Wsparcie (teoria miary)

W matematyce wsparcie (czasami wsparcie topologiczne lub widmo $)$ miary na mierzalnej przestrzeni topologicznej $) )}$ ( ( to precyzyjne pojęcie, gdzie w przestrzeni $.$ „żyje” Jest zdefiniowany jako największy ( closed ) podzbiór zbioru $sąsiedztwo$ dla którego każde otwarte każdego punktu zbioru ma dodatnią miarę.

Motywacja

$na$ (nieujemna) mierzalnej przestrzeni ${\ Displaystyle (X, \ Sigma)}$ jest naprawdę funkcją ${\ Displaystyle \ mu: \ Sigma \ do [0, + \ infty].}$ Dlatego , jeśli chodzi o zwykłą definicję podpory , podpora dla ${\ displaystyle \ mu}$ jest podzbiorem σ-algebry ${\ Displaystyle \ Sigma:}$

$${\ Displaystyle \ operatorname {supp} (\ mu): = {\ overline {\ {A \ in \ Sigma \, \ vert \, \ mu (A) \ neq 0 \}} },}$$

gdzie górna kreska oznacza zamknięcie zestawu . Jednak ta definicja jest nieco niezadowalająca: używamy pojęcia domknięcia, ale nie mamy nawet topologii na $miara$$.$$chcemy$ wiedzieć, gdzie w przestrzeni różna od zera Rozważ dwa przykłady:

1. Miara $rzeczywistej$ na linii ${R}.}$$mathbb$ Wydaje się jasne, że żyje” na całej linii rzeczywistej.
2. Miara Diraca w pewnym momencie ${\ Displaystyle p \ in \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle \ delta _ {p}}$$sugeruje$$„$ że miara ” w punkcie i nigdzie indziej.

W świetle tych dwóch przykładów możemy odrzucić następujące kandydujące definicje na korzyść tej z następnej sekcji:

1. Moglibyśmy usunąć punkty, w których ${\ Displaystyle X \ setminus \ {x \ in X \ mid \ mu (\ {x \}) = 0 \}.} To$$zero$ , i przyjąć, że wsparcie jest resztą może działać dla miary Diraca ${\ Displaystyle \ delta _ {p},}$ ale na pewno nie zadziałałoby to dla ${\ displaystyle \ lambda:}$$Lebesgue'a$ dowolnego singletonu wynosi zero, ta definicja dałaby wsparcie.
2. Porównując z pojęciem ścisłej pozytywności miar, moglibyśmy przyjąć, że wsparciem jest zbiór wszystkich punktów z sąsiedztwem miary dodatniej:
   $${\ Displaystyle \ {x \ w X \ mid \ istnieje N_ {x} {\ tekst {otwarty}}} \text{ takie, że }}(x\in N_{x}{\text{ i }}\mu (N_{x})>0)\}}$$
   (lub zamknięcie tego). Jest to również zbyt uproszczone: biorąc pod uwagę $oznaczałoby$ , to poparcie każdej miary z wyjątkiem miary zerowej $\ displaystyle x \ in X$ całość ${\ Displaystyle X.}$

Jednak idea „lokalnej ścisłej pozytywności” nie jest zbyt daleka od praktycznej definicji.

Definicja

Niech ${\ Displaystyle (X, T)}$ będzie przestrzenią topologiczną ; niech ${\ Displaystyle B (T)}$ oznacza algebrę Borela σ na $Displaystyle$ tj. najmniejszą algebrę sigma na $X}$ , która zawiera wszystkie zbiory otwarte ${\ displaystyle U \ in T.$$będzie$ Niech miarą ${\ Displaystyle (X, B (T)}}$ Wtedy wsparcie (lub widmo ) ${\ Displaystyle \ mu}$ jest definiowane jako zbiór wszystkich punktów ${\ Displaystyle x}$ w ${\ displaystyle X}$ , dla którego każde otwarte sąsiedztwo z ${\ displaystyle X }$ ma dodatnią miarę: ${\ displaystyle N_ {x}}$

$${\ Displaystyle \ operatorname {supp} (\ mu): = \ {x \ in X \ mid \ forall N_ {x} \ in T \ dwukropek (x \ in N_ {x} \ Strzałka w prawo \ mu (N_ {x} )>0)\}.}$$

Niektórzy autorzy wolą przyjąć domknięcie powyższego zbioru. Nie jest to jednak konieczne: patrz „Właściwości” poniżej.

