Konforemna teoria pola

Konforemna teoria pola ( CFT ) jest kwantową teorią pola , która jest niezmienna w przypadku przekształceń konforemnych . W dwóch wymiarach istnieje nieskończenie wymiarowa algebra lokalnych przekształceń konforemnych, a konforemne teorie pola można czasami dokładnie rozwiązać lub sklasyfikować.

Konforemna teoria pola ma ważne zastosowania w fizyce materii skondensowanej , mechanice statystycznej , statystycznej mechanice kwantowej i teorii strun . Statystyczne i skondensowane układy materii są rzeczywiście często konforemnie niezmienne w swoich termodynamicznych lub kwantowych punktach krytycznych .

Niezmienność skali a niezmienność konforemna

W kwantowej teorii pola niezmienniczość skali jest powszechną i naturalną symetrią, ponieważ każdy stały punkt grupy renormalizacji jest z definicji niezmiennikiem skali. Symetria konformalna jest silniejsza niż niezmienniczość skali i potrzeba dodatkowych założeń, aby argumentować, że powinna ona występować w naturze. Podstawową ideą stojącą za jego wiarygodnością jest to, że lokalnej mają swoje prądy podane przez ${\ Displaystyle T _ {\ mu \ nu} \ xi ^ {\ nu}}$ gdzie ${\ Displaystyle \ xi ^ { \nu}}$ jest wektorem zabijania , a jest zachowanym operatorem (tensorem naprężeń) o wymiarze dokładnie $\ displaystyle T _ {\$$\ nu}}$ . Aby powiązane symetrie obejmowały przekształcenia skali, ale nie konforemne, ślad $musi$ niezerową pochodną całkowitą, co sugeruje, że istnieje wymiar dokładnie ${\ displaystyle d-1}$ .

Przy pewnych założeniach możliwe jest całkowite wykluczenie tego typu braku renormalizacji, a tym samym udowodnienie, że niezmienność skali implikuje konforemną niezmienniczość w kwantowej teorii pola, na przykład w jednolicie zwartych konforemnych teoriach pola w dwóch wymiarach.

kwantowa teoria pola może być niezmienna w skali , ale nie niezmienna konforemnie, przykłady są rzadkie. Z tego powodu terminy te są często używane zamiennie w kontekście kwantowej teorii pola.

Dwa wymiary vs wyższe wymiary

Liczba niezależnych przekształceń konforemnych jest nieskończona w dwóch wymiarach i skończona w wyższych wymiarach. To sprawia, że ​​symetria konforemna jest znacznie bardziej ograniczająca w dwóch wymiarach. Wszystkie konforemne teorie pola podzielają idee i techniki konforemnego ładowania początkowego . Ale otrzymane równania mają większą moc w dwóch wymiarach, gdzie czasami są dokładnie rozwiązywalne (na przykład w przypadku modeli minimalnych ), w przeciwieństwie do wyższych wymiarów, w których dominują podejścia numeryczne.

Rozwój konformalnej teorii pola był wcześniejszy i głębszy w przypadku dwuwymiarowym, w szczególności po artykule Belavina, Polyakova i Zamolodchikova z 1983 roku. Termin konforemna teoria pola był czasami używany w znaczeniu dwuwymiarowej konforemnej teorii pola , jak w tytule podręcznika z 1997 roku. Wyższe wymiarowe konforemne teorie pola stały się bardziej popularne wraz z korespondencją AdS / CFT pod koniec lat 90. oraz rozwojem numerycznych konforemnych technik ładowania początkowego w 2000 roku.

Globalna vs lokalna symetria konforemna w dwóch wymiarach

Globalna grupa konforemna $sfery$ to grupa przekształceń , Z drugiej strony, nieskończenie małe transformacje konforemne tworzą nieskończenie wymiarową $}\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }=\partial \cdot \xi \eta _{\mu \nu },~} sprowadzić do równań Cauchy'ego-$ Witta : konforemne równania Killinga $w$ dwóch wymiarach, Riemanna ∂ $0 = \ częściowe _ {z} \ xi ({\ bar {z}})}$ , nieskończoność trybów dowolnych analitycznych transformacji współrzędnych ${\ Displaystyle \ xi (z)}$ daje nieskończoność zabijania pól wektorowych ${\ Displaystyle z ^ {n} \ częściowe _{z}}$ .

Ściśle mówiąc, możliwe jest, aby dwuwymiarowa konformalna teoria pola była lokalna (w sensie posiadania tensora naprężeń), a jednocześnie nadal wykazywała niezmienniczość tylko w warunkach globalnych. ${\ displaystyle PSL_ {2} (\mathbb {C} )}$ . Okazuje się, że jest to unikalne dla teorii nieunitarnych; przykładem jest skalar biharmoniczny. $,$ ponieważ wymaga, aby była całkowitą drugą pochodną.

