Zestaw uniwersalnie mierzalny

W matematyce podzbiór polskiej przestrzeni jest uniwersalnie mierzalny $} \displaystyle X}$ jeśli jest mierzalny w odniesieniu do każdej pełnej $miary$ prawdopodobieństwa na , która $displaystyle$ wszystkie podzbiory borelowskie $X$ . W szczególności uniwersalnie mierzalny zbiór liczb rzeczywistych jest koniecznie mierzalny według Lebesgue'a (patrz § Warunek skończoności poniżej).

Każdy zbiór analityczny jest uniwersalnie mierzalny. Z determinacji rzutowej , która z kolei wynika z wystarczająco dużych kardynałów , wynika, że ​​każdy zbiór rzutowy jest uniwersalnie mierzalny.

Warunek skończoności

₀ Warunek, aby miara była miarą prawdopodobieństwa ; to znaczy, że sama miara $wynosząca$ 1 jest mniej restrykcyjna, niż mogłoby się wydawać Na przykład miara Lebesgue'a na liczbach rzeczywistych nie jest miarą prawdopodobieństwa, ale każdy uniwersalnie mierzalny zbiór jest mierzalny Lebesgue'a. Aby to zobaczyć, podziel linię rzeczywistą na przeliczalnie wiele odcinków o długości 1; powiedzmy N = [0,1), N ₁ = [1,2), N ₂ = [-1,0), N ₃ = [2,3), N ₄ =[-2,-1) i tak dalej. Teraz niech μ będzie miarą Lebesgue'a, zdefiniuj nową miarę ν przez

${\ Displaystyle \ nu (A) = \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {1} 2^{n+1}}}\mu (A\cap N_{i})}$

Wtedy łatwo ν jest miarą prawdopodobieństwa na liczbach rzeczywistych, a zbiór jest mierzalny ν wtedy i tylko wtedy, gdy jest mierzalny Lebesgue'a. Mówiąc bardziej ogólnie, zbiór uniwersalnie mierzalny musi być mierzalny w odniesieniu do każdej sigma-skończonej miary, która mierzy wszystkie zbiory borelowskie.

Przykład kontrastujący z mierzalnością Lebesgue'a

Załóżmy, $przestrzeni$ jest podzbiorem Cantora ${\ Displaystyle 2 ^ {\ omega}}$ ; to znaczy $zer$ nieskończonych sekwencji i jedynek. Umieszczając kropkę binarną przed taką sekwencją, sekwencję można postrzegać jako liczbę rzeczywistą z przedziału od 0 do 1 (włącznie), z pewną nieistotną dwuznacznością. W ten sposób możemy myśleć o ${\ displaystyle A}$ przedziału [0,1] i ocenić jego miarę Lebesgue'a ZA , jeśli jest to określone. Ta wartość jest czasami nazywana miarą rzutu monetą , ponieważ jest to prawdopodobieństwo wytworzenia sekwencji orłów i reszek, która jest elementem po rzucie uczciwą monetą nieskończenie wiele razy ZA ${$$displaystyle A$ .

aksjomatu wyboru wynika , że ​​istnieje kilka takich $.$ dobrze zdefiniowanej miary Lebesgue'a (lub miary rzutu monetą) Oznacza to, że dla takiego prawdopodobieństwo, że $monetą$ zakończy się w $nie$ dobrze zdefiniowane. Jest to patologiczna właściwość $jest$ która mówi, że $”$ lub „źle się zachowuje”.

${$ zestawu utwórz nowy zestaw, wykonując następującą operację na każdej sekwencji w $:$$A}$ 0 na każdej parzystej pozycji w sekwencji ZA przesuwając pozostałe bity, aby zrobić miejsce. Chociaż $”$ ani „lepiej zachowujący się” niż $w$ , że sekwencja rzutów uczciwą monetą będzie ${\ displaystyle A'}$ jest dobrze zdefiniowany. Rzeczywiście, aby $znaleźć się w ,$ musi wypaść reszka przy każdym parzystym rzucie, co dzieje się z prawdopodobieństwem zero

Jednak $_$ jest uniwersalnie . Aby się o tym przekonać, możemy to porównać z monetą stronniczą , która zawsze wypada reszką w rzutach parzystych i jest uczciwa w rzutach nieparzystych. Aby zestaw sekwencji był uniwersalnie mierzalny, można użyć monety o arbitralnie obciążonej wartości (nawet takiej, która może „zapamiętać” sekwencję rzutów, która miała miejsce wcześniej), a prawdopodobieństwo, że sekwencja jej rzutów zakończy się w zestawie, musi być dobrze zdefiniowany. Jednak kiedy ${\ displaystyle A'}$$jest$ (ta, która zawsze wychodzi reszką w rzutach parzystych i jest uczciwa w rzutach nieparzystych), prawdopodobieństwo trafienia nie określone (dla z tego samego powodu, dla którego nie można przetestować uczciwej monety $.$ Zatem $_$ jest uniwersalnie .

•   Alexander Kechris (1995), Klasyczna opisowa teoria mnogości , Graduate Texts in Mathematics, tom. 156, Springera, ISBN 0-387-94374-9
•   Nishiura Togo (2008), Bezwzględne mierzalne przestrzenie , Cambridge University Press, ISBN 0-521-87556-0