Kompaktowe osadzanie

W matematyce pojęcie bycia zwartym osadzonym wyraża ideę, że jeden zbiór lub przestrzeń jest „dobrze zawarta” w innym. Istnieją wersje tej koncepcji odpowiednie dla ogólnej topologii i analizy funkcjonalnej .

Definicja (przestrzenie topologiczne)

Niech ( X , T ) będzie przestrzenią topologiczną i niech V i W będą podzbiorami X . Mówimy, że V jest zwięźle osadzone w W , i piszemy V ⊂⊂ W , jeśli

• V ⊆ Cl( V ) ⊆ Int( W ), gdzie Cl( V ) oznacza domknięcie V , a Int( W ) oznacza wnętrze W ; I
• Cl( V ) jest zwarty .

Definicja (przestrzenie znormalizowane)

Niech X i Y będą dwiema znormalizowanymi przestrzeniami wektorowymi o normach ||•|| _X i ||•|| odpowiednio _Y i załóżmy, że X ⊆ Y . Mówimy, że X jest zwięźle osadzone w Y , i piszemy X ⊂⊂ Y , jeśli

• X jest stale osadzony w Y ; tzn. istnieje stała C taka, że ​​|| x || _Y ≤ C || x || _X dla wszystkich x w X ; I
• Osadzenie X w Y jest operatorem zwartym : dowolny zbiór ograniczony w X jest całkowicie ograniczony w Y , tj. każdy ciąg w takim zbiorze ograniczonym ma podciąg Cauchy'ego w normie ||• || _Y. _

Jeśli Y jest przestrzenią Banacha , równoważną definicją jest to, że operator osadzania (tożsamość) i : X → Y jest operatorem zwartym .

W zastosowaniu do analizy funkcjonalnej ta wersja zwartego osadzania jest zwykle używana z przestrzeniami funkcji Banacha . Kilka twierdzeń Sobolewa o osadzeniu to twierdzenia o zwartym osadzeniu. Gdy osadzanie nie jest zwarte, może posiadać pokrewną, ale słabszą właściwość współzwartości .

•   Adams, Robert A. (1975). Przestrzenie Sobolewa . Boston, MA: Prasa akademicka . ISBN 978-0-12-044150-1 . .
•   Evans, Lawrence C. (1998). Równania różniczkowe cząstkowe . Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 0-8218-0772-2 . .
•   Renardy, M. & Rogers, RC (1992). Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych . Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-97952-2 . .