Globalna symetria konformalna w dwóch wymiarach jest szczególnym przypadkiem symetrii konforemnej w wyższych wymiarach i jest badana za pomocą tych samych technik. Odbywa się to nie tylko w teoriach, które mają globalną, ale nie lokalną symetrię konforemną, ale także w teoriach, które mają lokalną symetrię konforemną, w celu testowania technik lub pomysłów z wielowymiarowej CFT. W szczególności numeryczne techniki ładowania początkowego można przetestować, stosując je do modeli minimalnych i porównując wyniki ze znanymi wynikami analitycznymi wynikającymi z lokalnej symetrii konforemnej.

Konforemne teorie pola z algebrą symetrii Virasoro

Główny artykuł: Dwuwymiarowa konforemna teoria pola

W konformalnie niezmienniczej dwuwymiarowej teorii kwantowej algebra Witta nieskończenie małych przekształceń konforemnych musi być centralnie rozszerzona . Kwantowa algebra symetrii jest zatem algebrą Virasoro , która zależy od liczby zwanej ładunkiem centralnym . To centralne rozszerzenie może być również rozumiane w kategoriach anomalii konforemnej .

Alexander Zamolodchikov wykazał , że istnieje funkcja, która maleje monotonicznie w przepływie grupy renormalizacyjnej dwuwymiarowej kwantowej teorii pola i jest równa ładunkowi centralnemu dla dwuwymiarowej konforemnej teorii pola. Jest to znane jako C-twierdzenie Zamolodczikowa i mówi nam, że przepływ grupy renormalizacji w dwóch wymiarach jest nieodwracalny.

Oprócz tego, że jest centralnie rozszerzona, algebra symetrii konforemnie niezmiennej teorii kwantowej musi być złożona, w wyniku czego powstają dwie kopie algebry Virasoro. W euklidesowej CFT kopie te nazywane są holomorficznymi i antyholomorficznymi. W CFT Lorentza nazywa się je ruchami w lewo i w prawo. Obie kopie mają ten sam ładunek centralny.

Przestrzeń stanów teorii jest reprezentacją iloczynu dwóch algebr Virasoro. Ta przestrzeń jest przestrzenią Hilberta , jeśli teoria jest unitarna. Przestrzeń ta może zawierać stan próżni lub w mechanice statystycznej stan termiczny. Dopóki ładunek centralny nie zniknie, nie może istnieć stan, który pozostawia nieprzerwaną całą nieskończoną wymiarową konforemną symetrię. Najlepsze, co możemy mieć, to stan, który jest niezmienny w generatorach $n$${\ displaystyle$ podstawą jest . $_$ generatory _ Reszta grupy konforemnej jest spontanicznie rozbijana.

Symetria konformalna

Główny artykuł: symetria konforemna

Definicja i Jakobian

Dla danej czasoprzestrzeni i metryki transformacja konforemna to transformacja, która zachowuje kąty. Skupimy się na przekształceniach konformalnych płaskiej $-wymiarowej$$euklidesowej$$}}$ przestrzeni Minkowskiego ${R} ^{1,d-1}}$ .

x ${\ Displaystyle x \ do f (x)}$ jest transformacją konforemną, jakobian jot $_ {\ nu} ^ {\mu }(x)={\frac {\częściowe f^{\mu }(x)}{\częściowe x^{\nu }}}} ma$ postać

${\ Displaystyle J _ {\ nu} ^ {\ mu} (x) = \ Omega (x) R_ {\ nu} ^ {\ mu} (X),}$

gdzie jest współczynnikiem skali i $\$$Displaystyle R_ {\ nu} ^ {\ mu} (x)}$ obrotem ( macierz) lub transformację Lorentza.

Grupa konformalna

Grupa konformalna $, re )$$d$ izomorficzna z euklidesowym) lub ( Minkowskiego). Obejmuje to translacje, rotacje (euklidesowe) lub transformacje Lorentza (Minkowski) oraz dylatacje, czyli transformacje skali

${\ Displaystyle x ^ {\ mu} \ do \ lambda x ^ {\ mu}.}$

Obejmuje to również specjalne przekształcenia konforemne. Dla każdego tłumaczenia istnieje specjalna transformacja konforemna $za {\ Displaystyle T_ {a} (x) = x + a$

${\ Displaystyle S_ {a} = ja \ circ T_ {a} \ circ ja,}$

gdzie jest taką inwersją , że ${\ displaystyle I}$

${\ Displaystyle I \ lewo (x ^ {\ mu} \ prawo) = {\ Frac {x ^ {\ mu}} {x ^ {2}}}.}$

W sferze ${\ Displaystyle S ^ {d} = \ mathbb {R} ^ {d} \ puchar \ {\ infty \}}$${\ displaystyle \ infty}$ wymiana inwersji z $∞$ . Tłumaczenia pozostawiają $naprawione$$naprawione$ podczas gdy specjalne transformacje konforemne pozostawiają .

