo formalizmu, aby udowodnić, że zbiory są mierzalne.

W 1970 roku Robert M. Solovay skonstruował model Solovaya , który pokazuje, że jest on zgodny ze standardową teorią mnogości bez nieprzeliczalnego wyboru, że wszystkie podzbiory liczb rzeczywistych są mierzalne. Jednak wynik Solovaya zależy od istnienia niedostępnego kardynała , którego istnienia i spójności nie można udowodnić w ramach standardowej teorii mnogości.

Konstrukcje historyczne

Pierwsza wskazówka, że może być problem ze zdefiniowaniem długości dowolnego zbioru, pochodzi z twierdzenia Vitalego .

Można by oczekiwać, że miara sumy dwóch rozłącznych zbiorów będzie sumą miary tych dwóch zbiorów. Miara z tą naturalną właściwością nazywana jest skończenie addytywną . Chociaż skończenie addytywna miara jest wystarczająca dla większości intuicji obszaru i jest analogiczna do integracji Riemanna , jest uważana za niewystarczającą dla prawdopodobieństwa , ponieważ konwencjonalne nowoczesne traktowanie sekwencji zdarzeń lub zmiennych losowych wymaga policzalnej addytywności .

Pod tym względem płaszczyzna jest podobna do linii; istnieje miara skończenie addytywna, rozszerzająca miarę Lebesgue'a, która jest niezmienna dla wszystkich izometrii . Dla większych wymiarów obraz się pogarsza. Paradoks Hausdorffa i paradoks Banacha-Tarskiego pokazują, że trójwymiarową kulę o promieniu 1 można podzielić na 5 części, które można ponownie złożyć, tworząc dwie kule o promieniu 1.

Przykład

Rozważmy zbiór wszystkich punktów w okręgu jednostkowym i działanie na grupę składającą $S , {$ ze wszystkich racjonalnych obrotów (obroty o kąty, które są $S$ ) $}$ wielokrotności ${\ displaystyle \ pi}$ ). Tutaj $policzalne$ (dokładniej, jest izomorficzne z $\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$ ) podczas gdy ${\ displaystyle S}$ jest niepoliczalny. Stąd rozpada się na niezliczoną liczbę ${\ Displaystyle \ {se ^ {iq \ pi}: q \ w \ mathbb {Q} \}})$ pod ( orbita $in S}$ $\ Displaystyle s$ ${$ jest policzalnym zbiorem . Używając aksjomat wyboru , moglibyśmy wybrać pojedynczy punkt z każdej orbity, uzyskując nieprzeliczalny podzbiór z właściwością, że wszystkie wymierne przekładają się (przetłumaczone kopie formy ${\ Displaystyle e ^ {iq \ pi} X: = \ {e ^ {iq \ pi} x: x \ w X \}}$ $podzbiór S}$ $e^{iq\pi }X:=\{e^{iq\pi }x:x\in X\}$ dla jakiegoś racjonalnego ${\ Displaystyle q}$ ) z ${\ displaystyle X}$ przez $G}$ $displaystyle$ są rozłączne parami (czyli rozłączne od i od siebie). Zbiór tych tłumaczeń dzieli okrąg na przeliczalny zbiór zbiorów rozłącznych, z których wszystkie są przystające parami (przez wymierne obroty). Zbiór będzie niemierzalny dla dowolnej przeliczalnie addytywnej miary prawdopodobieństwa niezmiennej z rotacją na $S}$ $displaystyle$ jeśli ${\ displaystyle X}$ ma zerową miarę, przeliczalna addytywność oznaczałaby, że cały okrąg ma zerową miarę. Jeśli $dodatnią$ miarę, policzalna addytywność pokazałaby, że okrąg ma nieskończoną miarę

Spójne definicje miary i prawdopodobieństwa

Banacha -Tarskiego pokazuje, że nie ma sposobu na zdefiniowanie objętości w trzech wymiarach, chyba że nastąpi jedno z pięciu następujących ustępstw:

Głośność zestawu może się zmieniać, gdy jest obracany.
Objętość sumy dwóch rozłącznych zbiorów może być różna od sumy ich objętości.
Niektóre zestawy mogą być oznaczone jako „niemierzalne” i trzeba by sprawdzić, czy zestaw jest „mierzalny”, zanim zacznie się mówić o jego objętości.
aksjomaty ZFC ( teorii mnogości Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru).
Objętość ${\ Displaystyle [0,1] ^ {3}}$ wynosi ${\ Displaystyle 0}$ lub ${\ Displaystyle \ infty}$ .

Teoria miary standardowej przyjmuje trzecią opcję. Definiuje się rodzinę zbiorów mierzalnych, która jest bardzo bogata i prawie każdy zbiór wyraźnie zdefiniowany w większości gałęzi matematyki będzie się należeć do tej rodziny. Zwykle bardzo łatwo jest udowodnić, że dany określony podzbiór płaszczyzny geometrycznej jest mierzalny. Podstawowym założeniem jest to, że przeliczalnie nieskończona sekwencja zbiorów rozłącznych spełnia formułę sumy, właściwość zwaną σ-addytywnością .

W 1970 roku Solovay wykazał, że istnienia niemierzalnego zbioru dla miary Lebesgue'a nie da się udowodnić w ramach teorii mnogości Zermelo-Fraenkla przy braku dodatkowego aksjomatu (takiego jak aksjomat wyboru), pokazując, że ( przy założeniu niesprzeczności niedostępnego kardynała ) istnieje model ZF, zwany modelem Solovaya , w którym zachodzi przeliczalny wybór , każdy zbiór jest mierzalny Lebesgue'a iw którym pełny aksjomat wyboru zawodzi.

Aksjomat wyboru jest równoważny podstawowemu wynikowi topologii zbioru punktów , twierdzeniu Tychonowa , a także koniunkcji dwóch podstawowych wyników analizy funkcjonalnej, twierdzenia Banacha – Alaoglu i twierdzenia Kreina – Milmana . W dużym stopniu wpływa również na badanie grup nieskończonych, a także teorię pierścieni i rzędów (patrz twierdzenie Boole'a o ideałach pierwszych ). Jednak aksjomaty determinacji i zależnego wyboru razem są wystarczające dla większości teoria miary geometrycznej , teoria potencjału , szeregi Fouriera i transformaty Fouriera , przy czym wszystkie podzbiory prostej rzeczywistej są mierzalne Lebesgue'a.

Zobacz też

Paradoks Banacha-Tarskiego – Rozebranie przedmiotu i zbudowanie z jego części dwóch identycznych kopii
Kryterium Carathéodory'ego – warunek konieczny i wystarczający zbioru mierzalnego
paradoks Hausdorffa
Miara (matematyka) – Uogólnienie masy, długości, powierzchni i objętości
Zbiór nieborelowy – Proces matematyczny
Miara zewnętrzna – funkcja matematyczna
Zbiór Vitali - Zbiór liczb rzeczywistych, który nie jest mierzalny Lebesgue'a

Notatki

Bibliografia

Dewdney, AK (1989). „Wytwórca materii dostarcza materii do myślenia”. Scientific American (kwiecień): 116–119. doi : 10.1038/scientificamerican0489-116 .