Wykładnik krytyczny

Wykładniki krytyczne opisują zachowanie wielkości fizycznych w pobliżu ciągłych przejść fazowych . Uważa się, choć nie udowodniono, że są one uniwersalne, tj. nie zależą od szczegółów układu fizycznego, a jedynie od niektórych jego ogólnych cech. Na przykład dla układów ferromagnetycznych krytyczne wykładniki zależą tylko od:

wymiar systemu
zakres interakcji
wymiar spinu _

Te właściwości wykładników krytycznych są poparte danymi eksperymentalnymi. Wyniki analityczne można teoretycznie uzyskać w teorii pola średniego w dużych wymiarach lub gdy znane są dokładne rozwiązania, takie jak dwuwymiarowy model Isinga . Teoretyczne traktowanie w wymiarach generycznych wymaga grupowego renormalizacji lub konforemnych technik ładowania początkowego . Przejścia fazowe i krytyczne wykładniki pojawiają się w wielu układach fizycznych, takich jak woda w punkcie krytycznym , układy magnetyczne, nadprzewodnictwo, perkolacja i turbulentne płyny. Wymiar krytyczny, powyżej którego obowiązują średnie wykładniki pola, różni się w zależności od systemu i może być nawet nieskończony.

Definicja

Parametrem sterującym, który napędza przemiany fazowe, jest często temperatura, ale mogą to być również inne zmienne makroskopowe, takie jak ciśnienie lub zewnętrzne pole magnetyczne. Dla uproszczenia poniższa dyskusja dotyczy temperatury; tłumaczenie na inny parametr kontrolny jest proste. Temperatura, w której zachodzi przemiana, nazywana jest temperaturą krytyczną $T c$ . Chcemy opisać zachowanie się wielkości fizycznej $f$ za pomocą prawa potęgowego wokół temperatury krytycznej; wprowadzamy obniżoną temperaturę

{\ Displaystyle \ tau: = {\ Frac {TT _ {\ operatorname {c}}} {T _ {\ operatorname {c}}}}}

który wynosi zero na przejściu fazowym i zdefiniuj wykładnik krytyczny ${\ displaystyle k}$ : k {\ displaystyle k}

{\ Displaystyle k \, {\ stackrel {\ tekst {def}}} {=}} \, \ _ {\ tau \ do 0} {\ frac {\ log | f (\ tau) |} {\ log | \tau |}}}

Daje to poszukiwane prawo potęgowe:

{\ Displaystyle f (\ tau) \ propto \ tau ^ {k} \ , \ quad \ tau \ do 0}

Należy pamiętać, że reprezentuje to asymptotyczne zachowanie funkcji $f (τ)$ jako $τ \to 0$ .

Bardziej ogólnie można by się spodziewać

{\ Displaystyle f (\ tau) = A \ tau ^ {k} \ lewo (1 + b \ tau ^ {k_ {1}} + \cdots \po prawej)}

Najważniejsze wykładniki krytyczne

Załóżmy, że system ma dwie różne fazy charakteryzujące się $Tc i powyżej parametrem$ rzędu $Ψ$ , który zanika w .

Rozważ oddzielnie fazę nieuporządkowaną ( $τ > 0$ ), fazę uporządkowaną ( $τ < 0$ ) i temperaturę krytyczną ( $τ = 0$ ). Zgodnie ze standardową konwencją wykładniki krytyczne związane z uporządkowaną fazą są primowane. Jest to również kolejna standardowa konwencja używania indeksu górnego/dolnego + (-) dla stanu nieuporządkowanego (uporządkowanego). Na ogół spontaniczne łamanie symetrii następuje w fazie uporządkowanej.

