Element losowy

W teorii prawdopodobieństwa element losowy jest uogólnieniem koncepcji zmiennej losowej na przestrzenie bardziej skomplikowane niż prosta linia rzeczywista . Pojęcie to zostało wprowadzone przez Maurice’a Frécheta ( 1948 ), który stwierdził, że „rozwój teorii prawdopodobieństwa i poszerzenie obszaru jej zastosowań doprowadził do konieczności odejścia od schematów, w których (losowe) wyniki eksperymentów można opisać liczbą lub skończonym zbiorem liczb, po schematy, w których wyniki eksperymentów reprezentują np. wektory , funkcje , procesy, pola , serie , przekształcenia , a także zbiory lub kolekcje zbiorów.”

Współczesne użycie „elementu losowego” często zakłada, że przestrzeń wartości jest topologiczną przestrzenią wektorową , często przestrzenią Banacha lub Hilberta z określoną naturalną algebrą sigma podzbiorów.

Definicja

Niech ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ będzie przestrzenią prawdopodobieństwa i ${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}} )}$ mierzalna przestrzeń . Losowy element o wartościach w E jest funkcją. X : Ω → mi , czyli ${\ displaystyle ({\ mathcal {F}}, {\ mathcal {E}})}$ - mierzalne . Oznacza to , że funkcja X taka, $że$ dowolnego $w$ leży

$.$ elementy losowe o wartościach w $nazywane$ zmiennymi losowymi o wartościach

Uwaga, jeśli $)}}$ ${\ Displaystyle (E, {\ mathcal {E}}) = (\ mathbb {R}, {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R$ $R}}$ , gdzie $liczbami$ rzeczywistymi i jest jej σ-algebraą , to definicja elementu losowego jest klasyczną definicją zmiennej losowej .

Definicja elementu losowego $.$ wartościami w przestrzeni Banacha $jest zwykle$ rozumiana jako wykorzystująca najmniejszą na $B,$ której każdy ograniczony funkcjonał liniowy jest mierzalny . W $prawdopodobieństwa$ definicja powyższej jest taka, że mapa elementem losowym, jeśli $,$ zmienną losową dla każdego ograniczonego funkcjonału liniowego $lub$ równoważnie , słabo mierzalna .

Przykłady elementów losowych

Zmienna losowa

Zmienna losowa jest najprostszym typem elementu losowego. $\ Omega \$ to mapa, która jest mierzalną funkcją ze zbioru możliwych wyników. ${\ displaystyle X \ dwukropek$ do $\ mathbb {$ .

Jako funkcja o wartościach rzeczywistych $opisuje$ pewną wielkość liczbową danego zdarzenia. Np. liczba orłów po określonej liczbie rzutów monetą; wzrosty różnych ludzi.

Kiedy obraz $($ lub zakres) jest skończony lub przeliczalnie nieskończony , zmienna losowa nazywana jest dyskretną zmienną losową, a jej rozkład można opisać za pomocą funkcji masy prawdopodobieństwa która przypisuje prawdopodobieństwo każdej wartości na obrazie. z ${\ displaystyle X}$ . Jeśli obraz jest nieprzeliczalnie nieskończony, wówczas $jest$ ciągłą zmienną losową. W szczególnym przypadku, gdy jest to absolutnie ciągłe , jego rozkład można opisać za pomocą a funkcja gęstości prawdopodobieństwa , która przypisuje prawdopodobieństwa przedziałom; w szczególności każdy indywidualny punkt musi koniecznie mieć prawdopodobieństwo zerowe dla absolutnie ciągłej zmiennej losowej. Nie wszystkie ciągłe zmienne losowe są absolutnie ciągłe, na przykład rozkład mieszaniny . Takich zmiennych losowych nie można opisać gęstością prawdopodobieństwa ani funkcją masy prawdopodobieństwa.

Losowy wektor

Losowy wektor jest wektorem kolumnowym . ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1},..., X_ {n}) ^ {T}}$ (lub jego transpozycja , czyli wektor wierszowy ), którego składowymi są zmienne losowe o wartościach skalarnych w tej samej przestrzeni prawdopodobieństwa $\$ $F}}, P)}$ , gdzie jest przestrzenią próbki , $displaystyle {\ mathcal {F}}}$ jest sigma-algebra ( $miarą$ wszystkich zdarzeń), a jest prawdopodobieństwa (funkcją zwracającą prawdopodobieństwo każdego zdarzenia ).

Wektory losowe są często używane jako podstawowa implementacja różnego rodzaju zagregowanych zmiennych losowych , np. macierzy losowej , drzewa losowego , sekwencji losowej , procesu losowego itp.

Losowa macierz

Macierz losowa jest elementem losowym o wartościach macierzowych . Wiele ważnych właściwości układów fizycznych można przedstawić matematycznie w postaci problemów macierzowych. Na przykład przewodność cieplną sieci można obliczyć z dynamicznej macierzy interakcji cząstka - cząstka w sieci.

Funkcja losowa

Funkcja losowa to rodzaj elementu losowego, w którym wybierany jest pojedynczy wynik z pewnej rodziny funkcji, gdzie rodzina składa się z pewnej klasy wszystkich odwzorowań z domeny na kodomenę . Na przykład klasa może być ograniczona do wszystkich funkcji ciągłych lub do wszystkich funkcji krokowych . Wartości określone przez funkcję losową, oszacowane w różnych punktach tej samej realizacji, na ogół nie byłyby statystycznie niezależne jednak w zależności od modelu wartości wyznaczone w tych samych lub różnych punktach z różnych realizacji można równie dobrze traktować jako niezależne.

