Ansatz Bethe

W fizyce ansatz Bethe jest metodą ansatz służącą do znajdowania dokładnych funkcji falowych pewnych jednowymiarowych kwantowych modeli wielociałowych. Został wynaleziony przez Hansa Bethe w 1931 roku w celu znalezienia dokładnych wartości własnych i wektorów własnych jednowymiarowego antyferromagnetycznego modelu Heisenberga hamiltonianu . Od tego czasu metoda została rozszerzona na inne modele w jednym wymiarze: (anizotropowy) łańcuch Heisenberga (model XXZ), oddziałujący Lieb-Liniger gaz Bose , model Hubbarda , model Kondo , model zanieczyszczeń Andersona , model Richardsona itp. .

Dyskusja

W ramach mechaniki kwantowej wielu ciał modele, które można rozwiązać za pomocą ansatz Bethe, można przeciwstawić modelom swobodnych fermionów. Można powiedzieć, że dynamika swobodnego modelu jest redukowalna w jednym ciele: funkcja falowa wielu ciał dla fermionów ( bozonów ) jest antysymetrycznym (symetrycznym) iloczynem funkcji falowych jednego ciała. Modele, które można rozwiązać za pomocą ansatz Bethe, nie są wolne: sektor dwóch ciał ma nietrywialną macierz rozpraszania , która generalnie zależy od pędu.

Z drugiej strony dynamika modeli, które można rozwiązać za pomocą ansatz Bethe, jest redukowalna do dwóch ciał: macierz rozpraszania wielu ciał jest iloczynem macierzy rozpraszania dwóch ciał. Zderzenia wielu ciał występują jako sekwencja zderzeń dwóch ciał, a funkcję falową wielu ciał można przedstawić w postaci zawierającej tylko elementy z funkcji falowych dwóch ciał. Macierz rozpraszania wielu ciał jest równa iloczynowi macierzy rozpraszania parami.

Ogólna forma ansatz Bethe dla funkcji falowej wielu ciał to

{\ Displaystyle \ Psi _ {M} (j_ {1}, \ cdots ,j_{M})=\prod _{M\geq a>b\geq 1}{\text{sgn}}(j_{a}-j_{b})\sum _{P\in P_{M} }(-1)^{[P]}e^{i\suma _{a=1}^{M}k_{P_{a}}j_{a}+{\frac {i}{2}}\ suma _{M\geq a>b\geq 1}\mathrm {sgn} (j_{a}-j_{b})\phi (k_{P_{a}},k_{P_{b}})}}

gdzie ${\ Displaystyle M}$ to liczba cząstek, ${\ Displaystyle j_ {a}, a = 1, \ cdots M}$ ich położenie, ${\ Displaystyle P_ {M} }}$ jest zbiorem wszystkich permutacji liczb całkowitych ${\ Displaystyle 1, \ cdots, M}$ , ${\ Displaystyle k_ {a}}$ jest (quasi-) pędem za ${\$ $-ta cząstka$ jest $.$ przesunięcia rozpraszania i funkcją znaku Ta forma jest uniwersalna (przynajmniej dla systemów niezagnieżdżonych), a funkcje pędu i rozpraszania są zależne od modelu.

Yanga -Baxtera gwarantuje spójność konstrukcji. Zasada wykluczenia Pauliego obowiązuje dla modeli rozwiązywalnych przez ansatz Bethe'go, nawet dla modeli oddziałujących bozonów .

Stan podstawowy to sfera Fermiego . Okresowe warunki brzegowe prowadzą do równań Bethe ansatz. W postaci logarytmicznej równania Bethe ansatz mogą być generowane przez działanie Yang . Kwadrat normy funkcji falowej Bethe jest równy wyznacznikowi macierzy drugich pochodnych działania Yanga. Ostatnio ^{[ kiedy? ]} rozwinięty algebraiczny Bethe ansatz doprowadził do istotnego postępu, stwierdzając ^{[ kto? ]} to

Kwantowa metoda odwrotnego rozpraszania … dobrze rozwinięta metoda… pozwoliła na rozwiązanie szerokiej klasy nieliniowych równań ewolucji. Wyjaśnia algebraiczną naturę ansatz Bethe.

