Zestaw zerowy

Trójkąt Sierpińskiego jest przykładem zerowego zbioru punktów w

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}

.

W analizie matematycznej zbiór zerowy jest $zbiorem$ mierzalnym , który zero to scharakteryzować jako zbiór, który można objąć policzalną sumą przedziałów o dowolnie małej długości całkowitej.

Pojęcia zbioru zerowego nie należy mylić ze zbiorem pustym zdefiniowanym w teorii mnogości . Chociaż zbiór pusty ma miarę Lebesgue'a zero, istnieją również zbiory niepuste, które są zerowe. Na przykład każdy niepusty przeliczalny zbiór liczb rzeczywistych ma miarę Lebesgue'a zero, a zatem jest pusty.

$to$ ogólnie, w danej przestrzeni miary zbiór $S \$ takie, że ${\ Displaystyle \ mu (S) = 0}$ .

Przykład

Każdy skończony lub przeliczalnie nieskończony podzbiór liczb rzeczywistych jest zbiorem zerowym. Na przykład zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb wymiernych są przeliczalnie nieskończone, a zatem są zbiorami zerowymi, gdy są traktowane jako podzbiory liczb rzeczywistych.

Zbiór Cantora jest przykładem nieprzeliczalnego zbioru zerowego. ^{[ potrzebne dalsze wyjaśnienia ]}

Definicja

Załóżmy, $R$ jest podzbiorem linii rzeczywistej takim, że $\ displaystyle \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle \ forall \ varepsilon > 0, \ \ istnieje \ lewo \ {U_ {n} \ prawo \} _ {n}: U_ {n} = (a_ {n}, b_ {n}) \ podzbiór \ mathbb {R} :\quad A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }U_{n}\ {\textrm {i}}\ \sum _{n=1}^{\infty }\left |U_{n}\right|<\varepsilon \,,}

gdzie $U n$ to przedziały i $| U |$ jest długością $U$ , to $A$ jest zbiorem pustym, znanym również jako zbiór o zerowej zawartości.

W terminologii analizy matematycznej definicja ta wymaga $,$ aby istniał ciąg otwartych pokryw A , dla którego granica długości pokryw wynosi zero.

Nieruchomości

Pusty zbiór jest zawsze zbiorem pustym. Mówiąc bardziej ogólnie, każda policzalna suma zbiorów zerowych jest równa zeru. Każdy podzbiór zbioru zerowego sam jest zbiorem zerowym. Wszystkie te fakty pokazują, że m -null ^{[ dalsze wyjaśnienie ]} wymagane zbiory X tworzą sigma-ideał na X. Podobnie, mierzalne zbiory m -null tworzą sigma-ideał sigma-algebry zbiorów mierzalnych. Zatem zbiory zerowe można interpretować jako zbiory nieistotne , definiując pojęcie prawie wszędzie .

Miara Lebesgue'a

Miara Lebesgue'a to standardowy sposób przypisywania długości , powierzchni lub objętości podzbiorom przestrzeni euklidesowej .

Podzbiór N z ma zerową miarę Lebesgue'a i jest uważany za zbiór zerowy w wtedy i tylko wtedy, gdy: ${$ $displaystyle \ mathbb {R}}$

n} jest pod

a

dowolną liczbę dodatnią ε , istnieje sekwencja przedziałów w takiej, że N zawarte w związku

{ja całkowita długość

, związku jest mniejsza niż ε .

$,$ ten można uogólnić na używając n - kostek zamiast przedziałów W rzeczywistości ten pomysł może mieć sens na dowolnej rozmaitości , nawet jeśli nie ma tam miary Lebesgue'a.

Na przykład:

W odniesieniu do $wszystkie$ zestawy singletonów są zerowe, a zatem wszystkie policzalne zestawy zerowe. $.$ szczególności zbiór Q liczb wymiernych jest zbiorem zerowym, mimo że jest gęsty w
Standardowa konstrukcja zbioru Cantora jest przykładem niepoliczalnego zbioru zerowego w ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ; możliwe są jednak inne konstrukcje, które przypisują Cantorowi jakąkolwiek miarę.
Wszystkie podzbiory , których wymiar jest mniejszy niż n $,$ mają zerową miarę Lebesgue'a w $mathbb {R} ^ {n}$ . Na przykład linie proste lub okręgi są zbiorami zerowymi w ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ .
Lemat Sarda : zbiór wartości krytycznych funkcji gładkiej ma miarę zero.