Definicje
$Ψ$	parametr rzędu (np. $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} ρ − ρ c / ρ c$ dla punktu krytycznego ciecz-gaz, namagnesowanie dla punktu Curie itp.)
$τ$	$T - Tc_/ Tc_$
$F$	specyficzna energia swobodna
$C$	ciepło właściwe ; $- T \partial 2 fa / \partial T 2$
$J$	pole źródłowe (np. $P - P c / P c$ gdzie $P$ to ciśnienie , a $P c to$ ciśnienie krytyczne dla punktu krytycznego ciecz-gaz, zredukowany potencjał chemiczny , pole magnetyczne $H$ dla punktu Curie )
$χ$	podatność , ściśliwość itp .; $\partial ψ / \partial J$
$ξ$	długość korelacji
$D$	liczba wymiarów przestrzennych
$⟨ ψ (x \to) ψ (y \to)⟩$	funkcja korelacji
$R$	odległość przestrzenna

Następujące wpisy są oceniane przy $J = 0$ (z wyjątkiem wpisu $δ$ )

Wykładniki krytyczne dla $τ > 0$ (faza nieuporządkowana)
grecki list	relacja
$α$	$do \propto τ - α$
$γ$	$χ \propto τ - γ$
$v$	$ξ \propto τ - ν$

Wykładniki krytyczne dla $τ < 0$ (faza uporządkowana)
grecki list	relacja
$α'$	$do \propto (- τ) - α'$
$β$	$Ψ \propto (- τ) β$
$γ'$	$χ \propto (- τ) - γ'$
$v'$	$ξ \propto (- τ) - ν'$

Wykładniki krytyczne dla $τ = 0$
grecki list	relacja
$δ$	$J \propto Ψ δ$
$η$	$⟨ ψ (0) ψ (r)⟩ \propto r - re + 2 - η$

Wykładniki krytyczne można wyprowadzić z określonej energii swobodnej $f (J, T)$ jako funkcji źródła i temperatury. Długość korelacji można wyprowadzić z funkcjonału $F [J; T]$ .

Relacje te są dokładne blisko punktu krytycznego w systemach dwu- i trójwymiarowych. Jednak w czterech wymiarach prawa potęgowe są modyfikowane przez czynniki logarytmiczne. Nie pojawiają się one w wymiarach dowolnie bliskich, ale nie dokładnie czterech, co można wykorzystać jako obejście tego problemu .

Średnie krytyczne wykładniki pola systemów typu Isinga

Klasyczna teoria Landaua (znana również jako teoria pola średniego ) wartości wykładników krytycznych dla pola skalarnego (którego prototypowym przykładem jest model Isinga ) są podane przez

{\ Displaystyle \ alpha = \ alfa ^ {\ pierwsza} = 0 \ \ quad \ beta = {\ tfrac {1} {2}}\,,\quad \gamma =\gamma ^{\prime }=1\,,\quad \delta =3}

Jeśli dodamy terminy pochodne, przekształcając to w teorię średniego pola Ginzburga-Landaua , otrzymamy

{\ Displaystyle \ eta = 0 \ \ quad \ nu = {\ tfrac {1} {2}}}

Jednym z głównych odkryć w badaniu zjawisk krytycznych jest to, że teoria średniego pola punktów krytycznych jest poprawna tylko wtedy, gdy wymiar przestrzenny układu jest większy niż pewien wymiar zwany górnym wymiarem krytycznym, który wyklucza wymiary fizyczne 1, 2 lub 3 w większości przypadków. Problem z teorią pola średniego polega na tym, że wykładniki krytyczne nie zależą od wymiaru przestrzennego. Prowadzi to do ilościowej rozbieżności poniżej wymiarów krytycznych, gdzie prawdziwe krytyczne wykładniki różnią się od średnich wartości pól. Może nawet prowadzić do jakościowej rozbieżności w niskim wymiarze przestrzennym, gdzie punkt krytyczny w rzeczywistości nie może już istnieć, mimo że teoria pola średniego nadal przewiduje, że taki punkt istnieje. Tak jest w przypadku modelu Isinga w wymiarze 1, w którym nie ma przejścia fazowego. Wymiar przestrzenny, w którym teoria pola średniego staje się jakościowo niepoprawna, nazywany jest dolnym wymiarem krytycznym.

Wartości eksperymentalne

Najdokładniej zmierzona wartość $α$ wynosi −0,0127(3) dla przemiany fazowej nadciekłego helu (tzw. przejścia lambda ). Wartość została zmierzona na promie kosmicznym, aby zminimalizować różnice ciśnień w próbce. Wartość ta pozostaje w znacznej sprzeczności z najdokładniejszymi ustaleniami teoretycznymi pochodzącymi z technik ekspansji wysokotemperaturowej, Monte Carlo i konforemnego ładowania początkowego .

