Osadzanie Cocompact

W matematyce osadzenia kozwarte są osadzeniami znormalizowanych przestrzeni wektorowych posiadających pewną właściwość podobną do zwartości , ale słabszą od niej . Współzwartość jest używana w analizie matematycznej od lat 80. XX wieku i nie jest określana żadną nazwą (Lemat 6), (Lemat 2.5), (Twierdzenie 1) ani pseudonimami ad hoc, takimi jak znikający lemat lub odwrotne osadzanie .

Własność współzwartości pozwala na weryfikację zbieżności ciągów na podstawie niezmienniczości translacyjnej lub skalującej w problemie i jest zwykle rozpatrywana w kontekście przestrzeni Sobolewa . Termin osadzanie kokompaktowe jest inspirowany pojęciem kokompaktowej przestrzeni topologicznej .

Definicje

Niech $będzie$ grupą izometrii w $przestrzeni$ . Mówi się, że sekwencja ${\ Displaystyle (x_ {k}) \ podzbiór X}$ zbiega się do ${\ Displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle G} -$ słabo, jeśli dla każdej sekwencji ${\ Displaystyle (g_ {k}) \ podzbiór G}$ , sekwencja jest słabo zbieżna do ${\ Displaystyle g_ {k} (x_ {k} -x)}$ zero.

Ciągłe osadzanie dwóch znormalizowanych przestrzeni wektorowych nazywa się cocompact względem grupy izometrii $\ displaystyle X},$ X $jeśli$$każdy$ { $G$ -słabo zbieżna sekwencja ${\ Displaystyle (x_ {k}) \ podzbiór X}$ jest zbieżna w ${\ Displaystyle Y}$ .

Elementarny przykład: współzwartość dla ${\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty} \ hookrightarrow \ ell ^ {\ infty}}$

$Displaystyle \ ell ^ {\ infty} (\ mathbb {$ przestrzeni w sobie jest współzwarte względem grupy $\$ ( ${\ Displaystyle (x_ {n}) \ mapsto (x_ {nj}), j \ w \ mathbb {Z}}$ . Rzeczywiście, jeśli jest sekwencją ${\ Displaystyle (x_ {n}) ^ {(k)}}$ , ${\ Displaystyle k = 1,2, \ kropki}$${\ Displaystyle G}$ - słabo zbieżny do zera, a następnie ${\ Displaystyle x_ {n_ {k}} ^ {(k)} \ do 0}$ dla dowolnego wyboru ${\ displaystyle n_ {k}}$ . W szczególności można wybrać takie, że ${\ displaystyle n_ {k}}$${\ Displaystyle 2 | x_ {n_ {k}} ^ {(k)} | \ geq \ sup _ {n} | x_ {n} ^ {(k)} | = \ | (x_ {n}) ^ {(k)} \| _ {\ infty}}$ , co oznacza, że ${\ Displaystyle (x_ {n}) ^ {(k)} \ do 0}$ w ${\ Displaystyle \ ell ^ {\ infty}}$ .

Niektóre znane osadzania, które są współzwarte, ale nie zwarte

• ${\ Displaystyle \ ell ^ {p} (\ mathbb {Z}) \ hookrightarrow \ ell ^ {q} (\ mathbb {Z})} , q$ < $Displaystyle q <p}$ , w stosunku do działania tłumaczeń na ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ : ${\ Displaystyle (x_ {n}) \ mapsto ( x_{nj}),j\w \mathbb {Z}}$ .
• ${\ Displaystyle H ^ {1, p} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ hookrightarrow L ^ {q} (\ mathbb {R} ^ {N})}$ , ${\ Displaystyle p <q <{\ Frac {pN} {Np}}}$ , ${\ Displaystyle N> p}$ , w stosunku do działań tłumaczenia na ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}$ .
• ${\ Displaystyle {\ kropka {H}} ^ {1, p} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ hookrightarrow L ^ {\ Frac {pN} {Np}} (\ mathbb {R} ^ {N})}$ , ${\ Displaystyle N> p}$ , w odniesieniu do grupy produktów działań dylatacji i tłumaczeń na ${ \displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ .
• Osadzenia przestrzeni Sobolewa w przypadku Mosera-Trudingera w odpowiedniej przestrzeni Orlicza .
• Osadzenia przestrzeni Besowa i Triebla-Lizorkina.
• Osadzenia przestrzeni Strichartza .