Model kratowy (fizyka)

Trójwymiarowa siatka wypełniona dwiema cząsteczkami A i B, tutaj pokazanymi jako czarno-białe kule. Kraty takie jak ta są używane - na przykład - w teorii rozwiązań Flory'ego – Hugginsa

W fizyce matematycznej model kratowy jest matematycznym modelem systemu fizycznego, który jest zdefiniowany na siatce , w przeciwieństwie do kontinuum , takiego jak kontinuum przestrzeni lub czasoprzestrzeni . Modele kratowe pierwotnie występowały w kontekście fizyki materii skondensowanej , gdzie atomy kryształu automatycznie tworzą sieć. Obecnie modele kratowe są dość popularne w fizyce teoretycznej , Z wielu powodów. Niektóre modele są dokładnie rozwiązywalne , a zatem oferują wgląd w fizykę wykraczający poza to , czego można się nauczyć z teorii zaburzeń . Modele kratowe są również idealne do badań metodami fizyki obliczeniowej , ponieważ dyskretyzacja dowolnego modelu kontinuum automatycznie przekształca go w model kratowy. Dokładne rozwiązanie wielu z tych modeli (jeśli są one rozwiązywalne) obejmuje obecność solitonów . Techniki rozwiązywania tych problemów obejmują odwrotną transformację rozpraszania i metodę par Laxa , tzw Równanie Yanga-Baxtera i grupy kwantowe . Rozwiązanie tych modeli dało wgląd w naturę przejść fazowych , namagnesowanie i zachowanie skalowania , a także wgląd w naturę kwantowej teorii pola . Fizyczne modele kratowe często występują jako przybliżenie teorii kontinuum, albo w celu nadania teorii odcięcia ultrafioletowego , aby zapobiec rozbieżnościom, albo w celu wykonania obliczeń numerycznych . Przykładem teorii continuum, która jest szeroko badana przez modele kratowe, jest Model kratowy QCD , dyskretyzacja chromodynamiki kwantowej . Jednak fizyka cyfrowa uważa naturę za zasadniczo dyskretną w skali Plancka, która narzuca górną granicę gęstości informacji , czyli zasadę holograficzną . Mówiąc bardziej ogólnie, dziedzinami badań są teoria cechowania sieci i teoria pola sieci . Modele kratowe są również wykorzystywane do symulacji struktury i dynamiki polimerów.

Opis matematyczny

Szereg modeli kratowych można opisać następującymi danymi:

Krata , często uważana ${$ kratę w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej ${\ Displaystyle$ $\ mathbb {R} ^ {d}}$ lub \ $d}$ -wymiarowy torus, jeśli krata jest okresowa. Konkretnie, często jest $sześcienna$ sieć . Jeśli dwa punkty na siatce są uważane za „najbliższych sąsiadów”, to można je połączyć krawędzią, zamieniając kratę w wykres kratowy . Wierzchołki $.$ nazywane witrynami
Przestrzeń o zmiennej spinowej ${\ displaystyle S}$ . Przestrzeń konfiguracyjna możliwych stanów systemu jest zatem przestrzenią funkcji $S}$ $\ Lambda \$ . W przypadku niektórych $zamiast$ tego możemy rozważyć przestrzeń funkcji $gdzie$ jest wykresu zdefiniowanego
Mi $\ mathcal {C}} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ który może zależeć od zestawu dodatkowych parametrów lub „stałych sprzężenia” ${\ Displaystyle \{g_{i}\}}$ .

Przykłady

Model Isinga jest $jest$ $mathbb {R} ^ {d}}$ wykresem sieci sześciennej nieskończoną w $\$ $Displaystyle$ lub kropka $Displaystyle$ krata w $T ^ {d}}$ i mi {\ displaystyle $}$ jest zbiorem krawędzi najbliższych sąsiadów (ta sama litera jest używana dla funkcjonału energii, ale różne zastosowania można rozróżnić na podstawie kontekstu). Przestrzeń zmiennej spinowej to ${\ Displaystyle S = \ {+ 1, -1 \} = \ mathbb {Z} _ {2}}$ . Funkcjonał energetyczny to

{\ Displaystyle E (\ sigma) = - H \ suma _ {v \ w \ Lambda} \ sigma (v) -J \ suma _ {\ {v_ {1}, v_ {2} \} \ w E} \ sigma (v_{1})\sigma (v_{2}).}

Przestrzeń zmienną spinową często można opisać jako coset . Na przykład dla modelu Pottsa mamy ${\ Displaystyle S = \ mathbb {Z} _ {n}}$ . $}$ granicy otrzymujemy model XY, który ma $\ Displaystyle S = SO (2$ . Uogólnienie modelu XY na wyższe wymiary daje $,$ który ma ${\ Displaystyle S = S ^ {n} = SO (n + 1) / SO (n)}$ .

