Teoria pola średniego

W fizyce i teorii prawdopodobieństwa , teoria średniego pola ( MFT ) lub samozgodna teoria pola bada zachowanie wielowymiarowych modeli losowych ( stochastycznych ), badając prostszy model, który przybliża oryginał, uśredniając stopnie swobody (liczba wartości w ostatecznym obliczeniu statystyki , które mogą się zmieniać). Takie modele uwzględniają wiele pojedynczych komponentów, które wchodzą ze sobą w interakcje.

Główną ideą MFT jest zastąpienie wszystkich oddziaływań ^{[ wymagane ujednoznacznienie ]} w jednym ciele średnią lub efektywną interakcją, czasami nazywaną polem molekularnym . Redukuje to każdy problem wielociałowy do efektywnego problemu jednociałowego . Łatwość rozwiązywania problemów MFT oznacza, że pewien wgląd w zachowanie systemu można uzyskać przy niższych kosztach obliczeniowych.

Od tego czasu MFT zastosowano w wielu dziedzinach poza fizyką, w tym wnioskach statystycznych , modelach graficznych , neuronauce , sztucznej inteligencji , modelach epidemii , teorii kolejek , wydajności sieci komputerowych i teorii gier , jak w kwantowej równowadze odpowiedzi ^{[ potrzebne źródło ]} .

Pochodzenie

Pomysł pojawił się po raz pierwszy w fizyce ( mechanika statystyczna ) w pracach Pierre'a Curie i Pierre'a Weissa w celu opisania przejść fazowych . MFT był używany w przybliżeniu Bragga – Williamsa , modelach sieci Bethe , teorii Landaua , przybliżeniu Pierre'a – Weissa , teorii rozwiązań Flory'ego – Hugginsa i teorii Scheutjensa – Fleera .

Systemy z wieloma (czasem nieskończonymi) stopniami swobody są na ogół trudne do dokładnego rozwiązania lub obliczenia w zamkniętej, analitycznej formie, z wyjątkiem kilku prostych przypadków (np. niektóre teorie pola losowego Gaussa , model 1D Isinga ). Często pojawiają się problemy kombinatoryczne, które utrudniają obliczanie funkcji podziału systemu. MFT to metoda aproksymacji, która często sprawia, że oryginał jest rozwiązywalny i otwarty na obliczenia, aw niektórych przypadkach MFT może dawać bardzo dokładne przybliżenia.

W teorii pola hamiltonian można rozszerzyć pod względem wielkości fluktuacji wokół średniej pola. W tym kontekście MFT można postrzegać jako ekspansję hamiltonianu fluktuacji „zerowego rzędu”. Fizycznie oznacza to, że system MFT nie ma fluktuacji, ale zbiega się to z ideą, że wszystkie interakcje zastępuje się „polem średnim”.

Dość często MFT zapewnia wygodny punkt startowy do badania fluktuacji wyższego rzędu. Na przykład, podczas obliczania funkcji podziału , studiowanie kombinatoryki warunków interakcji w hamiltonianie może czasami w najlepszym przypadku dać wyniki perturbacji lub diagramy Feynmana , które korygują przybliżenie średniego pola.

Ważność

Ogólnie rzecz biorąc, wymiarowość odgrywa aktywną rolę w określaniu, czy podejście średniego pola będzie działać w przypadku konkretnego problemu. Czasami istnieje krytyczny wymiar, powyżej którego MFT jest ważny, a poniżej którego nie.

Heurystycznie wiele interakcji jest zastępowanych w MFT przez jedną efektywną interakcję. Więc jeśli pole lub cząstka wykazuje wiele przypadkowych interakcji w oryginalnym układzie, mają one tendencję do wzajemnego znoszenia się, więc średnia efektywna interakcja i MFT będą dokładniejsze. Dzieje się tak w przypadku dużej wymiarowości, gdy hamiltonian obejmuje siły o dużym zasięgu lub gdy cząstki są rozciągnięte (np. polimery ). Kryterium Ginzburga jest formalnym wyrazem tego, jak fluktuacje powodują, że MFT jest słabym przybliżeniem, często w zależności od liczby wymiarów przestrzennych w interesującym nas systemie.