Jeśli λ jest miarą Lebesgue'a dla $π$ $\lambda \times \lambda =\pi }$ miarą Lebesgue'a dla $λ$ to miara iloczynu jest ${\$ . Jeśli chodzi o zbiory zerowe, następującą równoważność nazwano twierdzeniem Fubiniego :

ZA ${\ Displaystyle A \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {2}}$ i $\ Displaystyle A_ {x} = \ {y: ( x,y)\w A\},}$ ${\ Displaystyle \ pi (A) = 0 \ iff \ lambda \ lewo (\ lewo \ {x: \ lambda \ lewo ( A_{x}\prawo)>0\prawo\}\prawo)=0.}$

Używa

Zbiory zerowe odgrywają kluczową rolę w definicji całki Lebesgue'a : jeśli funkcje $f$ i $g$ są równe, z wyjątkiem zbioru zerowego, to $f$ jest całkowalne wtedy i tylko wtedy, gdy $g$ jest , a ich całki są równe. To uzasadnia formalną definicję przestrzeni $L p$ jako zbiorów klas równoważności funkcji, które różnią się tylko na zbiorach zerowych.

Miara, w której wszystkie podzbiory zbiorów zerowych są mierzalne, jest zupełna . Dowolną niekompletną miarę można uzupełnić, tworząc miarę kompletną, twierdząc, że podzbiory zbiorów zerowych mają miarę zero. Miara Lebesgue'a jest przykładem miary pełnej; w niektórych konstrukcjach definiuje się to jako uzupełnienie niepełnej miary borelowskiej .

Podzbiór zbioru Cantora, który nie jest mierzalny borelowsko

Miara Borela nie jest kompletna. Jedną prostą konstrukcją jest rozpoczęcie od standardowego zbioru Cantora $K$ , który jest domknięty, a więc borelowski mierzalny i który ma miarę zero, i znalezienie podzbioru $F$ z $K$ , który nie jest mierzalny borelowski. (Ponieważ miara Lebesgue'a jest zupełna, to $F$ jest oczywiście mierzalne Lebesgue'a).

Po pierwsze, musimy wiedzieć, że każdy zbiór miar dodatnich zawiera podzbiór niemierzalny. Niech $f$ będzie funkcją Cantora , funkcją ciągłą, która jest lokalnie stała na $K c$ i monotonicznie rosnąca na [0, 1], gdzie $f (0) = 0$ i $f (1) = 1$ . Oczywiście, $f (Kc zawiera)$ $Kc jest policzalne, ponieważ$ jeden punkt na składową . Stąd $f (K c)$ ma miarę zero, więc $f (K)$ ma miarę jeden. Potrzebujemy ściśle monotonicznej funkcji , więc rozważmy $g (x) = f (x) + x$ . Ponieważ $g (x)$ jest ściśle monotoniczne i ciągłe, jest homeomorfizmem . Ponadto $g (K)$ ma miarę jeden. Niech $E \subset g (K)$ być niemierzalne i niech $F = g -1 (mi)$ . Ponieważ $g$ jest iniekcyjne, mamy to $F \subset K$ , więc $F$ jest zbiorem pustym. Gdyby jednak był mierzalny borelowsko, to $g (F)$ również byłby mierzalny borelowski (tutaj wykorzystujemy fakt, że preobraz zbioru borelowskiego przez funkcję ciągłą jest mierzalny; $g (F) = (g -1) -1 (F)$ jest preobrazem F poprzez funkcję ciągłą $h = g -1$ .) Dlatego $F$ jest zbiorem zerowym, ale nie mierzalnym borelowskim.

Brak wartości null

W separowalnej przestrzeni Banacha $(X, +)$ operacja grupowa przesuwa dowolny podzbiór $A \subset X$ do translacji $A + x$ dla dowolnego $x \in X$ . Gdy istnieje miara prawdopodobieństwa $μ$ na σ-algebrze podzbiorów borelowskich X $,$ taka że dla wszystkich $x$ , $μ (A + x) = 0$ , to $A$ jest Masz zerowy zestaw .

Termin odnosi się do zerowej niezmienniczości miar translacji, łącząc ją z całkowitą niezmienniczością stwierdzoną z miarą Haara .

Niektóre właściwości algebraiczne grup topologicznych zostały powiązane z rozmiarem podzbiorów i zbiorów zerowych Haara. Zbiory zerowe Haar zostały użyte w polskich grupach , aby pokazać, że gdy $A$ nie jest zbiorem skromnym , to $A -1 A$ zawiera otwarte sąsiedztwo elementu tożsamości . Ta właściwość została nazwana na cześć Hugo Steinhausa , ponieważ jest konkluzją twierdzenia Steinhausa .

Zobacz też

Dalsza lektura

Kapiński, Marek; Kopp, Ekkehard (2005). Miara, całka i prawdopodobieństwo . Skoczek. P. 16. ISBN 978-1-85233-781-0 .
Jones, Frank (1993). Integracja Lebesgue'a na przestrzeniach euklidesowych . Jonesa i Bartletta. P. 107. ISBN 978-0-86720-203-8 .
Oxtoby, John C. (1971). Miara i kategoria . Springer-Verlag. P. 3. ISBN 978-0-387-05349-3 .