Dokładne rozwiązania tzw. modelu sd (przez PB Wiegmanna w 1980 r. i niezależnie przez N. Andrei, także w 1980 r.) oba są również oparte na ansatz Bethe. Istnieją wielokanałowe uogólnienia tych dwóch modeli, które również nadają się do dokładnych rozwiązań (N. Andrei i C. Destri oraz CJ Bolech i N. Andrei). Ostatnio kilka modeli rozwiązywalnych przez Bethe ansatz zostało zrealizowanych eksperymentalnie w stanach stałych i sieciach optycznych. Ważną rolę w teoretycznym opisie tych eksperymentów odegrali Jean-Sébastien Caux i Alexei Tsvelik. ^{[ potrzebne źródło ]}

Przykład: łańcuch antyferromagnetyczny Heisenberga

Łańcuch antyferromagnetyczny Heisenberga jest zdefiniowany przez hamiltonian (zakładając okresowe warunki brzegowe)

{\ Displaystyle H = J \ suma _ {j = 1} ^ {N} \ mathbf {S} _ {j} \ cdot \ mathbf {S} _ {j + 1}, \ qquad \ mathbf {S} _ { j+N}\równoważnik \mathbf {S} _{j}.}

Ten model można rozwiązać za pomocą ansatz Bethe. Funkcja przesunięcia fazowego rozpraszania to ${\ Displaystyle \ phi (k_ {a} (\ lambda _ {a}) ,k_{b}(\lambda _{b}))=\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})} ,$ gdzie ${\ Displaystyle \ theta _ {n} (\ lambda) \ równoważnik 2 \ arctan {\ Frac {2 \ lambda} {n}}}, w którym$ pęd został dogodnie przeparametryzowany jako ${\ Displaystyle k (\ lambda) = \ pi -2 \ arctan 2 \ lambda}$ pod względem szybkości λ $\ Displaystyle \ lambda}$ . (tutaj okresowe) warunki brzegowe narzucają równania Bethe'go

\ prawej] ^ {N} = \ prod _ {b \ neq a}^{M}{\frac {\lambda _{a}-\lambda _{b}+i}{\lambda _{a}-\lambda _{b}-i}},\qquad a= 1,...,M}

lub wygodniej w postaci logarytmicznej

\ Displaystyle \ theta _ {1} (\ lambda _ {a}) - {\ Frac {1}{N}}\sum _{b=1}^{M}\theta _{2}(\lambda _{a}-\lambda _{b})=2\pi {\frac {I_{ jakiś}}}

gdzie liczby kwantowe $są różnymi$ $liczbami$ całkowitymi pół nieparzystymi dla ${j}}$ liczbami całkowitymi dla $($ $}$ czym zdefiniowany mod ${\ Displaystyle (N)}$ ).

Chronologia

1928: Werner Heisenberg publikuje swój model.
1930: Felix Bloch proponuje nadmiernie uproszczony ansatz, który błędnie liczy liczbę rozwiązań równania Schrödingera dla łańcucha Heisenberga.
1931: Hans Bethe proponuje poprawny ansatz i ostrożnie pokazuje, że daje on prawidłową liczbę funkcji własnych.
1938: Lamek Hulthén [ de ] uzyskuje dokładną energię stanu podstawowego modelu Heisenberga.
1958: Raymond Lee Orbach używa ansatz Bethe do rozwiązania modelu Heisenberga z interakcjami anizotropowymi.
1962: J. des Cloizeaux i JJ Pearson uzyskują prawidłowe widmo antyferromagnesu Heisenberga (zależność dyspersji spinonu), pokazując, że różni się ono od przewidywań teorii fali spinowej Andersona (stała prefaktor jest inna).
1963: Elliott H. Lieb i Werner Liniger dostarczają dokładne rozwiązanie gazu Bosego oddziałującego z funkcją 1d δ (obecnie znany jako model Lieb-Linigera ). Lieb bada widmo i definiuje dwa podstawowe rodzaje wzbudzeń.
1964: Robert B. Griffiths uzyskuje krzywą magnetyzacji modelu Heisenberga w temperaturze zerowej.
1966: CN Yang i CP Yang rygorystycznie dowodzą, że stan podstawowy łańcucha Heisenberga jest określony przez ansatz Bethe. Badają właściwości i zastosowania w i.
1967: CN Yang uogólnia rozwiązanie Lieba i Linigera dotyczące gazu Bosego oddziałującego z funkcją δ na symetrię dowolnej permutacji funkcji falowej, dając początek zagnieżdżonemu ansatz Bethe.
1968: Elliott H. Lieb i FY Wu rozwiązują model 1d Hubbarda.
1969: CN Yang i CP Yang uzyskują termodynamikę modelu Lieb-Linigera, stanowiąc podstawę termodynamiki Bethe ansatz (TBA).

Linki zewnętrzne

Wprowadzenie do Bethe Ansatz