Nierozwiązany problem z fizyki :

Wyjaśnij rozbieżność między eksperymentalnymi i teoretycznymi wyznaczeniami krytycznego wykładnika pojemności cieplnej $α$ dla przejścia w stan nadciekły w helu-4 .

(więcej nierozwiązanych problemów w fizyce)

Prognozy teoretyczne

Krytyczne wykładniki można ocenić za pomocą symulacji Monte Carlo modeli kratowych. Dokładność tej pierwszej zasady zależy od dostępnych zasobów obliczeniowych, które określają możliwość przejścia do nieskończonej granicy objętości i zmniejszenia błędów statystycznych. Inne techniki opierają się na teoretycznym zrozumieniu krytycznych fluktuacji. Najpowszechniej stosowaną techniką jest grupa renormalizacji . Konforemny bootstrap jest niedawno opracowaną techniką, która osiągnęła niezrównaną dokładność wykładników krytycznych Isinga .

Funkcje skalowania

W świetle krytycznych skalowań możemy ponownie wyrazić wszystkie wielkości termodynamiczne w postaci wielkości bezwymiarowych. Wystarczająco blisko punktu krytycznego, wszystko można ponownie wyrazić za pomocą pewnych stosunków potęg zredukowanych wielkości. To są funkcje skalujące.

Pochodzenie funkcji skalujących można dostrzec w grupie renormalizacji. Punktem krytycznym jest stały punkt podczerwieni . W odpowiednio małym sąsiedztwie punktu krytycznego możemy zlinearyzować działanie grupy renormalizacyjnej. Zasadniczo oznacza to, że przeskalowanie systemu o współczynnik $a$ będzie równoważne przeskalowaniu operatorów i pól źródłowych o współczynnik $a Δ$ dla pewnego $Δ$ . Możemy więc przeparametryzować wszystkie wielkości pod względem przeskalowanych wielkości niezależnych od skali.

Skalowanie relacji

Przez długi czas uważano, że wykładniki krytyczne są takie same powyżej i poniżej temperatury krytycznej, np. $α \equiv α'$ lub $γ \equiv γ'$ . Teraz wykazano, że niekoniecznie jest to prawdą: kiedy ciągła symetria jest wyraźnie rozbita na dyskretną symetrię przez nieistotne (w sensie grupy renormalizacji) anizotropie, wówczas wykładniki γ $i$ γ $' nie$ są identyczne.

Wykładniki krytyczne są oznaczone greckimi literami. Dzielą się one na klasy uniwersalności i podlegają relacjom skalowania i hiperskalowania

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nu d&=2-\alpha =2\beta +\gamma =\beta (\delta +1)=\gamma {\frac {\delta +1}{\delta -1}}\\2-\eta &= {\frac {\gamma}}{\nu}}=d{\frac {\delta -1}{\delta +1}}\end{wyrównane}}}

Z równań tych wynika, że istnieją tylko dwa niezależne wykładniki, np. $ν$ i $η$ . Wszystko to wynika z teorii grupy renormalizacji . ^{[ wymagane wyjaśnienie ]}

Teoria perkolacji

Przejścia fazowe i wykładniki krytyczne pojawiają się również w procesach perkolacji , w których koncentracja „zajętych” miejsc lub ogniw sieci jest parametrem kontrolnym przejścia fazowego (w porównaniu z temperaturą w klasycznych przejściach fazowych w fizyce). Jednym z najprostszych przykładów jest perkolacja Bernoulliego w dwuwymiarowej sieci kwadratowej. Witryny są losowo zajęte z prawdopodobieństwem ${\ displaystyle p}$ . Klaster definiuje się jako zbiór najbliższych sąsiednich zajętych miejsc. $zajęte$ wartości miejsca tworzą tylko małe lokalne klastry. Na $) tworzy się obejmujący klaster rozciągający się$ perkolacji ( przeciwne miejsca układu i mamy przejście fazowe drugiego rzędu, które jest charakteryzujący się uniwersalnymi wykładnikami krytycznymi. W przypadku perkolacji klasa uniwersalności różni się od klasy uniwersalności Isinga. $Na przykład$ $porównaniu$ wykładnik długości korelacji wynosi Bernoulliego w modelem Aby uzyskać bardziej szczegółowe omówienie, zobacz Wykładniki krytyczne perkolacji .

