Losowa miara

W teorii prawdopodobieństwa miara losowa jest elementem losowym o wartości miary . Miary losowe są na przykład stosowane w teorii procesów losowych , gdzie tworzą wiele ważnych procesów punktowych, takich jak procesy punktowe Poissona i procesy Coxa .

Definicja

Miary losowe można zdefiniować jako jądra przejściowe lub elementy losowe . Obie definicje są równoważne. $przestrzenią$ definicji $będzie$ będzie rozdzielną borelem $kompletną$ . metryczną i niech jej (Najbardziej typowym przykładem rozdzielnej kompletnej przestrzeni metrycznej jest ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ )

Jako jądro przejściowe

$zeta$ losową jest lokalnie skończone jądro przejścia z (abstrakcyjnej) przestrzeni prawdopodobieństwa $}$ ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P) ζ {\ Displaystyle \$ } do ${\ Displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}$ .

Bycie jądrem przejściowym oznacza to

Dla dowolnego ustalonego ${$ ω

}

jest mierzalny od

{\ Displaystyle (E, {\ mathcal

}

dla

\ Displaystyle \ omega \ mapsto \ zeta (\ omega

każdego ustalonego ${\ Displaystyle \ omega \ in \ Omega}$ , mapowanie

{\ Displaystyle B \ mapsto \ zeta (\ omega, B) \ quad (B \ w {\ mathcal { mi}})}

jest miarą na

{\ Displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}

Bycie lokalnie skończonym oznacza, że miary

{\ Displaystyle B \ mapsto \ zeta (\ omega, B)}

ζ ${\ Displaystyle \ zeta (\ omega, {\ tylda {B}}) <\ infty}$ wszystkich ograniczonych mierzalnych zbiorów $\ mathcal {E}}}$ ${\ Displaystyle {\ tylda {B}} \ in$ $\$ i dla wszystkich z wyjątkiem niektórych - zerowy zbiór $Displaystyle \ omega \ in \ Omega}$

W kontekście procesów stochastycznych związane jest pojęcie jądra stochastycznego, jądra prawdopodobieństwa, jądra Markowa .

Jako element losowy

Definiować

{\ Displaystyle {\ tylda {\ mathcal {M}}}: = \ {\ mu \ mid \ mu {\ tekst {jest miarą}} (E, {\mathcal {E}})\}}

oraz podzbiór miar lokalnie skończonych wg

{\ Displaystyle {\ mathcal {M}}: = \ {\ mu \ in {\ tylda {\ mathcal { M}}}\mid \mu ({\tylda {B}})<\infty {\text{dla wszystkich ograniczonych mierzalnych }}{\tylda {B}}\in {\mathcal {E}}\}}

Dla wszystkich ograniczonych mierzalnych zdefiniuj odwzorowania ${\ displaystyle {\ tylda {B}}}$

{\ Displaystyle I _ {\ tylda {B}} \ dwukropek \ mu \ mapsto \ mu ({\ tylda {B}})}

od ${\ Displaystyle {\ tylda {\ mathcal {M}}}}$ do ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ . Niech $tylda {\ mathbb {M}}}}$ $}$ $}}}}$ będzie $sigma$ przez odwzorowania na ${\ Displaystyle \ sigma}$ i ${\ Displaystyle \ mathbb {M}}$ σ -algebra wywołana przez odwzorowania ${\ displaystyle I _ {\ tylda {B}}}$ na ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$ . Zauważ, że ${\ Displaystyle {\ tylda {\ mathbb {M}}} | _ {\ mathcal {M}} = \ mathbb {M}}$ .

Losowa miara to losowy element od ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$ do ${\ Displaystyle ({\ tylda {\ mathcal {M}}}, {\ tylda {\ mathbb {M}}}}}, która$ prawie na pewno przyjmuje wartości w ${\ Displaystyle ({\ mathcal {M}}, \ mathbb {M})}$

Podstawowe pojęcia pokrewne

Miara intensywności

Dla miary losowej miara zadowalająca mi $\ Displaystyle \ operatorname {E} \$ $zeta$

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} \ lewo [\ int f (x) \; \ zeta (\ mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\;\operatorname {E} \zeta (\mathrm {d} x)}

$displaystyle$ mierzalnej funkcji nazywa się miarą intensywności $\ zeta}$ . Miara intensywności istnieje dla każdej miary losowej i jest miarą s-skończoną .

Środek wspierający

Dla miary losowej miara satysfakcjonująca $\ zeta$ $}$

{\ Displaystyle \ int f (x) \; \ zeta (\ operatorname {d} x) = 0 {\ tekst { as }}{\text{ iff }}\int f(x)\;\nu (\mathrm {d} x)=0}

dla wszystkich dodatnich mierzalnych funkcji nazywa się miarą wspierającą ${\ displaystyle \ zeta}$ . Miara wspierająca istnieje dla wszystkich miar losowych i może być wybrana jako skończona.

Transformata Laplace'a

Dla miary losowej transformatę Laplace'a definiuje się jako ${\ displaystyle \ zeta}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ zeta} (f) = \ operatorname {E} \ left[\exp \left(-\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right)\right]}

dla każdej dodatniej mierzalnej funkcji ${\ displaystyle f}$ .