$włączenia) takie, że$ jest największe ( zbiór otwarty, który ma niepuste przecięcie z do $}$ ma dodatnią miarę, tj. największą taką, że: do {\ displaystyle $}$

$${\ Displaystyle (\ forall U \ in T) (U \ cap C \ neq \ varnothing \ mu (U \ cap C)> 0).}$$

Podpisane i złożone środki

Definicję tę można rozszerzyć na podpisane i złożone środki. Załóżmy $_$ _ _ _ Użyj twierdzenia o rozkładzie Hahna do pisania

$${\ Displaystyle \ mu = \ mu ^ {+} - \ mu ^ {-},}$$

gdzie $obie$ . Wtedy definiuje się wsparcie μ $\ displaystyle \ mu}$

$${\ Displaystyle \ operatorname {supp} (\ mu): = \ operatorname {supp} (\ mu ^ {+}) \ kubek \ operatorname {supp} (\ mu ^ {-}).}$$

Podobnie, jeśli jest ${\$ złożoną , podpora jest zdefiniowana jako suma podpór jej μ $Displaystyle \ mu : \ Sigma \$ część rzeczywista i urojona.

Nieruchomości

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {supp} (\ mu _ {1} + \ mu _ {2}) = \ nazwa operatora { supp} (\mu _{1})\cup \operatorname {supp} (\mu _{2})}$ trzyma.

Miara na jest ściśle dodatnia $,$ i tylko wtedy $ma$ wsparcie ${\ Displaystyle \ operatorname {supp} (\ mu) = X.}$$Jeśli$$sąsiedztwo$ ściśle i , to dowolne otwarte ${ \displaystyle x,}$ ponieważ jest to an zbiór otwarty , ma miarę dodatnią; stąd ${\ Displaystyle x \ in \ operatorname {supp} (\ mu),}$ więc ${\ Displaystyle \ operatorname {supp} (\ mu) = X.}$ I odwrotnie, jeśli ${\ Displaystyle \ operatorname {supp} (\ mu) = X,}$ wtedy każdy niepusty zbiór otwarty (będący otwartym otoczeniem jakiegoś punktu w swoim wnętrzu, który jest jednocześnie punktem podpory) ma miarę dodatnią; stąd ${\ displaystyle \ mu}$ jest ściśle dodatnie. Podpora miary jest zamknięta w $ponieważ$ jej uzupełnieniem jest suma otwartych zbiorów miary $displaystyle 0.}$

Ogólnie rzecz biorąc, wsparcie miary niezerowej może być puste: patrz przykłady poniżej. Jednakże, jeśli jest przestrzenią $\ displaystyle X}$ Hausdorffa i jest $miarą$ Radona , zbiór Borela podporą ma miarę zero : ${$

$${\ Displaystyle A \ subseteq X \ setminus \ operatorname {supp} (\ mu) \ implikuje \ mu (A) = 0.}$$

Odwrotność jest prawdziwa, jeśli $otwarta$ , ale generalnie nie jest to prawdą: kończy się niepowodzeniem, jeśli istnieje punkt $displaystyle A} )}$ takie, że ${\ Displaystyle \ mu (\ {x \}) = 0}$ (np. miara Lebesgue'a). Zatem nie trzeba „całkować poza podporą”: dla dowolnej mierzalnej funkcji ${\ Displaystyle f: X \ do \ mathbb {R}}$ lub do $\ Displaystyle \ mathbb {C},}$

$${\ Displaystyle \ int _ {X} f (x) \, \ operatorname {d} \ mu (x) = \ int _ {\ nazwa operatora {supp} (\ mu)} f (x) \, \ operatorname {d } \mu (x).}$$

Pojęcie wsparcia miary i widma samosprzężonego operatora liniowego w przestrzeni Hilberta są ze sobą ściśle powiązane. $\ Displaystyle (Af)(x)=xf(x)}$ , jeśli jest regularną miarą Borela na linii $,$$fa$ mnożenia jest samosprzężony w swojej dziedzinie naturalnej

$${\ Displaystyle D (A) = \ {f \ w L ^ {2} (\mathbb {R} ,d\mu )\mid xf(x)\in L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )\}}$$

$widmo pokrywa$ z zakresem funkcji tożsamości właśnie wsparciem dla ${\ Displaystyle \ mu.}$

