Skalowanie wymiaru

W fizyce teoretycznej wymiar skalowania lub po prostu wymiar operatora lokalnego w kwantowej teorii pola charakteryzuje właściwości przeskalowania operatora przy dylatacjach czasoprzestrzeni ${\ displaystyle x \ do \ lambda x}$ . Jeśli kwantowa teoria pola jest niezmienna w skali , wymiary skalujące operatorów są liczbami stałymi, w przeciwnym razie są funkcjami skali odległości.

Kwantowa teoria pola niezmienna w skali

W niezmiennej skali kwantowej teorii pola , z definicji każdy operator O uzyskuje przy dylatacji czynnik , gdzie ${\ Displaystyle x \ do \ lambda x}$${\ Displaystyle \ lambda ^ {- \ Delta}}$${\ displaystyle \ Delta}$ to liczba zwana wymiarem skalowania O . Oznacza to w szczególności, że dwupunktowa funkcja korelacji ${\ Displaystyle \ langle O (x) O (0) \ rangle}$ zależy od odległości jako ${\ Displaystyle (x ^ {2}) ^ {- \ Delta}}$ . Bardziej ogólnie, funkcje korelacji kilku operatorów lokalnych muszą zależeć od odległości w taki sposób, że ${\ Displaystyle \ langle O_ {1} (\ lambda x_ {1}) O_ {2} (\ lambda x_ {2}) \ ldots \ rangle =\lambda ^{-\Delta _{1}-\Delta _{2}-\ldots}\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})\ldots \rangle }$

Większość teorii niezmienników skali jest również konformalnie niezmienna , co nakłada dalsze ograniczenia na funkcje korelacji operatorów lokalnych.

Teorie pola swobodnego

Teorie swobodne to najprostsze kwantowe teorie pola niezmienne w skali. W teoriach swobodnych rozróżnia się operatory elementarne, którymi są pola występujące w Lagrange'a , oraz operatory złożone, które są iloczynami operatorów elementarnych. Wymiar skalowania elementarnego operatora O jest określany na podstawie analizy wymiarowej z Lagrange'a ( w czterech wymiarach czasoprzestrzennych wynosi 1 dla elementarnych pól bozonowych, w tym potencjałów wektorowych, 3/2 dla elementarnych pól fermionowych itp.). Ten wymiar skalowania nazywany jest wymiarem klasycznym (terminy stosuje się również wymiar kanoniczny i wymiar inżynierski ). Operator $wymiarem$ otrzymany przez iloczyn dwóch operatorów o wymiarach $i$ jest nowym suma ${\ Displaystyle \ Delta _ {1} + \ Delta _ {2}}$ .

Gdy interakcje są włączone, wymiar skalowania otrzymuje poprawkę zwaną wymiarem anomalnym (patrz poniżej).

Oddziałujące teorie pola

Istnieje wiele niezmiennych w skali kwantowych teorii pola, które nie są teoriami swobodnymi; nazywa się to interakcją. Skalowanie wymiarów operatorów w takich teoriach nie może być odczytywane z Lagrange'a ; niekoniecznie są one również (pół) liczbami całkowitymi. $teorii$ opisującej punkty krytyczne dwuwymiarowego modelu Isinga operator, którego wymiar wynosi 1/8.

Mnożenie operatorów jest subtelne w teoriach oddziałujących w porównaniu z teoriami swobodnymi. Rozwinięcie iloczynu operatora dwóch operatorów o wymiarach i Δ $\ displaystyle$$\ Delta _ {2}}$ generalnie da nie unikalny operator, ale nieskończenie wiele operatorów, a ich generalnie nie jest równy ${\ Displaystyle \ Delta _ {1} + \ Delta _ {2}}$ . W powyższym przykładzie dwuwymiarowego modelu Isinga iloczyn operatora $}$$sigma$ daje operator , którego wymiar wynosi 1, a nie dwukrotność wymiaru ${\ displaystyle \ sigma}$ .

Kwantowa teoria pola niezmienna w skali

Istnieje wiele kwantowych teorii pola, które, chociaż nie są dokładnie niezmienne w skali, pozostają w przybliżeniu niezmienne w skali w dużym zakresie odległości. Takie kwantowe teorie pola można uzyskać, dodając do teorii pola swobodnego warunki interakcji z małymi bezwymiarowymi sprzężeniami. Na przykład w czterech wymiarach czasoprzestrzennych można dodać kwartalne sprzężenia skalarne, sprzężenia Yukawa lub sprzężenia cechowania. Skalowanie wymiarów operatorów w takich teoriach można wyrazić schematycznie jako , gdzie Δ $\ Delta _ {0} + \ gamma (g)}$$anomalnym$$\ Delta _ {0}}$ to wymiar, w którym wszystkie sprzężenia są ustawione na zero (tj. wymiar klasyczny), podczas gdy i jest wyrażany jako szereg potęgowy w sprzężeniach zbiorczo oznaczonych jako ${\ displaystyle g}$ . Takie rozdzielenie wymiarów skalowania na część klasyczną i anomalną ma $tylko wtedy, gdy$ są małe, więc to niewielka poprawka

Ogólnie rzecz biorąc, ze względu na efekty mechaniki kwantowej, sprzężenia nie pozostają stałe, ale zmieniają się (w żargonie kwantowej teorii pola , biegnij ) ze skalą odległości zgodnie z $ich$ funkcją . Dlatego wymiar anomalny ${\ Displaystyle \ gamma (g)}$ zależy również od skali odległości w takich teoriach. W szczególności funkcje korelacji operatorów lokalnych nie są już prostymi potęgami, ale mają bardziej skomplikowaną zależność od odległości, zwykle z poprawkami logarytmicznymi.

$której$ że ewolucja sprzężeń doprowadzi do wartości, funkcja beta znika Następnie na długich dystansach teoria staje się niezmienna w skali , a anomalne wymiary przestają działać. Takie zachowanie nazywa się punktem stałym w podczerwieni .

W bardzo szczególnych przypadkach może się zdarzyć, że sprzężenia i wymiary anomalne w ogóle nie działają, więc teoria jest niezmienna w skali na wszystkich odległościach i dla dowolnej wartości sprzężenia. Dzieje się tak na przykład w supersymetrycznej teorii Yanga-Millsa N = 4 .