Algebra konforemna

Relacje komutacji odpowiedniej algebry Liego to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} [][ P_ {\ mu}, P_ {\ nu}] i = 0, \\ [][D, K_ {\ mu}] i = -K_{\mu },\\[][D,P_{\mu }]&=P_{\mu },\\[][K_{\mu },K_{\nu }]&=0,\ \[][K_{\mu },P_{\nu }]&=\eta _{\mu \nu }D-iM_{\mu \nu },\end{aligned}}}$

gdzie generuje tłumaczenia , $}$ dylatacje, $displaystyle$ { $_ { \ mu \ nu}}$$P. {\$ generować obroty lub transformacje Lorentza. Tensor $_$ płaską

Problemy globalne w przestrzeni Minkowskiego

W przestrzeni Minkowskiego grupa konforemna nie zachowuje przyczynowości . Obserwable, takie jak funkcje korelacji, są niezmienne w algebrze konforemnej, ale nie w grupie konforemnej. Jak wykazali Lüscher i Mack, możliwe jest przywrócenie niezmienniczości w grupie konforemnej poprzez rozszerzenie płaskiej przestrzeni Minkowskiego do walca Lorentza. Oryginalna przestrzeń Minkowskiego jest konforemnie równoważna obszarowi cylindra zwanemu łatą Poincarégo. W cylindrze globalne transformacje konformalne nie naruszają przyczynowości: zamiast tego mogą przesuwać punkty poza łatę Poincarégo.

Funkcje korelacyjne i metoda ładowania konforemnego

W konformalnym podejściu ładowania początkowego konforemna teoria pola jest zbiorem funkcji korelacji, które są zgodne z wieloma aksjomatami.

n ${\ displaystyle n}$ -punktowa funkcja korelacji $x_ {n}} \ right \ rangle }$${\ Displaystyle \ lewo \ langle O_ {1} (x_ {1}) \ cdots O_ {n}$$O_{n}}$ funkcją pozycji $1$ innych parametrów pól ${\ Displaystyle O_ {1}, \ kropki$ . W podejściu bootstrap same pola mają sens tylko w kontekście funkcji korelacji i mogą być postrzegane jako wydajne notacje do pisania aksjomatów dla funkcji korelacji. Funkcje korelacji zależą liniowo od pól, w szczególności ${\ Displaystyle \ częściowe _ {x_ {1}} \ lewo \ langle O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle =\left\langle \partial _{x_{1}}O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle }$ .

Skupiamy się na CFT w przestrzeni euklidesowej ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ . W tym przypadku funkcjami korelacji są funkcje Schwingera . Są one zdefiniowane dla $zależą$ nie W przestrzeni Minkowskiego funkcje korelacji są funkcjami Wightmana . Mogą zależeć od kolejności pól, ponieważ pola dojeżdżają do pracy tylko wtedy, gdy są oddzielone przestrzennie. Euklidesową CFT można powiązać z CFT Minkowskiego przez obrót Wicka , na przykład dzięki twierdzeniu Osterwaldera-Schradera . W takich przypadkach funkcje korelacji Minkowskiego są uzyskiwane z euklidesowych funkcji korelacji przez analityczną kontynuację zależną od kolejności pól.

Zachowanie w warunkach przekształceń konforemnych

Każda transformacja konforemna $Displaystyle O (x) \ do$ liniowo na polach $O$ , takie, że jest reprezentacją grupy konforemnej, a funkcje korelacji są niezmienne: ${\ displaystyle f \ to \ pi _ {f}}$

${\ Displaystyle \ lewo \ langle \ pi _ {f} (O_ {1}) (x_ {1}) \ cdots \ pi _ {f} (O_ {n}) (x_ {n}) \ prawo \ rangle = \left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle .}$

Pola podstawowe to pola, które przekształcają się w siebie poprzez ${\ displaystyle \ pi _ {f}}$ . Zachowanie pola podstawowego charakteryzuje $rotacji$ liczbą zwaną jego $oraz$ konforemnym reprezentacją lub grupy Lorentza. Dla pola podstawowego mamy wtedy

${\ Displaystyle \ pi _ {f} (O) (x) = \ Omega (x ') ^ {- \ Delta} \ rho (R (x ')) O (x'), \ quad {\ tekst {gdzie }}\ x'=f^{-1}(x).}$

Tutaj i są $fa$ skali i rotacją $}$ z konforemną $f$ Reprezentacja $trywialna$ w przypadku pól skalarnych, które przekształcają się jako ${\ Displaystyle \ pi _ {f }(O)(x)=\Omega(x')^{-\Delta }O(x')}$ . W przypadku $wektorowych$ reprezentacja jest podstawową reprezentacją i mielibyśmy ${\ Displaystyle \ pi _ {f} (O _ {\ mu}) (x) = \ Omega (x') ^ {- \ Delta} R_ {\ mu} ^ {\ nu} (x') O_ { \nu }(x')}$ .

Pole pierwotne, które charakteryzuje się wymiarem konforemnym $o$ reprezentacją $, zachowuje się jak wektor$ największej wadze w indukowanej reprezentacji grupy konforemnej z podgrupy generowanej przez dylatacje i obroty W szczególności wymiar konformalny $.$ reprezentację podgrupy dylatacji W dwóch wymiarach fakt, że ta indukowana reprezentacja jest modułem Vermy, pojawia się w całej literaturze. W przypadku wielowymiarowych CFT (w których maksymalnie zwarta podalgebra jest większa niż podalgebra Cartana ) ostatnio doceniono, że ta reprezentacja jest parabolicznym lub uogólnionym modułem Vermy .

