Kwantowy model Heisenberga

Kwantowy model Heisenberga , opracowany przez Wernera Heisenberga , jest statystycznym modelem mechanicznym stosowanym w badaniu punktów krytycznych i przejść fazowych układów magnetycznych, w którym spiny układów magnetycznych są traktowane mechanicznie kwantowo . Jest to powiązane z prototypowym modelem Isinga , w którym w każdym miejscu sieci spin ma spin ${\ displaystyle \ sigma _ {i} \ in \ {\ pm 1 \}}$ reprezentuje mikroskopijny dipol magnetyczny, którego moment magnetyczny jest albo w górę, albo w dół. Oprócz sprzężenia między magnetycznymi momentami dipolowymi istnieje również wielobiegunowa wersja modelu Heisenberga zwana interakcją wymiany wielobiegunowej .

Przegląd

Ze względów mechaniki kwantowej (patrz interakcja wymiany lub magnetyzm § Kwantowo-mechaniczne pochodzenie magnetyzmu ), dominujące sprzężenie między dwoma dipolami może powodować, że najbliżsi sąsiedzi będą mieli najniższą energię, gdy są wyrównani . Przy tym założeniu (tak, że oddziaływania magnetyczne zachodzą tylko pomiędzy sąsiednimi dipolami) i na 1-wymiarowej siatce okresowej, hamiltonian można zapisać w postaci

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = - J \ suma _ {j = 1} ^ {N} \sigma _{j}\sigma _{j+1}-h\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}}$ ,

gdzie $sprzężenia,$ stałą a dipole są reprezentowane przez klasyczne wektory (lub „spiny”) σ $+1 }=\sigma _{1}}$ ₁ { { . Model Heisenberga jest modelem bardziej realistycznym, ponieważ traktuje spiny kwantowo-mechanicznie, zastępując spin operatorem kwantowym działającym na iloczyn tensora ${\ Displaystyle (\ mathbb {C} ^ {2}) ^ {\ otimes N}}$ , o wymiarze ${\ displaystyle 2 ^ {N}}$ . Aby to zdefiniować, przypomnijmy sobie macierze Pauliego o spinie 1/2

${\ Displaystyle \ sigma ^ {x} = {\ początek {pmatrix} 0 i 1 \\ 1 i 0 \ koniec {pmatrix}}} , σ y = ( -$ ja

${ y} = {\ początek {pmatrix} 0&-i \\ i&0 \ koniec {pmatrix}}}$ ,

${\ Displaystyle \ sigma ^ {z} = {\ początek {pmatrix} 1 i 0 \\ 0&-1\end{pmatrix}}}$ ,

i dla $\ równoważnik j \ równoważnik N}$$} ^ {a} = ja ^ {\ otimes j-1} \ otimes \ sigma ^ {a} \ otimes ja ^ {\ otimes Nj}}$ za $, y, z \}}$ \ { , gdzie $jest$ macierzą $_$ _ Mając do wyboru stałe sprzężenia o wartościach rzeczywistych, hamiltonian jest określony wzorem: ${\ displaystyle J_ {x}, J_ {$$,$ }

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = - {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {j = 1} ^ {N} (J_ {x} \ sigma _ {j} ^ {x} \ sigma _{j+1}^{x}+J_{y}\sigma _{j}^{y}\sigma _{j+1}^{y}+J_{z}\sigma _{j}^ {z}\sigma _{j+1}^{z}+h\sigma _{j}^{z})}$

gdzie po $wskazuje$ zewnętrzne pole magnetyczne z okresowymi warunkami brzegowymi . Celem jest wyznaczenie widma hamiltonianu, z którego można obliczyć funkcję podziału i zbadać termodynamikę układu.

Często nazywa się model w zależności od wartości: $}$$\ displaystyle J_ {x}}$ , jot { $J_ {y}$ : jeśli ${\ displaystyle J_ {x} \ neq J_ {y} \ neq J_ {z}}$ , model nazywa się modelem Heisenberga XYZ; w przypadku ${\ Displaystyle J = J_ {x} = J_ {y} \ neq J_ {z} = \ Delta}$ , jest to model Heisenberga XXZ ; jeśli $_$ _ Model Heisenberga o spinie 1/2 w jednym wymiarze można rozwiązać dokładnie za pomocą ansatza Bethego . W ujęciu algebraicznym są one powiązane z konkretnymi kwantowymi algebrami afinicznymi i eliptycznymi grupami kwantowymi odpowiednio w przypadkach XXZ i XYZ. Inne podejścia robią to bez Bethe ansatz.

