Niezbędne infimum i niezbędne supremum

W matematyce pojęcia niezbędne infimum i istotne supremum są powiązane z pojęciami infimum i supremum , ale dostosowane do teorii miary i analizy funkcjonalnej , gdzie często mamy do czynienia ze stwierdzeniami, które nie są ważne dla wszystkich elementów w zbiorze , ale raczej prawie wszędzie , to znaczy z wyjątkiem zbioru miary zero .

Chociaż dokładna definicja nie jest od razu prosta, intuicyjnie podstawowym supremum funkcji jest najmniejsza wartość, która jest większa lub równa wartościom funkcji wszędzie, ignorując to, co funkcja robi w zbiorze punktów miary zero. Na przykład $f ($ $weźmie$ się funkcję która jest równa zeru wszędzie z wyjątkiem punktu gdzie $\$ wtedy supremum funkcji jest równe jeden. Jednak jego istotne supremum wynosi zero, ponieważ wolno nam ignorować to, co robi funkcja w jednym punkcie, w którym $osobliwa$ . Istotne infimum definiuje się w podobny sposób.

Definicja

$}$ $się$ od pytania, co robi funkcja w punktach (to znaczy obraz funkcji $displaystyle$ $\ displaystyle f}$ ), ale raczej prosząc o zestaw punktów, w których równa $się$ określonej wartości ${\ displaystyle$ to znaczy $przedobrazowi$ f ${\ displaystyle y}$ pod ${\ displaystyle f}$ ).

Niech ${\ Displaystyle f: X \ do \ mathbb {R}}$ będzie funkcją o wartościach rzeczywistych zdefiniowaną na zbiorze $Displaystyle X.}$ $\$ Supremum funkcji charakteryzuje się następującą właściwością: $infty}$ \ sup f \ równoważnik dla wszystkich $\$ $\ Displaystyle$ $a}$ $X$ } i ${\ Displaystyle \ sup f \ leq a.}$ $Displaystyle f ($ dla wszystkich następnie Konkretniej liczba rzeczywista ${\ displaystyle a}$ nazywa się górną granicą dla jeśli $x$ $\ równoważnik a}$ wszystkich ${\ displaystyle x \ in X;}$ to znaczy, jeśli zestaw

{\ Displaystyle f ^ {- 1} (a, \ infty) = \ {x \ w X: f (x)> za \}}

jest pusty . Pozwalać

{\ Displaystyle U_ {f} = \ {a \ in \ mathbb {R}: f ^ {- 1} (a, \ infty) =\varnic \}\,}

być zbiorem górnych granic

i

zdefiniować

{\ Displaystyle \ inf \ varnothing = + \ infty.}

pustego zestawu przez Wtedy supremum z jest

{\ displaystyle f}

{\ Displaystyle \ sup f = \ inf U_ {f}}

jeśli zbiór górnych granic

nie

jest pusty, aw przeciwnym razie

infty}

$przestrzenią$ teraz dodatkowo, że $miary$ i uproszczenia załóżmy . Podobnie jak supremum, supremum zasadnicze funkcji charakteryzuje się następującą właściwością: ${\ Displaystyle f (x) \ równoważnik \ nazwa operatora {es} \ sup f \ równoważnik \ infty }$ dla $\ mu}$ $a \ in \ mathbb {R} \ kubek \ {+$ - prawie wszystkie $Displaystyle$ jeśli dla niektórych mamy ${\ Displaystyle f (x) \ równoważnik a}$ dla ${\ Displaystyle \ mu}$ - prawie wszystkie wtedy ${\ Displaystyle x \ in X}$ $Displaystyle \ operatorname {ess} \ sup f \ równoważnik za.}$ $f}$ Konkretniej, liczba $displaystyle$ jest istotną górną granicą fa {\ , jeśli mierzalny zbiór ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (a, \ infty)}$ to zbiór $jeśli$ zero, to znaczy, ${\ Displaystyle f (x) \ równoważnik a}$ $dla$ prawie wszystkie x $\ Displaystyle x}$ w ${\ Displaystyle X.}$ Niech

{\ Displaystyle U_ {f} ^ {\ nazwa operatora {ess}} = \ {a \ w \ mathbb {R}: \ mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}}

będzie zbiorem podstawowych granic górnych. Następnie istotne supremum definiuje się podobnie jak

{\ Displaystyle \ operatorname {ess} \ sup f = \ inf U_ {f} ^ {\ operatorname {ess}}}

{\ Displaystyle U_ {f} ^ {\ operatorname {ess}} \ neq \ varnothing}

fa i

\ operatorname {ess} \ sup f = + \ infty }

inaczej.