Pochodne (dowolnego rzędu) zmiennych podstawowych nazywane są polami potomnymi . Ich zachowanie w warunkach przekształceń konforemnych jest bardziej skomplikowane. Na przykład, jeśli pole podstawowe to $Displaystyle \ pi _ {f} (\ częściowe _ {\ mu} O) (x) = \ częściowe _ {\ mu} \ lewo (\ pi _ {f} (O) (x) \ prawej)} jest kombinacją liniową ∂ μ$$)$ O $\ częściowe _ {\ mu} O}$ i ${\ displaystyle O}$ . Funkcje korelacji zmiennych potomnych można wywnioskować z funkcji korelacji zmiennych podstawowych. Jednak nawet w typowym przypadku, gdy wszystkie pola są albo pierwiastkami podstawowymi, albo ich potomkami, pola potomne odgrywają ważną rolę, ponieważ bloki konforemne i rozwinięcia iloczynu operatorów obejmują sumy po wszystkich polach potomnych.

Zbiór wszystkich pól podstawowych $O$$p}}$ się ich wymiarami skalowania $displaystyle O_$ reprezentacjami , { nazywa się widmem teorii.

Zależność od pozycji terenowych

Niezmienniczość funkcji korelacji w ramach transformacji konforemnych poważnie ogranicza ich zależność od pozycji pola. W przypadku funkcji dwu- i trzypunktowych zależność ta jest wyznaczana aż do skończenie wielu stałych współczynników. Funkcje wyższego punktu mają większą swobodę i są określane tylko do funkcji konforemnie niezmiennych kombinacji pozycji.

Funkcja dwupunktowa dwóch pól pierwotnych znika, jeśli ich wymiary konforemne są różne.

${\ Displaystyle \ Delta _ {1} \ neq \ Delta _ {2} \ implikuje \ lewo \ langle O_ {1} (x_{1})O_{2}(x_{2})\prawo\rangle =0.}$

Jeśli operator dylatacji jest diagonalizowalny (tj. Jeśli teoria nie jest logarytmiczna), istnieje podstawa ciał pierwotnych taka, że ​​​​funkcje dwupunktowe są diagonalne, tj. ${\ Displaystyle i \ neq j\implikuje \left\langle O_{i}O_{j}\right\rangle =0}$ . W tym przypadku dwupunktowa funkcja skalarnego pola pierwotnego to

${\ Displaystyle \ lewo \ langle O (x_ {1}) O (x_ {2}) \ prawo \ rangle = {\ Frac {1} {| x_ {1} -x_ {2} | ^ {2 \Delta }}},}$

gdzie wybieramy normalizację pola taką, że stały współczynnik, który nie jest określony przez symetrię konforemną, wynosi jeden. Podobnie dwupunktowe funkcje nieskalarnych pól pierwotnych są wyznaczane aż do współczynnika, który można ustawić na jeden. W przypadku symetrycznego bezśladowego tensora rangi funkcja dwupunktowa to ${\ displaystyle \ ell}$

${\ Displaystyle \ lewo \ langle O _ {\ mu _ {1}, \ kropki, \ mu _ {\ ell}} (x_ {1}) O _ {\ nu _ {1}, \ kropki, \ nu _{\ell}}(x_{2})\right\rangle ={\frac {\prod _{i=1}^{\ell}I_{\mu _{i},\nu _{i}} (x_{1}-x_{2})-{\text{ślady}}}{|x_{1}-x_{2}|^{2\Delta }}},}$

gdzie tensor jest zdefiniowany jako ${\ Displaystyle I _ {\ mu, \ nu} (x)}$

${\ Displaystyle I _ {\ mu, \ nu} (x) = \ eta _ {\ mu \ nu} - {\ Frac {2x_ {\ mu} x_ {\ nu}} {x ^ {2}}}.}$

Trzypunktowa funkcja trzech skalarnych pól podstawowych to

${\ Displaystyle \ lewo \ langle O_ {1} (x_ {1}) O_ {2} (x_ {2}) O_ {3} (x_ {3}) \ prawo \ rangle ={\frac {C_{123}}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}}|x_{13}|^{\Delta _{1}+\Delta_{3}-\Delta_{2}}|x_{23}|^{\Delta_{2}+\Delta_{3}-\Delta_{1}}}} ,}$

gdzie $_$ _ $_$ _ _ _ W przypadku pól pierwotnych, które niekoniecznie są skalarami, symetria konforemna dopuszcza skończoną liczbę struktur tensorowych, a dla każdej struktury tensorowej istnieje stała struktury. W przypadku dwóch pól skalarnych i symetrycznego bezśladowego tensora rangi $istnieje$ jedna struktura tensorowa, a funkcja trzypunktowa to

${\ Displaystyle \ lewo \ langle O_ {1} (x_ {1}) O_ {2} (x_ {2}) O_ {\ mu _ {1}, \ kropki, \ mu _{\ell }}(x_{3})\right\rangle ={\frac {C_{123}\left(\prod _{i=1}^{\ell }V_{\mu _{i}} -{\text{ślady}}\right)}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}}|x_{13}|^{ \Delta _{1}+\Delta _{3}-\Delta _{2}}|x_{23}|^{\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{1}} }},}$

gdzie wprowadzamy wektor

${\ Displaystyle V_ {\ mu} = {\ Frac {x_ {13} ^ {\ mu} x_ {23} ^ {2} -x_ {23} ^ {\ mu} x_ {13} ^ {2}} |x_{12}||x_{13}||x_{23}|}}.}$