Podejście formalne (hamiltonowskie)

Formalną podstawą teorii pola średniego jest nierówność Bogoliubowa . Ta nierówność stwierdza, że energia swobodna układu z hamiltonianem

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ mathcal {H}} _ {0} + \ Delta {\ mathcal {H}}}

ma następującą górną granicę:

\ Displaystyle F \ równoważnik F_ {0} \ {\ stackrel {\ operatorname {def}}} {=}} \ \ langle {\ mathcal {H}} \ zakres _{0}-TS_{0},}

gdzie $jest$ entropią , $.$ i $_$ wolnymi energiami Helmholtza _ Średnia jest przejmowana przez zespół równowagi układu odniesienia z hamiltonianem ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {0}}$ . W szczególnym przypadku, gdy hamiltonianem odniesienia jest układ nieoddziałujący, a zatem można go zapisać jako

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {0} = \ suma _ {i = 1} ^ {N} h_ {i} (\ xi _ { I}),}

gdzie są stopniami swobody poszczególnych składników naszego systemu statystycznego (atomów, spinów itd.), można rozważyć zaostrzenie górnej granicy poprzez zminimalizowanie prawej strony nierówności ξ ja {\ displaystyle \ xi _ { $i$ . Minimalizujący układ odniesienia jest wówczas „najlepszym” przybliżeniem rzeczywistego układu przy użyciu nieskorelowanych stopni swobody i jest znany jako przybliżenie pola średniego .

W najczęstszym przypadku, gdy docelowy hamiltonian zawiera tylko interakcje parami, tj.

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} = \ suma _ {(i, j) \ w {\ mathcal {P} }}V_{i,j}(\xi_{i},\xi_{j}),}

gdzie $zbiorem$ par, które oddziałują na siebie, procedurę minimalizacji można przeprowadzić formalnie. Zdefiniuj jako uogólnioną sumę obserwowalnych stopni swobody ${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {i} f (\ xi _ {i}$ $}$ pojedynczej składowej (suma dla zmiennych dyskretnych, całki dla zmiennych ciągłych). Przybliżona energia swobodna jest podana przez

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} F_ {0} & = \ nazwa operatora {Tr} _ {1,2, \ ldots, N} {\ mathcal {H}} (\ xi _ {1}, \ xi _ { 2},\ldots ,\xi _{N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots,\xi _{N})\\ &+kT\,\nazwa operatora {Tr} _{1,2,\ldots ,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots,\ xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots,\xi _{N}),\end{wyrównane}} }

gdzie ${\ Displaystyle P_ {0} ^ {(N)} (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ kropki, \ xi _ {N})}$ to prawdopodobieństwo znalezienia układu odniesienia w stanie określonym przez zmienne ${\ Displaystyle (\ xi _ {1}, \ xi _ {2} ,\kropki ,\xi _{N})}$ . To prawdopodobieństwo jest podane przez znormalizowane czynnik Boltzmanna

\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P_ {0} ^ {(N)} (\ xi _ {1}, \ xi _ {2},\ldots ,\xi _{N})&={\frac {1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{ 0}(\xi _{1},\xi _{2},\ldots,\xi _{N})}\\&=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1} {Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}(\xi _{i})}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1} ^{N}P_{0}^{(i)}(\xi _{i}),\end{wyrównane}}}

gdzie jest funkcją podziału. Z $\ displaystyle Z_ {0}}$ Zatem

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} F_ {0} & = \ suma _ {(i, j) \ w {\ mathcal {P}}} \ operatorname {Tr} _ {i, j} V_ {i, j }(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j)}(\xi _{j })\\&+kT\suma _{i=1}^{N}\nazwa_operatora {Tr} _{i}P_{0}^{(i)}(\xi _{i})\log P_{ 0}^{(i)}(\xi _{i}).\end{wyrównane}}}

Aby zminimalizować, bierzemy pochodną w odniesieniu do prawdopodobieństw jednego stopnia swobody, $mnożnika$ , aby odpowiednią normalizację Efektem końcowym jest zestaw równań samokonsystencji

{\ Displaystyle P_ {0} ^ {(i)} (\ xi _ {i})={\frac {1}{Z_{0}}}e^{-\beta h_{i}^{MF}(\xi _{i})},\quad i=1,2, \ldots ,N,}

gdzie średnie pole jest podane przez

{\ Displaystyle h_ {i} ^ {\ text {MF}} (\ xi _ {i}) = \ suma _ {\ {j \ mid (i, j) \ w {\ mathcal {P}} \}} \operatorname {Tr} _{j}V_{i,j}(\xi _{i},\xi _{j})P_{0}^{(j)}(\xi _{j}).}

Aplikacje

Teorię pola średniego można zastosować do wielu układów fizycznych, aby badać takie zjawiska, jak przejścia fazowe .

