Miara maksymalizująca

W matematyce — a konkretnie w teorii ergodycznej — miara maksymalizująca jest szczególnym rodzajem miary prawdopodobieństwa . Nieformalnie miara prawdopodobieństwa μ jest miarą maksymalizującą dla jakiejś funkcji f , jeśli całka f względem μ jest „tak duża, jak to tylko możliwe”. Teoria miar maksymalizujących jest stosunkowo młoda i niewiele wiadomo o ich ogólnej strukturze i właściwościach.

Definicja

Niech X będzie przestrzenią topologiczną i niech T : X → X będzie funkcją ciągłą . Niech Inv ( T ⁾ oznacza zbiór wszystkich borelowskich miar prawdopodobieństwa na X , które są niezmienne pod T , tj . _ _ _ ). (Zauważ, że z twierdzenia Kryłowa-Bogolubowa , jeśli X jest zwarty i metryzowalny , Inv( T ) jest niepuste.) Zdefiniuj dla funkcji ciągłych f : X → R maksymalną funkcję całkową β przez

${\ Displaystyle \ beta (f): = \ sup \ lewo. \ lewo \ {\ int _ {X} f \, \ operatorname {d} \ nu \ prawo | \ nu \ in \ operatorname {Inv} (T) \Prawidłowy\}.}$

miara prawdopodobieństwa μ w Inv( T ) jest miarą maksymalizującą dla f if

${\ Displaystyle \ int _ {X} f \, \ operatorname {d} \ mu = \ beta (f).}$

Nieruchomości

• Można pokazać, że jeśli X jest przestrzenią zwartą , to Inv( T ) jest również zwarta ze względu na topologię słabej zbieżności miar . Stąd w tym przypadku każda funkcja ciągła f : X → R ma co najmniej jedną miarę maksymalizującą.
• Jeśli T jest ciągłą mapą zwartej przestrzeni metrycznej X w sobie, a E jest topologiczną przestrzenią wektorową , która jest gęsto i w sposób ciągły osadzona w C ( X ; R ), to zbiór wszystkich f w E , które mają unikalną miarę maksymalizacji, to równe przeliczalnemu przecięciu otwartych gęstych podzbiorów E .

• Morris, Ian (2006). Tematy z formalizmu termodynamicznego: losowe stany równowagi i optymalizacja ergodyczna (PostScript) . Uniwersytet w Manchesterze, Wielka Brytania: Ph.D. teza . Źródło 2008-07-05 .
•   Jenkinson, Oliver (2006). „Optymalizacja ergodyczna” . Dyskretne i ciągłe układy dynamiczne . 15 (1): 197–224. doi : 10.3934/dcds.2006.15.197 . ISSN 1078-0947 . MR 2191393