Czteropunktowe funkcje skalarnych pól pierwotnych są określane do dowolnych funkcji dwóch stosunków krzyżowych ${\ Displaystyle g (u, v)}$

${\ Displaystyle u = {\ Frac {x_ {12} ^ {2} x_ {34} ^ {2}} {x_ {13} ^ {2} x_ {24} ^ {2}}} \ , \ v = {\frac {x_{14}^{2}x_{23}^{2}}{x_{13}^{2}x_{24}^{2}}}.}$

Funkcja czteropunktowa jest wtedy

${\ Displaystyle \ lewo \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {4} O_ {i} (x_ {i}) \ prawo \ rangle = {\ Frac {\ lewo ({\ Frac {| x_ {24} |}{|x_{14}|}}\right)^{\Delta _{1}-\Delta _{2}}\left({\frac {|x_{14}|}{|x_{13} |}}\right)^{\Delta _{3}-\Delta _{4}}}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}}|x_{34 }|^{\Delta_{3}+\Delta_{4}}}}g(u,v).}$

Rozszerzenie produktów operatora

Ekspansja iloczynu operatora ( OPE) jest potężniejsza w konforemnej teorii pola niż w bardziej ogólnych kwantowych teoriach pola. Dzieje się tak, ponieważ w konforemnej teorii pola promień zbieżności rozwinięcia iloczynu operatora jest skończony (tj. nie jest równy zeru). Pod warunkiem, że pozycje dwóch pól są wystarczająco bliskie, rozwinięcie iloczynu operatora przepisuje iloczyn tych dwóch pól jako liniową kombinację pól w danym punkcie, x 1 , x 2 {\ displaystyle $x_$ które można wybrać jako dla wygody technicznej ${\ displaystyle x_ {2}}$

Formę ma rozszerzenie produktu operatora o dwa pola

${\ Displaystyle O_ {1} (x_ {1}) O_ {2} ( x_{2})=\suma _{k}c_{12k}(x_{1}-x_{2})O_{k}(x_{2}),}$

gdzie jest pewną funkcją współczynnika, a suma w $.$ (Równoważnie, przez zgodność stanu z polem, suma przebiega przez wszystkie stany w przestrzeni stanów). Niektóre pola mogą w rzeczywistości nie występować, w szczególności z powodu ograniczeń wynikających z symetrii: symetria konforemna lub dodatkowe symetrie.

Jeśli wszystkie pola są pierwotne lub potomne, sumę pól można zredukować do sumy ponad polami podstawowymi, przepisując wkład dowolnego elementu potomnego pod względem wkładu odpowiedniego elementu podstawowego:

${\ Displaystyle O_ {1} (x_ {1} )O_{2}(x_{2})=\suma _{p}C_{12p}P_{p}(x_{1}-x_{2},\częściowa _{x_{2}})O_{p }(x_{2}),}$

$współczynnikiem$ pola są pierwotne, a jest trzypunktową stałą struktury (która z tego $jest$ OPE ) Operator różniczkowy ${\ Displaystyle P_ {p} (x_ {1} -x_ {2}, \ częściowy _ {x_ {2}})$ } pochodne, które są określone przez symetrię konforemną, a zatem w zasadzie znane.

Postrzeganie OPE jako relacji między funkcjami korelacji pokazuje, że OPE musi być asocjacyjne. Ponadto, jeśli przestrzeń jest euklidesowa, OPE musi być przemienna, ponieważ funkcje korelacji nie zależą od kolejności pól, tj. ${\ Displaystyle O_ {1} (x_ {1}) O_ {2} (x_ {2}) = O_ {2} (x_ {2}) O_ {1} (x_ {1})}$ .

Istnienie rozwinięcia iloczynu operatora jest podstawowym aksjomatem konforemnego ładowania początkowego. Jednak generalnie nie jest konieczne obliczanie rozwinięć iloczynu operatora, aw szczególności operatorów różniczkowych ${\ Displaystyle P_ {p} (x_ {1} -x_ {2}, \ częściowe _{x_{2}})}$ . Potrzebny jest raczej rozkład funkcji korelacji na stałe strukturalne i bloki konforemne. OPE można w zasadzie stosować do obliczania bloków konforemnych, ale w praktyce istnieją bardziej wydajne metody.