Model Isinga

Wyprowadzenie formalne

Przedstawioną powyżej nierówność Bogoliubowa można wykorzystać do znalezienia dynamiki modelu pola średniego dwuwymiarowej sieci Isinga . Funkcję magnesowania można obliczyć z wypadkowej przybliżonej energii swobodnej . Pierwszym krokiem jest wybranie łatwiejszego przybliżenia prawdziwego hamiltonianu. Używając niewchodzącego w interakcje lub efektywnego hamiltonianu pola,

{\ Displaystyle -m \ suma _ {i} s_ {i}}

,

wariacyjna energia swobodna wynosi

{\ Displaystyle F_ {V} = F_ {0} + \ lewo \ langle \ lewo (-J \ suma s_ {i} s_ {j} -h \ suma s_ {i} \ prawo) - \ lewo (-m \ suma s_{i}\prawa)\prawa\szereg _{0}.}

Dzięki nierówności Bogoliubowa uproszczenie tej wielkości i obliczenie funkcji namagnesowania, która minimalizuje wariacyjną energię swobodną, daje najlepsze przybliżenie rzeczywistego namagnesowania. Minimalizator jest

{\ Displaystyle m = J \ suma \ langle s_ {j} \ rangle _ {0} + h,}

która jest średnią zespołową spinu. To upraszcza do

{\ Displaystyle m = {\ tekst {tanh}} (zJ \ beta m) + h.}

Zrównanie efektywnego pola odczuwanego przez wszystkie spiny ze średnią wartością spinu wiąże podejście wariacyjne z tłumieniem fluktuacji. Fizyczna interpretacja funkcji magnesowania jest wtedy polem wartości średnich dla poszczególnych spinów.

Przybliżenie spinów nieoddziałujących

Rozważ model Isinga $siatce$ -wymiarowej . Hamiltonian jest dany przez

{\ Displaystyle H = -J \ suma _ {\ langle i, j \ rangle} s_ {i} s_ {j} -h \sum _{i}s_{i},}

gdzie ${\ Displaystyle \ suma _ {\ langle i, j \ rangle}}$ wskazuje sumowanie po parze najbliższych sąsiadów ${\ Displaystyle \ langle i, j \ rangle}$ i ${\ Displaystyle s_ {i}, s_ {j} = \ pm 1}$ sąsiadują ze sobą spiny Isinga.

Przekształćmy naszą zmienną spinową, wprowadzając fluktuację od jej średniej wartości ${\ Displaystyle m_ {i} \ równoważnik \ langle s_ {i} \ rangle}$ . Możemy przepisać hamiltonian jako

{\ Displaystyle H = - J \ suma _ {\ langle i, j \ zakres }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\suma _{i}s_{i},}

gdzie definiujemy ${\ Displaystyle \ delta s_ {i} \ równoważnik s_ {i} -m_ {i}}$ ; jest to fluktuacja wirowania.

Jeśli rozwiniemy prawą stronę, otrzymamy jeden składnik, który jest całkowicie zależny od średnich wartości spinów i niezależny od konfiguracji spinów. Jest to trywialny termin, który nie wpływa na właściwości statystyczne systemu. Kolejny wyraz to ten, który obejmuje iloczyn średniej wartości spinu i wartości fluktuacji. Wreszcie ostatni wyraz obejmuje iloczyn dwóch wartości fluktuacji.

Przybliżenie średniego pola polega na pominięciu tego składnika fluktuacji drugiego rzędu:

{\ Displaystyle H \ około H ^ {\ tekst {MF}} \ równoważnik -J \ suma _ {\ langle i, j \ rangle} (m_ {i} m_ {j} + m_ {i} \ delta s_ {j }+m_{j}\delta s_{i})-h\suma _{i}s_{i}.}

Te fluktuacje są wzmocnione przy małych wymiarach, dzięki czemu MFT jest lepszym przybliżeniem dla dużych wymiarów.