Podstawowe właściwości

Mierzalność całek

Dla miary losowej całki. ζ $\ displaystyle \ zeta}$

{\ Displaystyle \ int f (x) \ zeta (\ operatorname {d} x)}

i ${\ Displaystyle \ zeta (A): = \ int \ mathbf {1} _ {A} (x) \ zeta (\ operatorname {d} X)}$

dla pozytywnych $mierzalne$ , więc $są$ zmiennymi losowymi

Wyjątkowość

Rozkład miary losowej jest jednoznacznie określony przez rozkłady

{\ Displaystyle \ int f (x) \ zeta (\ operatorname {d} x)}

dla wszystkich funkcji ciągłych z kompaktowym wsparciem $displaystyle E}$ mi $\$ . Dla ustalonego semiringu, ${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} \ podzbiór {\ mathcal {E}}},$ który generuje ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ w tym sensie, że ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {I}}) = {\ mathcal {E}}}$ , rozkład miary losowej jest również jednoznacznie określony przez całkę po wszystkich dodatnich prostych ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ -mierzalne funkcje ${\ displaystyle f}$ .

Rozkład

Miara ogólnie może być rozłożona jako:

{\ Displaystyle \ mu = \ mu _ {d} + \ mu _ {a} = \ mu _ {d} + \ suma _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},}

Tutaj $jest$ $jest$ bez atomów, podczas gdy czysto atomową

Losowa miara liczenia

Losowa miara postaci:

{\ Displaystyle \ mu = \ suma _ {n = 1} ^ {N} \ delta _ {X_ {n}},}

gdzie $jest$ miarą i są zmiennymi losowymi , nazywa się procesem punktowym $lub$ miarą liczenia Ta losowa miara opisuje zbiór N cząstek, których lokalizacje są określone przez (zazwyczaj o wartościach wektorowych) zmienne losowe ${\ displaystyle X_ {n}}$ . Składnik rozproszony $miary$ liczącej.

W formalnym zapisie powyżej miarą zliczania losowego jest mapa z przestrzeni prawdopodobieństwa do przestrzeni mierzalnej ( ${\ Displaystyle N_ {X}}$ , ${\ Displaystyle {\ mathfrak {B}} (N_ {X})}$ ) mierzalną przestrzeń . Tutaj jest przestrzenią wszystkich ograniczonych miar o wartościach całkowitych ( ${X}}$ liczącymi). $N_$

Definicje miary oczekiwań, funkcjonału Laplace'a, miar momentu i stacjonarności dla miar losowych są zgodne z definicjami procesów punktowych . Miary losowe są przydatne w opisie i analizie metod Monte Carlo , takich jak numeryczna kwadratura Monte Carlo i filtry cząstek stałych .

Zobacz też

^ ^a ^b Kallenberg, O. , Random Measures , wydanie 4. Academic Press, Nowy Jork, Londyn; Akademie-Verlag, Berlin (1986). ISBN 0-12-394960-2 MR 854102 . Autorytatywne, ale raczej trudne odniesienie.
^ ^ab ⁹ Jan Grandell, procesy punktowe i miary losowe, Advances in Applied Probability (1977) 502-526. MR 0478331 JSTOR Ładne i jasne wprowadzenie.
^ ^a ^b Kallenberg, Olav (2017). Miary losowe, teoria i zastosowania . Teoria prawdopodobieństwa i modelowanie stochastyczne. Tom. 77. Szwajcaria: Springer. P. 1. doi : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3 .
^ Klenke, Achim (2008). Teoria prawdopodobieństwa . Berlin: Springer. P. 526. doi : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .
Bibliografia _ Vere-Jones, D. (2003). Wprowadzenie do teorii procesów punktowych . Prawdopodobieństwo i jego zastosowania. doi : 10.1007/b97277 . ISBN 0-387-95541-0 .
^ Kallenberg, Olav (2017). Miary losowe, teoria i zastosowania . Teoria prawdopodobieństwa i modelowanie stochastyczne. Tom. 77. Szwajcaria: Springer. P. 52. doi : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3 .
Bibliografia _ _ _ _ _ _ _ -6

[RN-1] Kallenberg, O. , Random Measures , wydanie 4. Academic Press, Nowy Jork, Londyn; Akademie-Verlag, Berlin (1986). ISBN 0-12-394960-2 MR 854102 . Autorytatywne, ale raczej trudne odniesienie.

[G-2] ⁹ Jan Grandell, procesy punktowe i miary losowe, Advances in Applied Probability (1977) 502-526. MR 0478331 JSTOR Ładne i jasne wprowadzenie.

[Kallenberg1-3] Kallenberg, Olav (2017). Miary losowe, teoria i zastosowania . Teoria prawdopodobieństwa i modelowanie stochastyczne. Tom. 77. Szwajcaria: Springer. P. 1. doi : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3 .

[Klenke526-4] Klenke, Achim (2008). Teoria prawdopodobieństwa . Berlin: Springer. P. 526. doi : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .

[daleyPPI2003-5] Bibliografia _ Vere-Jones, D. (2003). Wprowadzenie do teorii procesów punktowych . Prawdopodobieństwo i jego zastosowania. doi : 10.1007/b97277 . ISBN 0-387-95541-0 .

[Kallenberg52-6] Kallenberg, Olav (2017). Miary losowe, teoria i zastosowania . Teoria prawdopodobieństwa i modelowanie stochastyczne. Tom. 77. Szwajcaria: Springer. P. 52. doi : 10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3 .

[crisan-7] Bibliografia _ _ _ _ _ _ _ -6