Przykłady

Miara Lebesgue'a

W przypadku miary Lebesgue'a $\$ linii rzeczywistej $displaystyle \ mathbb {R}}$ rozważ dowolny punkt ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R}.}$$Displaystyle x}$ otwarte sąsiedztwo z $musi$ zawierać jakiś otwarty przedział ${\ Displaystyle (x- \ epsilon, x + \ epsilon)}$ dla pewnego ${\ Displaystyle \ epsilon > 0.}$ Ten przedział ma miarę Lebesgue'a ${\ Displaystyle 2 \ epsilon > 0,}$ więc ${\ Displaystyle \ lambda (N_ {x}) \ geq 2 \ epsilon > 0.}$ Ponieważ ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ był dowolny, ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {supp} (\ lambda) = \ mathbb {R}.}$

Miara Diraca

W przypadku miary Diraca $}$ i rozważymy dwa przypadki: ${\ Displaystyle \ delta _ {$

1. jeśli $\ Displaystyle x = p,}$${\ Displaystyle \ delta _ {p} (N_ {x}) = 1> 0.}$ to każde otwarte sąsiedztwo x $zawiera$$\ Displaystyle x}$ p $\ Displaystyle p,}$ więc
2. $która$ drugiej strony, jeśli $displaystyle$$mała$ otwarta kula , p $p ,}$ więc ${\ Displaystyle \ delta _ {p} (B) = 0.}$

Dochodzimy do wniosku, że $\ displaystyle \ {p \}$ domknięciem zbioru singletonowego { $p \},$${\ displaystyle \ {p \}}$ } sam w sobie .

W rzeczywistości miara $} \displaystyle \mu}$$rzeczywistej$$wtedy$ miarą Diraca pewnego punktu i tylko wtedy, gdy wsparcie $\ displaystyle \ mu$ to zbiór singletonów ${\ displaystyle \ {p \}.}$ W konsekwencji miara Diraca na linii rzeczywistej jest miarą unikalną z zerową wariancją (pod warunkiem, że miara w ogóle ma wariancję).

Jednolita dystrybucja

Rozważ miarę ${$ linii rzeczywistej zdefiniowanej przez $\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

$${\ Displaystyle \ mu (A): = \ lambda (A \ czapka (0,1))}$$

tj. jednolita miara na otwartym przedziale ${\ Displaystyle (0,1).}$ Podobny argument do przykładu miary Diraca pokazuje, że ${\ Displaystyle \ operatorname {supp} (\ mu) = [0,1].}$ Zauważ, że punkty graniczne 0 i 1 leżą na podporze: każdy zbiór otwarty zawierający 0 (lub 1) zawiera przedział otwarty około 0 (lub 1), które muszą się przecinać ${\ displaystyle (0,1)},$$a$ więc musi mieć dodatnią .

Nietrywialna miara, której wsparcie jest puste

Przestrzeń wszystkich policzalnych liczb porządkowych o topologii generowanej przez „przedziały otwarte” jest lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa . Miara („miara Dieudonné”), która przypisuje miarę 1 do zbiorów borelowskich zawierających nieograniczony domknięty podzbiór i przypisuje 0 innym zbiorom borelowskim, jest miarą prawdopodobieństwa borelowskiego, której wsparcie jest puste.

Miara nietrywialna, której wsparcie ma miarę zero

W zwartej przestrzeni Hausdorffa wsparcie miary niezerowej jest zawsze niepuste, ale może mieć miarę $0.$ tego jest dodanie pierwszej nieprzeliczalnej liczby porządkowej ${\ Displaystyle \ Omega}$ do poprzedniego przykładu: podstawą miary jest pojedynczy punkt, który ma miarę $}$${\ Displaystyle \ Omega,$

•   Ambrosio, L., Gigli, N. i Savaré, G. (2005). Przepływy gradientów w przestrzeniach metrycznych iw przestrzeni miar prawdopodobieństwa . ETH Zurych, Birkäuser Verlag, Bazylea. ISBN 3-7643-2428-7 . {{ cite book }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link )
•   Parthasarathy, KR (2005). Miary prawdopodobieństwa w przestrzeniach metrycznych . AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. P. XII+276. ISBN 0-8218-3889-X . MR 2169627 (Patrz rozdział 2, sekcja 2.)
• Teschl, Gerald (2009). Metody matematyczne w mechanice kwantowej z zastosowaniami do operatorów Schrödingera . AMS. (Patrz rozdział 3, sekcja 2)