Model Solera

Model Solera jest kwantowym modelem teorii pola interakcji fermionów Diraca poprzez cztery interakcje fermionów w 3 wymiarach przestrzennym i 1 czasowym. Został wprowadzony w 1938 roku przez Dmitrija Iwanienkę i ponownie wprowadzony i zbadany w 1970 roku przez Mario Solera jako zabawkowy model samooddziałującego elektronu .

Model ten jest opisany przez gęstość Lagrange'a

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ overline {\ psi}} \ lewo (i \ częściowe \! \! \!/-m\right)\psi +{\frac {g}{2}}\left({\overline {\psi}}\psi \right)^{2}}

gdzie ${\ displaystyle g}$ jest stałą sprzężenia , ${\ Displaystyle \ częściowe \! \! \!/= \ suma _ {\ mu = 0} ^ {3 } \ gamma ^ {\ mu} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x ^ {\ mu}}}}$ w notacji ukośnej Feynmana , ${\ Displaystyle {\ overline {\ psi}} =\psi ^{*}\gamma ^{0}}$ . Tutaj ${\ Displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}$ , ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ mu \ równoważnik 3}$ to macierze gamma Diraca .

Odpowiednie równanie można zapisać jako

{\ Displaystyle i {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \psi =-i\sum _{j=1}^{3}\alpha ^{j}{\frac {\częściowy }{\częściowy x^{j}}}\psi +m\beta \psi -g ({\overline {\psi}}\psi)\beta \psi}

,

gdzie $\$ $są$ macierzami Diraca . $^ {j$ Displaystyle i . W jednym wymiarze model ten jest znany jako masywny model Grossa-Neveu .

Uogólnienia

Powszechnie uważanym uogólnieniem jest

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ overline {\ psi}} \ lewo (i \ częściowe \!\!\!/-m\right)\psi +g{\frac {\left({\overline {\psi}}\psi \right)^{k+1}}{k+1}}}

z ${\ displaystyle k> 0}$ lub nawet

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ overline {\ psi}} \ lewo (i \ częściowe \! \! \! /-m\right)\psi +F\left({\overline {\psi}}\psi \right)}

,

gdzie $jest$ funkcją gładką

Cechy

Symetria wewnętrzna

Poza jednostkową symetrią U(1) , w wymiarach 1, 2 i 3 równanie ma globalną symetrię wewnętrzną SU(1,1) .

Renormalizowalność

Model Solera można ${\ displaystyle k$ przez zliczanie mocy tylko w jednym wymiarze i nie można go renormalizować dla wyższych wartości iw wyższych wymiarach. $= 1 }$

Rozwiązania z falą samotną

Model Solera dopuszcza samotne rozwiązania falowe w postaci $x) e ^ {-i \ omega t},}$ $gdzie$ jest zlokalizowane ( staje $duży$ $liczbą$ gdy jest ) i jest rzeczywistą .

Redukcja do masywnego modelu Thirringa

W wymiarze przestrzennym 2 model Solera pokrywa się z masywnym modelem Thirringa ze względu na relację ${\ mu} J ^ {\ mu}}$ ${\ Displaystyle ({\ bar {\ psi}} \ psi) ^ {2} = J$ ${\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} \ psi = \ psi ^ {*} \ sigma _ {3} \ psi }$ Ż skalar relatywistyczny i ${\ Displaystyle J ^ {\ mu} = (\ psi ^ {*} \ psi, \ psi ^ {*} \ sigma _ {1} \ psi, \ psi ^ { *}\sigma _{2}\psi )}$ gęstość prądu ładowania. Relacja wynika z tożsamości ${\ Displaystyle (\ psi ^ {*} \ sigma _ {1} \ psi) ^ {2} + (\ psi ^ {*} \ sigma _ {2} \ psi) ^ {2} + (\ psi ^ {*} \ sigma _ {3} \ psi) ^ {2} = (\ psi ^ {*} \ psi) ^ {2}}$ dla dowolnego ${\ Displaystyle \ psi \ in \mathbb {C} ^{2}}$ .