Ponownie summand można ponownie rozwinąć. Ponadto spodziewamy się, że średnia wartość każdego spinu jest niezależna od miejsca, ponieważ łańcuch Isinga jest translacyjnie niezmienny. To daje

{\ Displaystyle H ^ {\ tekst {MF}} = - J \ suma _ {\ langle i, j \ rangle} {\ duży (} m ^ {2} + 2 m (s_ {i} -m) {\ duży )}-h\suma _{i}s_{i}.}

Sumowanie po sąsiednich spinach można przepisać jako ${\ Displaystyle \ suma _ {\ langle i, j \ rangle} = {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {i} \ suma _ {j \ in nn (i)}}$ , gdzie ${\ Displaystyle nn (i)}$ oznacza „najbliższy sąsiad ${\ displaystyle i}$ ” i ${\ Displaystyle 1/2}$ prefactor pozwala uniknąć podwójnego liczenia, ponieważ każda wiązanie uczestniczy w dwóch spinach. Upraszczanie prowadzi do ostatecznego wyrażenia

{\ Displaystyle H ^ {\ tekst {MF}} = {\ Frac {Jm ^ {2} Nz} {2}} - \ underbrace {(h + mJz)} _ {h ^ {\ tekst {skut.}}}\suma _{i}s_{i},}

gdzie $koordynacyjną$ liczbą . _ W tym momencie hamiltonian Isinga został rozdzielony na sumę hamiltonianów jednociałowych z efektywnym polem średnim ${\ Displaystyle h ^ {\ tekst {skutek}} = h + Jzm}$ , co jest sumą pola zewnętrznego ${\ displaystyle h}$ i pola średniego indukowane przez sąsiednie spiny. Warto zauważyć $,$ że to średnie pole zależy bezpośrednio od liczby najbliższych sąsiadów, a tym samym od wymiaru systemu (na przykład dla sieci hipersześciennej o wymiarze , = $displaystyle z = 2d}$ ).

Podstawiając ten hamiltonian do funkcji podziału i rozwiązując efektywny problem 1D, otrzymujemy

{\ Displaystyle Z = e ^ {- {\ Frac {\ beta Jm ^ {2} Nz} {2}}}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{\text{B}}T}}\right)\right]^{N},}

gdzie jest liczbą miejsc kratowych. ${\ displaystyle N}$ Jest to zamknięte i dokładne wyrażenie funkcji podziału systemu. Możemy wyznaczyć energię swobodną układu i obliczyć wykładniki krytyczne . W $szczególności$ możemy uzyskać namagnesowanie funkcję ${\ displaystyle h ^ {\ tekst {skutek}}}$ .

Mamy zatem dwa równania $eff$ i ${\ displaystyle h ^ {\ text {eff.}}}$ , co pozwala nam określić $funkcję$ temperatury. Prowadzi to do następującej obserwacji:

W przypadku temperatur wyższych niż pewna wartość $m$ jest $\ displaystyle m = 0}$ . System jest paramagnetyczny.
Dla istnieją dwa niezerowe rozwiązania: $m_ {0}}$ $m =$ . Układ jest ferromagnetyczny.

${\ Displaystyle T _ {\ tekst {c}}}$ jest dana następującą relacją: ${\ Displaystyle T _ {\ tekst {c}} = {\ Frac {Jz} {k_ {B }}}}$ .

To pokazuje, że MFT może uwzględniać ferromagnetyczne przejście fazowe.

Zastosowanie w innych systemach

Podobnie MFT można zastosować do innych typów hamiltonianów, jak w następujących przypadkach:

Aby zbadać przejście metal- nadprzewodnik . W tym przypadku analogiem namagnesowania jest $przerwa$ .
Pole molekularne ciekłego kryształu , które pojawia się, gdy Laplacian pola kierunkowego jest niezerowy.
Aby określić optymalne upakowanie łańcucha bocznego aminokwasu , biorąc pod uwagę ustalony szkielet białka w przewidywaniu struktury białka (patrz Samozgodne pole średnie (biologia) ).
Wyznaczanie właściwości sprężystych materiału kompozytowego.

Minimalizacja wariacyjna, taka jak teoria pola średniego, może być również wykorzystana we wnioskowaniu statystycznym.

Rozszerzenie do pól średnich zależnych od czasu

W teorii pola średniego pole średnie pojawiające się w problemie z jednym miejscem jest niezależną od czasu wielkością skalarną lub wektorową. Jednak nie zawsze tak jest: w wariancie teorii pola średniego zwanym teorią dynamicznego pola średniego (DMFT), pole średnie staje się wielkością zależną od czasu. Na przykład DMFT można zastosować do modelu Hubbarda w celu zbadania przejścia metal-izolator Motta.

Zobacz też

Dynamiczna teoria średniego pola
Średnia teoria gier terenowych
Uogólniony model średniego pola epidemicznego