Bloki konforemne i symetria przecinająca

Korzystając z OPE , czteropunktową funkcję można zapisać jako ${\ Displaystyle O_ {1} (x_ {1}) O_ {2} (x_ {2})}$ kombinacja trzypunktowych stałych strukturalnych i konforemnych bloków s-kanałowych ,

${\ Displaystyle \ lewo \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {4} O_ {i} (x_ {i}) \ prawo \ rangle = \ suma _ {p} C_ {12p} C_ {p34} G_ { p}^{(s)}(x_{i}).}$

Blok konforemny jest sumą wkładów pola podstawowego sol $}}$$\ Displaystyle G_ {p} ^ {(s)} (x_ {i$$)$ i jego potomków. Zależy to od pól $pozycji$ . Jeśli funkcje trzypunktowe ${\ Displaystyle \ lewo \ langle O_ {1} O_ {2} O_ {p} \ prawo \ rangle}$ lub ${\ Displaystyle \left\langle O_{3}O_{4}O_{p}\right\rangle }$ obejmuje kilka niezależnych struktur tensorowych, stałe strukturalne i bloki konformalne zależą od tych struktur tensorowych, a pole podstawowe ${\ displaystyle O_ { p}}$ wnosi kilka niezależnych bloków. Bloki konforemne są określone przez symetrię konforemną i są w zasadzie znane. Aby je obliczyć, istnieją relacje rekurencji i techniki całkowalne.

Korzystanie z OPE ${\ Displaystyle O_ {1} (x_ {1}) O_ {4} (x_ {4})}$ lub ${\ Displaystyle O_ {1} (x_ {1}) O_ {3} (x_ {3})}$ , ta sama czteropunktowa funkcja jest zapisana w postaci bloków konforemnych kanału t lub bloków konforemnych kanału u ,

${\ Displaystyle \ lewo \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {4} O_ {i} (x_ {i}) \ prawo \ rangle = \ suma _ {p} C_ {14p} C_ {p23} G_ { p}^{(t)}(x_{i})=\suma _{p}C_{13p}C_{p24}G_{p}^{(u)}(x_{i}).}$

Równość rozkładów kanałów s, t i u nazywana jest symetrią przecinającą : ograniczeniem widma pól pierwotnych i trzypunktowych stałych strukturalnych.

Bloki konformalne podlegają tym samym konforemnym ograniczeniom symetrii, co funkcje czteropunktowe. W szczególności bloki konforemne kanału s można zapisać w kategoriach funkcji współczynników krzyżowych ${\ Displaystyle g_ {p} ^ {(s)} (u, v)} .$ O ${\ Displaystyle O_ {1} (x_ {1}) O_ {2} (x_ {2})}$ tylko wtedy, ${\ Displaystyle | x_ {12} | <\ min (| x_ {23} |, | x_ {24} |)}$ bloki konforemne można analitycznie kontynuować do wszystkich (nie pokrywające się parami) wartości pozycji. W przestrzeni euklidesowej bloki konforemne są jednowartościowymi realno-analitycznymi funkcjami pozycji, z wyjątkiem sytuacji, gdy cztery punkty ${\ displaystyle x_ {i}}$ okręgu, ale w pojedynczo transponowanym porządku cyklicznym [1324] i tylko x ja w tych wyjątkowych przypadkach rozkład na bloki konforemne nie jest zbieżny.

Konforemna teoria pola w płaskiej przestrzeni euklidesowej $\ Delta _ {p} , \ rho _ {p}} \}} i współczynniki OPE$$}$ ρ ${\ Displaystyle \ {C_ {pp'p''} \}}$ lub trzypunktowe stałe strukturalne) , spełniające ograniczenie że wszystkie funkcje czteropunktowe są przecinająco-symetryczne. Z widma i współczynników OPE (łącznie określanych jako dane CFT ) można obliczyć funkcje korelacji dowolnego rzędu.

Cechy konforemnych teorii pola

Jedność

Konformalna teoria pola jest unitarna , jeśli jej przestrzeń stanów ma dodatnio określony iloczyn skalarny, taki że operator dylatacji jest samosprzężony. Wówczas iloczyn skalarny nadaje przestrzeni stanów strukturę przestrzeni Hilberta .

W euklidesowych konformalnych teoriach pola unitarność jest równoważna dodatniemu odbiciu funkcji korelacji: jeden z aksjomatów Osterwaldera-Schradera .

Unitarność implikuje, że konforemne wymiary pól pierwotnych są rzeczywiste i ograniczone od dołu. Dolna granica zależy od wymiaru czasoprzestrzennego $.$ reprezentacji rotacji lub grupy Lorentza, w której przekształca się pole podstawowe W przypadku pól skalarnych granica jedności wynosi

${\ Displaystyle \ Delta \ geq {\ Frac {1} {2}} (d-2).}$

W teorii unitarnej trzypunktowe stałe strukturalne muszą być rzeczywiste, co z kolei implikuje, że funkcje czteropunktowe podlegają pewnym nierównościom. Potężne numeryczne metody ładowania początkowego opierają się na wykorzystaniu tych nierówności.

Ścisłość

Konforemna teoria pola jest zwarta , jeśli spełnia trzy warunki:

• Wszystkie wymiary konforemne są rzeczywiste.
• Dla każdego $\ displaystyle \ Delta \$ skończenie wiele stanów, których wymiary są mniejsze niż $in \ mathbb {R}}$ .
• Istnieje unikalny stan o wymiarze $,$ to stan próżni tj. odpowiednie pole jest polem tożsamości .