Losowy proces

Proces losowy to zbiór zmiennych losowych , reprezentujący ewolucję pewnego systemu wartości losowych w czasie. Jest to probabilistyczny odpowiednik procesu deterministycznego (lub systemu deterministycznego ). Zamiast opisywać proces, który może ewoluować tylko w jeden sposób (jak na przykład w przypadku rozwiązań równania różniczkowego zwyczajnego ), w procesie stochastycznym lub losowym występuje pewna nieokreśloność: nawet jeśli warunek początkowy (lub punkt początkowy ) jest kilka (często nieskończenie wiele) kierunków, w których proces może ewoluować.

W prostym przypadku czasu dyskretnego , w przeciwieństwie do czasu ciągłego , proces stochastyczny obejmuje sekwencję zmiennych losowych i szeregi czasowe powiązane z tymi zmiennymi losowymi (na przykład patrz Łańcuch Markowa , znany również jako łańcuch Markowa w czasie dyskretnym).

Losowe pole

Biorąc pod uwagę $przestrzeń$ i mierzalną przestrzeń , losowe o wartości X losowych o wartości indeksowane przez elementy w przestrzeni topologicznej T . Oznacza to, że losowe pole F jest zbiorem

{\ Displaystyle \ {F_ {t}: t \ w T \}}

gdzie każda $X.$ losową o wartości

Istnieje kilka rodzajów pól losowych, wśród nich pole losowe Markowa (MRF), pole losowe Gibbsa (GRF), warunkowe pole losowe (CRF) i pole losowe Gaussa . MRF wykazuje właściwość Markowa

{\ displaystyle P (X_ {i} = x_ {i} | X_ {j} =x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|\częściowe _{i}),\,}

gdzie jest zbiorem sąsiadów zmiennej losowej X _ja $displaystyle \ częściowe _ {i}}$ \ Innymi słowy, prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość, zależy od pozostałych zmiennych losowych tylko poprzez te, które są jej bezpośrednimi sąsiadami. Prawdopodobieństwo wystąpienia zmiennej losowej w MRF jest określone przez

{\ Displaystyle P (X_ {i} = x_ {i} | \ częściowe _ {i}) = {\ frac {P(\omega)}},}

gdzie Ω' jest tą samą realizacją Ω, z wyjątkiem zmiennej losowej X _i . Trudno jest obliczyć za pomocą tego równania bez odwoływania się do zależności między MRF i GRF zaproponowanej przez Juliana Besaga w 1974 roku.

Losowa miara

Miara losowa to element losowy o wartości miary. Niech $-$ będzie całkowitą, rozdzielną przestrzenią metryczną, a algebrą jej zbiorów Miara borelowska μ na X jest ograniczona, jeśli μ (A) < ∞ dla każdego ograniczonego zbioru borelowskiego A. Niech $displaystyle$ wszystkich ograniczonych miar skończonych na ${\ mathfrak {B}} (X)}$ ${\$ . Pozwalać (Ω, ℱ, P ) będzie przestrzenią prawdopodobieństwa , wówczas miara losowa odwzorowuje tę przestrzeń prawdopodobieństwa na przestrzeń mierzalną ( ${\ displaystyle M_ {X}}$ , ${\ displaystyle {\ mathfrak {B }}(M_{X})}$ ) . Miarę można ogólnie rozłożyć na:

{\ Displaystyle \ mu = \ mu _ {d} + \ mu _ {a} = \ mu _ {d} + \ suma _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},}

Tutaj $jest$ $jest$ bez atomów, podczas gdy czysto atomową

Losowy zestaw

Zbiór losowy to element losowy o ustalonej wartości.

Konkretnym przykładem jest losowy zbiór kompaktowy . Niech ${\ displaystyle (M, d)}$ będzie całkowitą , rozdzielną przestrzenią metryczną . Niech oznacza zbiór $podzbiorów$ $.$ Metryka Hausdorffa jest zdefiniowana przez K. $mathcal {K}}}$ $displaystyle {$

{\ Displaystyle h (K_ {1}, K_ {2}): = \ max \ lewo \ {\ sup _ {a \ w K_ {1}} \ inf _ {b \ w K_ {2}} d (a ,b),\sup _{b\in K_{2}}\inf _{a\in K_{1}}d(a,b)\right\}.}

${\ Displaystyle ({\ mathcal {K}}, h)}$ jest również kompletną, rozdzielną przestrzenią metryczną. Odpowiednie otwarte podzbiory generują $}}) }$ -algebra na , algebra sigma Borela $) {\ Displaystyle {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {$ z ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}$ }

$}$ zbiór zwarty jest mierzalną funkcją z przestrzeni prawdopodobieństwa ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})$ do ${\ Displaystyle ({\ mathcal {K}}, {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {K}}})}$ .

Inaczej mówiąc, losowy zbiór zwarty jest mierzalną funkcją $}$ K. : $Displaystyle K \ dwukropek \ Omega \ do 2 ^ {M}$ prawie na pewno kompaktowy i

{\ Displaystyle \ omega \ mapsto \ inf _ {b \ w K (\ omega)} d (x, b)}

$.$ mierzalną funkcją

Losowe obiekty geometryczne

Należą do nich losowe punkty, losowe figury i losowe kształty.

Literatura

Hoffman-Jorgensen J., Pisier G. (1976) „Ann.Probab.”, t. 4, 587–589.
Mourier E. (1955) Elements aleatoires dans un espace de Banach (Te). Paryż.
Prochorow Yu.V. (1999) Element losowy. Prawdopodobieństwo i statystyka matematyczna. Encyklopedia. Moskwa: „Wielka Encyklopedia Rosyjska”, s. 623.

Linki zewnętrzne

Wpis w Encyklopedii Matematyki Springera