Anizotropia

Istnieją układy anizotropowe , w których długość korelacji zależy od kierunku.

Perkolacja ukierunkowana może być również uważana za perkolację anizotropową. W tym przypadku wykładniki krytyczne są różne, a górny wymiar krytyczny wynosi 5.

Punkty wielokrytyczne

Bardziej złożone zachowanie może wystąpić w punktach multikrytycznych , na granicy lub na przecięciach rozmaitości krytycznych. Można je osiągnąć, dostrajając wartość dwóch lub więcej parametrów, takich jak temperatura i ciśnienie.

Właściwości statyczne a dynamiczne

Powyższe przykłady odnoszą się wyłącznie do właściwości statycznych systemu krytycznego. Jednak dynamiczne właściwości systemu mogą również stać się krytyczne. Zwłaszcza charakterystyczny czas $τ char$ , systemu jest rozbieżny jako $τ char \propto ξ z$ , z wykładnikiem dynamicznym $z$ . Co więcej, duże statyczne klasy uniwersalności modeli równoważnych z identycznymi statycznymi wykładnikami krytycznymi rozkładają się na mniejsze klasy uniwersalności dynamicznej , jeśli wymaga się, aby również wykładniki dynamiczne były identyczne.

Wykładniki krytyczne można obliczyć z konforemnej teorii pola .

Zobacz także nietypowy wymiar skalowania .

Krytyka samoorganizująca się

Krytyczne wykładniki istnieją również dla samoorganizującej się krytyczności dla systemów dyssypatywnych .

Zobacz też

Klasa uniwersalności dla wartości liczbowych wykładników krytycznych
Złożone sieci
Losowe wykresy
Nierówność Rushbrooke'a
Skalowanie wdowy
Bootstrap konformalny
Krytyczne wykładniki Isinga
Krytyczne wykładniki perkolacji
Nauka o sieciach
Teoria perkolacji
Teoria grafów

Linki zewnętrzne i literatura

Hagen Kleinert i Verena Schulte-Frohlinde, Critical Properties of φ ⁴ -Theories , World Scientific (Singapur, 2001) ; Książka w miękkiej okładce ISBN 981-02-4658-7
M. Toda, R. Kubo, N. Saito, Statistical Physics I , Springer-Verlag (Berlin, 1983); ISBN 3-540-11460-2 w twardej oprawie
JMYeomans, Mechanika statystyczna przemian fazowych , Oxford Clarendon Press
JE Stanley Wprowadzenie do przemian fazowych i zjawisk krytycznych , Oxford University Press, 1971
Klasy uniwersalności ze Sklogwiki
Zinn-Justin, Jean (2002). Kwantowa teoria pola i zjawiska krytyczne , Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5
Zinn-Justin, J. (2010). „Zjawiska krytyczne: podejście teoretyczne pola” artykuł Scholarpedia Scholarpedia, 5 (5): 8346.
D. Poland, S. Rychkov, A. Vichi, „The Conformal Bootstrap: Theory, Numerical Techniques and Applications” , Rev.Mod.Phys. 91 (2019) 015002, http://arxiv.org/abs/1805.04405
F. Leonard i B. Delamotte Wykładniki krytyczne mogą być różne po obu stronach przejścia: Ogólny mechanizm https://arxiv.org/abs/1508.07852

Mechanika statystyczna
Teoria	Zasada maksymalnej entropii teoria ergodyczna
Termodynamika statystyczna	Zespoły funkcje partycji równania stanu potencjał termodynamiczny : u H F G Relacje Maxwella
modele	Modele ferromagnetyzmu Śpiewam Potts Heisenberga przesiąkanie Cząstki z polem siłowym siła wyczerpania Potencjał Lennarda-Jonesa
Podejścia matematyczne	Równanie Boltzmanna Twierdzenie H Równanie Własowa Hierarchia BBGKY proces stochastyczny teoria pola średniego i konforemna teoria pola
Zjawiska krytyczne	Przejście fazowe Wykładniki krytyczne długość korelacji skalowanie rozmiarów
Entropia	Boltzmanna Shannon Tsallis Rényi von Neumanna
Aplikacje	Statystyczna teoria pola cząstka elementarna nadpłynność Fizyka materii skondensowanej Skomplikowany system chaos teoria informacji Maszyna Boltzmanna