(Pole tożsamości to pole, którego wstawienie do funkcji korelacji ich nie modyfikuje, tj. ${\ Displaystyle \ lewo \ langle I (x) \ cdots \ prawo \ rangle = \ lewo \ langle \cdots \right\rangle }$ .) Nazwa pochodzi od faktu, że jeśli konforemna teoria pola 2D jest również modelem sigma , spełni te warunki wtedy i tylko wtedy, gdy jej przestrzeń docelowa jest zwarta.

Uważa się, że wszystkie jednolite konforemne teorie pola są zwarte w wymiarze ${\ displaystyle d> 2}$ . Z drugiej strony bez $widmo$ można znaleźć CFT w wymiarze czwartym i wymiarze ciągłe. W drugim wymiarze teoria Liouville'a jest jednolita, ale nie zwarta.

Dodatkowe symetrie

Konformalna teoria pola może mieć dodatkowe symetrie oprócz konforemnej symetrii. Na przykład model Isinga ma $.$ , a superkonformalne teorie pola mają

Przykłady

Średnia teoria pola

pole swobodne to pole, którego funkcje korelacji są wyprowadzane z funkcji dwupunktowej na podstawie twierdzenia Wicka . Na przykład, jeśli jest skalarnym polem podstawowym o wymiarze , jego czteropunktowa funkcja brzmi: $phi }$$displaystyle \$

${\ Displaystyle \ lewo \ langle \ prod _ {i = 1} ^ {4} \ phi (x_ {i}) \ prawo \ rangle = {\ Frac {1} {| x_ {12} | ^ {2 \ Delta }|x_{34}|^{2\Delta }}}+{\frac {1}{|x_{13}|^{2\Delta }|x_{24}|^{2\Delta }}}+ {\frac {1}{|x_{14}|^{2\Delta}|x_{23}|^{2\Delta}}}.}$

$\ rangle = 0}$ przykład, jeśli są skalarnymi polami podstawowymi takimi, że $2$$Displaystyle \ langle \ phi$$)$ ma miejsce w szczególności, jeśli mamy cztery- funkcja punktu

${\ Displaystyle {\ Duży \ langle} \ phi _ {1} (x_ {1}) \ phi _ {1} (x_ {2}) \ phi _ {2} (x_ {3}) \ phi _ {2 }(x_{4}){\Duży \rangle }={\frac {1}{|x_{12}|^{2\Delta _{1}}|x_{34}|^{2\Delta _{ 2}}}}.}$

Teoria pola średniego to ogólna nazwa konforemnych teorii pola, które są zbudowane z uogólnionych pól swobodnych. Na przykład teorię pola średniego można zbudować z jednego podstawowego pola skalarnego ${\ displaystyle \ phi}$ . $ta$ teoria zawiera $,$ które pojawiają się w OPE . Pola podstawowe, które pojawiają się w $konforemną$ określić, rozkładając funkcję czteropunktową na ⟨ $Displaystyle \ langle \ phi \ phi \ phi \ phi \ rangle}$ bloki: ich wymiary konforemne należą do $:$ w teorii pola średniego wymiar konforemny jest

Podobnie, możliwe jest skonstruowanie teorii pola średniego, zaczynając od pola o nietrywialnym spinie Lorentza. Na przykład teoria 4d Maxwella (przy braku pól naładowanej materii) jest teorią pola średniego zbudowaną z antysymetrycznego pola tensorowego z wymiarem skalowania $_ {\ mu \$$} styl wyświetlania \Delta = 2}$ .

Teorie pola średniego mają opis Lagrange'a w kategoriach kwadratowego działania obejmującego Laplace'a podniesionego do dowolnej potęgi rzeczywistej (która określa wymiar skalowania pola). W przypadku ogólnego wymiaru skalowania potęga Laplace'a nie jest liczbą całkowitą. Odpowiednia teoria pola średniego jest wtedy nielokalna (np. nie ma zachowanego operatora tensora naprężeń).

Krytyczny model Isinga

Krytyczny model Isinga jest punktem krytycznym modelu Isinga na sieci hipersześciennej w dwóch lub trzech wymiarach. Ma $symetrię$ odpowiadającą odwróceniu wszystkich obrotów Dwuwymiarowy $krytyczny$ model Isinga minimalny Virasoro dokładnie rozwiązać Nie ma Ising CFT w wymiarach ${\ displaystyle d \ geq 4} .$

Krytyczny model Pottsa

Krytyczny model Pottsa $jest$ kolorami jednolitym CFT, który jest niezmienny w $q$ } . Jest to uogólnienie krytycznego modelu Isinga, który odpowiada ${\ displaystyle q = 2}$ . Krytyczny model Pottsa istnieje w zakresie wymiarów zależnych od ${\ displaystyle q}$ .

Krytyczny model Pottsa można skonstruować jako granicę kontinuum modelu Pottsa na d -wymiarowej sieci hipersześciennej. W przeformułowaniu Fortuina- $Kasteleyna pod$$,$ można zdefiniować dla ale nie jest on jednolity, jeśli nie jest liczbą całkowitą

Krytyczny model O(N).

