Ciągłe osadzanie

W matematyce mówi się , że jedna znormalizowana przestrzeń wektorowa jest w sposób ciągły osadzona w innej znormalizowanej przestrzeni wektorowej, jeśli funkcja inkluzji między nimi jest ciągła . W pewnym sensie te dwie normy są „prawie równoważne”, mimo że nie są zdefiniowane w tej samej przestrzeni. Kilka twierdzeń Sobolewa o osadzeniu to twierdzenia o ciągłym osadzeniu.

Definicja

Niech X i Y będą dwiema znormalizowanymi przestrzeniami wektorowymi o normach ||·|| _X i ||·|| odpowiednio _Y , tak że X ⊆ Y . Jeśli mapa inkluzji (funkcja tożsamości)

${\ Displaystyle i: X \ hookrightarrow Y: x \ mapsto x}$

jest ciągła, tzn. jeśli istnieje stała C > 0 taka, że

${\ Displaystyle \|x\|_ {Y} \ równoważnik C \|x\|_ {X}}$

dla każdego x w X , to mówi się, że X jest stale osadzony w Y . Niektórzy autorzy używają haczykowatej strzałki „↪” do oznaczenia ciągłego osadzania, tj. „ X ↪ Y ” oznacza „ X i Y są znormalizowanymi przestrzeniami, w których X jest stale osadzony w Y ”. Jest to konsekwentne stosowanie notacji z punktu widzenia kategorii topologicznych przestrzeni wektorowych , w których morfizmy („strzałki”) są ciągłymi odwzorowaniami liniowymi .

Przykłady

• Skończenie wymiarowy przykład ciągłego osadzania jest dany przez naturalne osadzenie prostej rzeczywistej X = R w płaszczyźnie Y = R ² , gdzie obie przestrzenie mają daną normę euklidesową:

${\ Displaystyle i: \ mathbf {R} \ do \ mathbf {R} ^ {2}: x \ mapsto (x, 0)}$

W tym przypadku || x || _X = || x || _Y dla każdej liczby rzeczywistej X . Oczywiście optymalnym wyborem stałej C jest C = 1.

• Nieskończenie wymiarowym przykładem ciągłego osadzania jest dane twierdzenie Rellicha-Kondrachowa : niech Ω ⊆ R n ^będzie otwartą , ograniczoną dziedziną Lipschitza i niech 1 ≤ p < rz . Ustaw

${\ Displaystyle p ^ {*} = {\ Frac {np} {np}}.}$

Wtedy przestrzeń Sobolewa W ^{1, p} (Ω; R ) jest w sposób ciągły osadzona w przestrzeni L ^p L ^{p ∗} (Ω; R ) . W rzeczywistości dla 1 ≤ q < p ^∗ to zanurzenie jest zwarte . Optymalna stała C będzie zależała od geometrii domeny Ω.

• Przestrzenie o nieskończonych wymiarach również dostarczają przykładów nieciągłych osadzeń. Weźmy na przykład

${\ Displaystyle X = Y = C ^ {0} ([0,1]; \ mathbf {R})}$

przestrzeń ciągłej rzeczywistej -funkcje o wartościach określonych na przedziale jednostkowym, ale wyposaż X w normę L ¹ , a Y w normę supremum . Dla n ∈ N niech f _n będzie ciągłą , odcinkową funkcją liniową daną przez

${\ Displaystyle f_ {n} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} -n ^ {2} x + n, & 0 \ równoważnik x \ równoważnik {\ tfrac {1} {n}}; \\ 0, & { \text{inaczej.}}\end{cases}}}$

Wtedy dla każdego n || fa _n || _Y = || fa _n || _∞ = n , ale

${\ Displaystyle \| f_ {n} \ | _ {L ^ {1}} = \ int _ {0} ^ {1} | f_ {n} (x) | \ \ operatorname {d} x = {\ frac {1}{2}}.}$

Zatem nie można znaleźć żadnej stałej C takiej, że || fa _n || _Y ≤ C || fa _n || _X , a więc osadzanie X w Y jest nieciągłe.

Zobacz też

• Kompaktowe osadzanie

•   Rennardy, M. & Rogers, RC (1992). Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych . Springer-Verlag w Berlinie. ISBN 3-540-97952-2 .