Dokładnie w ten sam sposób definiuje się infimum esencjalne jako supremum esencjalnych dolnych granic s , to znaczy:

{\ Displaystyle \ operatorname {ess} \ inf f = \ sup \ {b \ in \ mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}}

jeśli zbiór podstawowych dolnych granic nie jest pusty, aw przeciwnym razie

{\ displaystyle - \ infty}

znowu istnieje alternatywne wyrażenie jako

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {ess} \ inf f = \ sup \ {a \ in \mathbb {R} :f(x)\geq a{\text{ dla prawie wszystkich }}x\in X\}}

(przy czym jest to

{\ Displaystyle - \ infty}

, jeśli zestaw jest pusty).

Przykłady

Na prostej rzeczywistej rozważ miarę Lebesgue'a i odpowiadającą jej 𝜎-algebrę ${\ displaystyle \ Sigma.}$ $wzoru$ funkcję za pomocą

{\ Displaystyle f (x) = {\ rozpocząć {przypadki} 5, & {\ tekst {jeśli}} x = 1 \\ -4, & {\ tekst {jeśli}} x = -1 \\ 2, & { \text{inaczej.}}\end{przypadki}}}

Supremum tej funkcji (największa wartość) to 5, a infimum (najmniejsza wartość) to -4. Jednak funkcja przyjmuje $wartości$ dla $zero$ miarę Wszędzie indziej funkcja przyjmuje wartość 2. Tak więc zarówno istotne supremum, jak i istotne infimum tej funkcji wynoszą 2.

Jako inny przykład rozważmy funkcję

{\ Displaystyle f (x) = {\ rozpocząć {przypadki} x ^ {3}, & {\ tekst {jeśli} }x\in \mathbb {Q} \\\arctan x,&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} \\\end{przypadki}}}

gdzie oznacza liczby

_

. Ta funkcja jest nieograniczona zarówno z góry, jak iz dołu, więc jej supremum i infimum są odpowiednio

{\ displaystyle \ infty}

i

{\ displaystyle - \ infty} .

Jednak z punktu widzenia miary Lebesgue'a zbiór liczb wymiernych ma miarę zero; tak więc naprawdę liczy się to, co dzieje się w dopełnieniu tego zbioru, gdzie funkcja jest podana jako

{\ Displaystyle \ arctan x.}

Wynika z tego, że podstawowym supremum jest

{\ Displaystyle \ pi / 2}

, podczas gdy podstawowym infimum jest

{\ Displaystyle - \ pi / 2.}

${\ Displaystyle x.}$ $_$ funkcję wszystkich Jego podstawowym supremum jest ${\ Displaystyle + \ infty},$ a jego zasadniczym infimum jest ${\ Displaystyle - \ infty.}$

Na koniec rozważ funkcję

{\ Displaystyle f (x) = {\ rozpocząć {przypadki} 1/x, & {\ tekst {jeśli}} x \ neq 0 \ \0,&{\text{if }}x=0.\\\end{przypadki}}}

Wtedy dla dowolnego

{\ Displaystyle a \ in \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle \ mu (\ {x \ in \ mathbb {R}: 1/x> a \}) \ geq {\ tfrac {1} {| a |}}} i tak U

fa

Displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess}}=\varnothing}

and

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {ess} \ sup f = + \ infty.}

Nieruchomości

Jeśli ${\ Displaystyle \ mu (X)> 0}$ to

{\ Displaystyle \ inf f ~ \ równoważnik ~ \ nazwa operatora {es} \ inf f ~ \ równoważnik ~ \ nazwa operatora {ess} \ sup f ~ \ równoważnik ~ \ sup f.}

aw przeciwnym razie, jeśli ma miarę zero, to

{\ displaystyle X}

{\ Displaystyle + \ infty ~ = ~ \ operatorname {ess} \ inf f ~ \ geq ~ \ operatorname {ess} \ sup f ~ = ~ - \ infty.}

Jeśli podstawowe sumy dwóch funkcji $sol$ są $sol$ ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {ess} \ sup (fg) ~ \ równoważnik ~ (\ nazwa operatora {ess} \ sup f) \, (\ nazwa operatora {ess} \ sup g).}$ to