Krytyczny model O(N) jest niezmiennikiem CFT w grupie ortogonalnej . Dla dowolnej liczby całkowitej $\ displaystyle N =$ jako interakcja, jednostkowa i zwarta CFT w $displaystyle N = 1}$ (i dla $\$ również w dwóch wymiarach) N = 1 { . Jest to uogólnienie krytycznego modelu Isinga, który odpowiada O (N) CFT w . ${\ displaystyle N = 1}$ .

O(N)CFT można skonstruować jako granicę kontinuum modelu kratowego ze spinami, które są N -wektorami, omówionymi tutaj .

$stałego$$d=4-\varepsilon }$ krytyczny można skonstruować jako $ε$ -Fisher'a w ${$ wymiary. W $\varepsilon =0$$=$ iloczynem tensorowym wolnych skalarów o wymiarze $displaystyle \$. For $0<\varepsilon <1$ the model in question is non-unitary.

Gdy N jest duże, model O (N) można rozwiązać perturbacyjnie w rozwinięciu 1/N za pomocą transformacji Hubbarda – Stratonowicza . $)$ szczególności dobrze rozumiana jest granica krytycznego modelu O (

Konformalne teorie cechowania

Niektóre konforemne teorie pola w trzech i czterech wymiarach dopuszczają opis Lagrange'a w postaci teorii cechowania , albo abelowej, albo nieabelowej. Przykładami takich CFT są $lub$$QED$ z wystarczająco wieloma naładowanymi polami w Banksa -

Aplikacje

Ciągłe przejścia fazowe

Główny artykuł: przejście fazowe

Ciągłe przejścia fazowe (punkty krytyczne) klasycznych systemów fizyki statystycznej o wymiarach przestrzennych D są często opisywane przez euklidesowe konforemne teorie pola. Warunkiem koniecznym, aby tak się stało, jest niezmienność punktu krytycznego przy obrotach i translacjach przestrzennych. Jednak ten warunek nie jest wystarczający: niektóre wyjątkowe punkty krytyczne są opisane przez teorie niezmienne w skali, ale nie konformalnie niezmienne. Jeśli klasyczny system fizyki statystycznej jest odbiciem dodatnim, odpowiadająca mu euklidesowa CFT opisująca jego punkt krytyczny będzie jednolita.

Ciągłe kwantowe przejścia fazowe w układach materii skondensowanej o wymiarach przestrzennych D mogą być opisane przez konforemne teorie pola Lorentza D+1 wymiarowego (powiązane rotacją Wicka z euklidesowymi CFT w wymiarach D+1 ). Oprócz niezmienniczości translacji i rotacji, dodatkowym warunkiem koniecznym, aby tak się stało, jest to, aby dynamiczny wykładnik krytyczny z był równy 1. CFT opisujące takie kwantowe przejścia fazowe (przy braku wygaszonego nieporządku) są zawsze unitarne.

Teoria strun

Główny artykuł: Teoria strun

Arkuszowy opis teorii strun obejmuje dwuwymiarową CFT sprzężoną z dynamiczną dwuwymiarową grawitacją kwantową (lub supergrawitacją w przypadku teorii superstrun). Spójność modeli teorii strun nakłada ograniczenia na centralny ładunek tego CFT, który powinien wynosić c=26 w bozonowej teorii strun i c=10 w teorii superstrun. Współrzędne czasoprzestrzeni, w której żyje teoria strun, odpowiadają polom bozonowym tej CFT.

Korespondencja AdS/CFT

Główny artykuł: Korespondencja AdS/CFT

Konformalne teorie pola odgrywają znaczącą rolę w korespondencji AdS/CFT , w której teoria grawitacji w przestrzeni anty-de Sittera (AdS) jest równoważna z konforemną teorią pola na granicy AdS. Godnymi uwagi przykładami są d = 4, N = 4 supersymetryczna teoria Yanga-Millsa , która jest dualna z teorią strun typu IIB na AdS ₅ × S ⁵ oraz d = 3, N = 6 supersymetryczna teoria Cherna-Simonsa , która jest dualna do M-teoria na AdS ₄ × S ⁷ . (Przedrostek „super” oznacza supersymetrię , N oznacza stopień rozszerzonej supersymetrii posiadanej przez teorię, a d liczbę wymiarów czasoprzestrzennych na granicy).

Zobacz też

• Logarytmiczna konforemna teoria pola
• Korespondencja AdS/CFT
• Rozszerzenie produktów operatora
• Punkt krytyczny
• Konforemna teoria pola granicznego
• Pole podstawowe
• Algebra superkonformalna
• Algebra konforemna
• Bootstrap konformalny
• Historia konforemnej teorii pola

Dalsza lektura

•    Rychkow, Sława (2016). „EPFL Wykłady z konformalnej teorii pola w D ≥ 3 wymiarach” . SpringerBriefs z fizyki . ar Xiv : 1601.05000 . doi : 10.1007/978-3-319-43626-5 . ISBN 978-3-319-43625-8 . S2CID 119192484 .
•     Martin Schottenloher, Matematyczne wprowadzenie do konformalnej teorii pola , Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1997. ISBN 3-540-61753-1 , wydanie 2 2008, ISBN 978-3-540-68625-5 .

Linki zewnętrzne

• Media związane z konforemną teorią pola w Wikimedia Commons