Klasyczny model Heisenberga

Klasyczny model Heisenberga , opracowany przez Wernera Heisenberga , jest przypadkiem modelu $,$ -wektorowego jednego z modeli używanych w fizyce statystycznej ferromagnetyzmu i innych zjawisk.

Definicja

Można to sformułować w następujący sposób: weź siatkę d-wymiarową i zbiór spinów o jednostkowej długości

{\ Displaystyle {\ vec {s}} _ {i} \ w \ mathbb {R} ^ {3}, | {\ vec {s}} _ {i} | = 1 \ quad (1 )}

,

każdy umieszczony na węźle kraty.

Model jest zdefiniowany przez następujący hamiltonian :

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} = - \ suma _ {i, j} {\ mathcal {J}} _ {

z

{\ Displaystyle {\ mathcal {J}} _ {ij} = {\ rozpocząć {przypadki} J & {\ mbox {jeśli}} ja, j {\ mbox {są sąsiadami}} \\ 0 & {\ mbox {else.} }\end{przypadki}}}

sprzężenie między spinami.

Ogólny formalizm matematyczny użyty do opisu i rozwiązania modelu Heisenberga oraz pewne uogólnienia rozwinięto w artykule dotyczącym modelu Pottsa .
W granicy kontinuum model Heisenberga (2) daje następujące równanie ruchu

{\ Displaystyle {\ vec {S}} _ {t} = {\ vec {S}} \ klin {\ vec {S}} _ {xx}.} To równanie nazywa się ciągłym klasycznym równaniem ferromagnesu Heisenberga lub w skrócie

Heisenbergiem model i jest całkowalny w sensie teorii solitonów. Dopuszcza kilka całkowalnych i niecałkowalnych uogólnień, takich jak równanie Landaua-Lifshitza , równanie Ishimoriego i tak dalej.

W przypadku oddziaływania dalekiego zasięgu ${\ Displaystyle J_ {x, y} \ sim | xy | ^ {- \ alfa}}$ , granica termodynamiczna jest dobrze zdefiniowana, jeśli ${\ Displaystyle \ alpha > 1}$ ; namagnesowanie pozostaje zerowe, jeśli ${\ Displaystyle \ alpha \ geq 2}$ ; $)$ namagnesowanie jest dodatnie, w wystarczająco niskiej temperaturze, podczerwieni
modelu n-wektorowym „najbliższego sąsiada” ze swobodnymi warunkami brzegowymi, jeśli pole zewnętrzne wynosi zero, istnieje proste dokładne rozwiązanie.

W przypadku oddziaływania dalekiego zasięgu ${\ Displaystyle J_ {x, y} \ sim | xy | ^ {- \ alfa}}$ , granica termodynamiczna jest dobrze zdefiniowana, jeśli ${\ Displaystyle \ alpha > 2}$ ; namagnesowanie pozostaje zerowe, jeśli ${\ Displaystyle \ alpha \ geq 4}$ ; ale namagnesowanie jest dodatnie w wystarczająco niskiej temperaturze $podczerwieni$ granice
Polyakov przypuszczał, że w przeciwieństwie do klasycznego modelu XY , nie ma fazy dipolowej dla żadnego ${\ displaystyle T> 0}$ ; tj. w niezerowej temperaturze korelacje gromadzą się wykładniczo szybko.