Modelka XXX

$Heisenberga$ XXX silnie zależy od znaku stałej sprzężenia wymiaru przestrzeni. Dla dodatniego $zawsze$ podstawowy jest ferromagnetyczny . Przy ujemnym $w$ podstawowy jest antyferromagnetyczny dwóch i trzech wymiarach. W jednym wymiarze charakter korelacji w antyferromagnetycznym modelu Heisenberga zależy od spinu dipoli magnetycznych. Jeśli spin jest liczbą całkowitą, to tylko porządek krótkiego zasięgu jest obecny. Układ spinów półcałkowitych wykazuje porządek quasi-długiego zasięgu.

Uproszczoną wersją modelu Heisenberga jest jednowymiarowy model Isinga, w którym poprzeczne pole magnetyczne przebiega w kierunku x , a oddziaływanie zachodzi tylko w kierunku z :

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = - J \ suma _ {j = 1} ^{N}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}-gJ\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{x} }$ .

Przy małym g i dużym g degeneracja stanu podstawowego jest inna, co oznacza, że ​​pomiędzy nimi musi zachodzić kwantowe przejście fazowe. Można to rozwiązać dokładnie dla punktu krytycznego za pomocą analizy dualności. Przejście dualności macierzy Pauliego wynosi ${\textstyle \sigma _{i}^{z}=\prod _{j\równoważnik i}S_{j}^{x} }$ i ${\ Displaystyle \ sigma _ {i} ^ {x} = S_ {i} ^ {z} S_ {i + 1} ^ {z}} , gdzie i S x {\$ Displaystyle S $}$$są$ zgodne z algebrą macierzy Pauliego. W okresowych warunkach brzegowych można wykazać, że przekształcony hamiltonian ma bardzo podobną postać:

${\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} = -gJ \ suma _ {j = 1} ^{N}S_{j}^{z}S_{j+1}^{z}-J\suma _{j=1}^{N}S_{j}^{x}}$

ale dla terminu interakcji $. Zakładając$ dołączonego do terminu interakcji spinowej $,$ jeden punkt krytyczny, możemy stwierdzić że przejście fazowe następuje w

Aplikacje

• Kolejnym ważnym obiektem jest entropia splątania . Jednym ze sposobów opisania tego jest podzielenie unikalnego stanu podstawowego na blok (kilka kolejnych spinów) i środowisko (reszta stanu podstawowego). Entropię bloku można uznać za entropię splątania. W temperaturze zerowej w obszarze krytycznym (granica termodynamiczna) skaluje się logarytmicznie wraz z rozmiarem bloku. Wraz ze wzrostem temperatury zależność logarytmiczna zmienia się w funkcję liniową. Dla dużych temperatur zależność liniowa wynika z drugiej zasady termodynamiki .

• Model Heisenberga stanowi ważny i praktyczny przykład teoretyczny zastosowania renormalizacji macierzy gęstości .

• Model sześciu wierzchołków można rozwiązać za pomocą algebraicznego ansatzu Bethego dla łańcucha spinowego Heisenberga (patrz Baxter, „Exactly Solved Models in Statistical Mechanics”).

• Częściowo wypełniony model Hubbarda w granicy silnych oddziaływań odpychających można odwzorować na model Heisenberga, w $którym$ siłę superwymiany .

Zobacz też

• Klasyczny model Heisenberga
• DMRG modelu Heisenberga
• Model wirnika kwantowego
• model tJ
• Model J1 J2
• Model Majumdara-Ghosha
• Model AKLT
• Interakcja wymiany wielobiegunowej

• RJ Baxter, Dokładnie rozwiązane modele w mechanice statystycznej , Londyn, Academic Press, 1982
•   Heisenberg, W. (1 września 1928). „Zur Theorie des Ferromagnetismus” [O teorii ferromagnetyzmu]. Zeitschrift für Physik (w języku niemieckim). 49 (9): 619–636. Kod Biblioteki : 1928ZPhy...49..619H . doi : 10.1007/BF01328601 . S2CID 122524239 .
•   Bethe, H. (1 marca 1931). „Zur Theorie der Metalle” [O teorii metali]. Zeitschrift für Physik (w języku niemieckim). 71 (3): 205–226. Kod Bib : 1931ZPhy...71..205B . doi : 10.1007/BF01341708 . S2CID 124225487 .