Modele rozwiązywalne

Specjalizujemy się w sieci ze skończoną liczbą punktów i skończoną przestrzenią zmienną spinową. Można $to osiągnąć$ $,$ czyniąc siatkę okresową, z w . $jest$ przestrzeń konfiguracyjna również skończona. Możemy zdefiniować funkcję podziału

{\ Displaystyle Z = \ suma _ {\ sigma \ in {\ mathcal {C}}} \ exp (- \ beta E (\ sigma))}

i nie ma problemów zbieżności (jak te, które pojawiają się w teorii pola), ponieważ suma jest skończona. Teoretycznie sumę tę można $}$ aby uzyskać wyrażenie zależne tylko od parametrów β $beta$ . W praktyce jest to często trudne ze względu na nieliniowe interakcje między lokalizacjami. Modele z wyrażeniem w postaci zamkniętej dla funkcji podziału są znane jako dokładnie rozwiązywalne .

$\ displaystyle$ modeli są okresowy model 1D Isinga i okresowy model 2D Isinga ze zanikającym zewnętrznym polem magnetycznym, dla wymiaru , $H = 0,$ } Model Isinga pozostaje nierozwiązany.

Średnia teoria pola

Ze względu na trudność wyprowadzenia dokładnych rozwiązań, w celu uzyskania wyników analitycznych często musimy uciekać się do teorii pola średniego . To średnie pole może być przestrzennie zmienne lub globalne.

Globalne pole średniej

Przestrzeń konfiguracyjna $}$ zostaje zastąpiona przez wypukłą powłokę $przestrzeni$ spinowej $gdy$ ma S $S$ realizacja w kategoriach podzbioru ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ . Oznaczymy to przez ${\ Displaystyle \ langle {\ mathcal {C}} \ rangle}$ . Wynika to z tego, że przechodząc do średniej wartości pola, mamy ${\ Displaystyle \ sigma \ mapsto \ langle \ sigma \ rangle: = {\ Frac {1} {| \ Lambda |}} \ suma _ {v \ in \ Lambda} \ sigma (v )}$ .

Jako liczba miejsc sieciowych ${\ Displaystyle N = |\ Lambda |\ rightarrow \ infty}$ , możliwe wartości ${\ Displaystyle \ langle \ sigma \ rangle}$ wypełniają wypukły kadłub ${\ displaystyle S}$ . Dokonując odpowiedniego przybliżenia, funkcjonał energii staje się funkcją średniego pola, czyli ${\ Displaystyle E (\ sigma) \ mapsto E (\ langle \ sigma \ rangle).}$ Funkcja podziału staje się wtedy

{\ Displaystyle Z = \ int _ {\ langle {\ mathcal {C}} \ rangle} d \ langle \ sigma \ rangle e ^ {- \ beta E (\ langle \ sigma \ rangle)} \ Omega (\ langle \ sigma \rangle )=:\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle )}.}

Ponieważ $,$ czyli w granicy termodynamicznej przybliżenie punktu siodłowego mówi nam, że jest asymptotycznie zdominowana przez wartość, przy której $\ Displaystyle f (\ \ displaystyle f (\ langle \sigma \rangle )}$ jest zminimalizowane:

{\ Displaystyle Z \ sim e ^ {- N \ beta f (\ langle \ sigma \ rangle _ {0})}}

gdzie jest argumentem minimalizującym $Displaystyle$ $\ langle \ sigma \ rangle _ {0}}$ .

Prostsze, ale mniej rygorystyczne matematycznie podejście, które mimo wszystko czasami daje poprawne wyniki, pochodzi z linearyzacji teorii średniego pola ${\ displaystyle \ langle \ sigma \ rangle}$ . Zapisywanie konfiguracji jako ${\ Displaystyle \ sigma (v) = \ langle \ sigma \ rangle + \ Delta \ sigma (v)}$ , obcinając warunki ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (\ Delta \ sigma ^ {2})}$ następnie sumowanie konfiguracji umożliwia obliczenie funkcji podziału.

Takie podejście do okresowego modelu Isinga w $zapewnia$ wgląd w przejścia fazowe .

Przestrzennie zmienne pole średnie

Załóżmy, że granica kontinuum sieci to $\ mathbb {R} ^ {d}$ ${\ displaystyle$ . Zamiast uśredniać dla wszystkich $}$ uśredniamy dla sąsiedztwa . ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {d$ } Daje to zmienne przestrzennie średnie pole ${\ Displaystyle \ langle \ sigma \ rangle: \ mathbb {R} ^ {d} \ rightarrow \ langle {\ mathcal {C}} \ rangle}$ . Zmieniamy $,$ aby przybliżyć notację $pola$ Pozwala to na zapisanie funkcji podziału jako całki po ścieżce